三角形的再认识（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了三角形的再认识知识体系，涵盖定义、特征、底和高、两种分类方法、三边关系、内角和等核心内容，用核心口诀和考点清单强化重难点，清晰呈现知识内在联系与期末高频考点分布。 讲义亮点在于例题与真题的分层设计，如“短边和大于长边”快速判断三边关系（例题2）培养推理意识，吸管剪拼围三角形（例题3）发展几何直观。易错指引精准规避作图、分类等常见错误，基础学生可掌握方法，优秀学生能拓展思维，助力教师实施精准化复习教学。

单元复习讲义：专题02 三角形的再认识（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《三角形的再认识》是北师大版五年级上册第二单元核心几何内容，在低年级初步认识三角形的基础上进行深度拓展。本单元系统学习三角形的定义、各部分名称、底与高、三角形分类、三边关系、内角和定理，掌握三角形判定方法与基础几何推理。本单元是小学平面几何的重难点模块，是后续多边形学习、图形拼接、面积计算的重要基础，侧重培养图形认知、空间想象与逻辑推理能力，是期末高频考点单元。 二、三角形的基本定义与特征 1. 定义 由三条线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫做三角形。 2. 基本特征 三角形有三条边、三个顶点、三个角，结构稳定，不易变形，是生活中应用最广泛的稳定几何图形。 3. 稳定性应用 三角形具有唯一性、稳定性，四边形容易拉伸变形。生活中塔吊、支架、屋顶桁架等均利用三角形稳定性原理。 三、三角形的底和高（作图必考） 1. 高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 高的数量 任意三角形都有三条高，每条底边对应一条高。 3. 三类三角形高的位置区别 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部； 钝角三角形：一条高在内部，两条高在三角形外部，需要延长底边作图。 4. 作图规范 作高必须用虚线，标注直角符号、高和底，保证垂线垂直对应底边。 四、三角形的两种分类方法（必考） 1. 按角分类（看最大内角） 锐角三角形：三个角都是锐角（三个角均小于90°）； 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）； 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）。 核心结论：任意三角形最多只有一个直角或一个钝角，至少有两个锐角。 2. 按边分类 不等边三角形：三条边长度全部不相等； 等腰三角形：有两条边长度相等，两底角相等； 等边三角形（正三角形）：三条边全部相等，三个角都是60°。 重点关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 五、三角形三边关系（重难点、判断必考） 1. 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。不满足该条件的三条线段无法围成三角形。 2. 快速判断技巧（秒杀方法） 只需判断：最短两条边的和 > 最长边，满足即可围成三角形，无需逐一验证三组关系，省时高效。 3. 易错禁区 两边之和等于第三边、小于第三边，均无法围成封闭三角形。 六、三角形内角和（核心考点） 1. 固定结论 任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状、分类无关。 2. 常用验证方法 测量法、撕拼法（三个角拼成平角）、折叠法，均可验证内角和为180°。 3. 实际应用题型 已知两个角度，求第三个角度；根据角度度数判断三角形类型；结合等腰、等边三角形特征计算内角度数。 七、特殊三角形角度特征（必背） 1. 等边三角形：三个内角均为60°； 2. 等腰直角三角形：两个锐角均为45°； 3. 直角三角形：两个锐角的和为90°（互余）。 易错指引 八、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 钝角三角形、直角三角形误认为只有一个锐角，忽略至少两个锐角的规律； 2. 混淆分类标准，将等边、等腰三角形与角类三角形混淆归类； 3. 三边关系判断繁琐，不会使用“短边和大于长边”快速判定； 4. 钝角三角形高的作图错误，遗漏外部高、不画虚线、无直角符号； 5. 误认为三角形越大内角和越大，不理解内角和固定180°； 6. 等腰三角形角度、边长计算漏解，忽略两种可能性； 7. 忽略等边三角形属于特殊等腰三角形的从属关系。 九、单元必背核心口诀 三角三边三顶点，稳定不变形最灵； 一底对应一条高，三实两虚分类型； 按角区分锐直钝，按边等腰等边形； 短边和大长边围，三边关系要记清； 无论大小与形状，内角百八恒定行。 十、单元核心考点清单 1. 掌握三角形定义、基本特征与稳定性生活应用； 2. 理解底和高的含义，熟练规范绘制三类三角形的高； 3. 掌握按角、按边两种分类标准，精准区分各类三角形； 4. 熟练运用三角形三边关系，快速判断线段能否围成三角形； 5. 牢记三角形内角和180°，能灵活计算未知角度、判断三角形类型； 6. 熟记等腰、等边、直角三角形的特殊边角角度特征； 7. 能解决三角形边角计算、分类判断、作图类基础题型； 8. 规避概念混淆、作图不规范、判断失误等高频易错点。 例题讲解 【例题1】 如图，三角形剪去一个角后，剩下图形的内角和是( )，∠1＋∠2的度数为( )。 【答案】 360°/360度 270°/270度 【分析】求剩下图形的内角和：从图里的虚线能看出，这道剪角的方式是不经过原三角形的另外两个顶点剪去一个角，原本的3条边会多出1条边，剩下的图形是四边形。小学数学里我们学过，任意四边形的内角和都是360°。 求∠1＋∠2的度数：原三角形是直角三角形，被剪去的那个角是90°，三角形原本的内角和是180°，所以剩下的两个内角加起来是180°－90°＝90°。而剩下的四边形内角和是360°，因此∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 【详解】180°－90°＝90° ∠1＋∠2＝360°－90°＝270° 剩下图形的内角和是360°，∠1＋∠2的度数为270°。 【例题2】 琳琳用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别是6厘米和8厘米，则第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（三根小棒的长度都是整厘米数）。 【答案】 3 13 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以确定第三边的取值范围。再结合小棒长度为整厘米数的条件，即可确定第三根小棒长度的最大值和最小值。 【详解】8－6＝2（厘米） 2＋1＝3（厘米） 8＋6＝14（厘米） 14－1＝13（厘米） 第三根小棒最短是3厘米，最长是13厘米。 【例题3】 周日，小宇在家做数学小实践。他把一根12厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形。这个三角形的三边长分别是多少厘米？（写出所有可能） 【答案】5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米；4厘米、4厘米、4厘米 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，那么最长边小于周长的一半，再按顺序列举所有整厘米数的组合，避免重复或遗漏。 【详解】12÷2＝6（厘米），最长边小于6厘米 当最长边为5厘米时 另外两边之和：12－5＝7（厘米） 三角形三边为：5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米； 当最长边为4厘米时， 另外两边之和为：12－4＝8（厘米） 三角形三边为：4厘米、4厘米、4厘米 答：这个三角形的三边长可能是：5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米；4厘米、4厘米、4厘米。 【例题4】 。求的度数？ 【答案】180° 【分析】∠BOC＝∠DOE，先把∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E算式中的∠A＋∠B＋∠C替换成∠BOC，再替换成∠DOE，变为∠DOE＋∠D＋∠E，那么这三个角在一个三角形中，三角形的内角和是180°，据此解答。 【详解】根据分析，解答如下： ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠BOC＋∠D＋∠E＝∠DOE＋∠D＋∠E＝180° 答：的度数为180°。 真题拔高 一、填空题 1．有5根小棒，分别是4cm、4cm、5cm、6cm、6cm，从这些小棒中任意取出3根，可以摆成( )种不同的三角形。 【答案】5 【分析】首先要明确现有小棒的长度及数量，然后列举出所有可能选取的3根小棒的长度组合。接着，根据“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，对每种组合进行验证。最后，统计出能组成三角形的不同种类数。注意区分“不同的三角形”是指边长组合不同，而非选取的具体小棒不同。 【详解】现有小棒长度为：、、、、（单位：）。 根据小棒数量，列举所有可能的3根小棒长度组合（按从小到大顺序排列）： 选两根： 组合①：4、4、5。验证：，，能组成三角形。 组合②：4、4、6。验证：，，能组成三角形。 选一根：组合③：4、5、6。验证：，，能组成三角形。 组合④：4、6、6。验证：，，能组成三角形。 不选：组合⑤：5、6、6。验证：，，能组成三角形。 注意：因为只有一根5，无法组成含两根5的组合；因为只有两根6，无法组成三根6的组合。 综上所述，能摆成5种不同的三角形。 2．一个三角形的三条边都是整厘米数，其中的两条边分别是7厘米和10厘米。这个三角形的第三边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 16 4 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，用7加10算出两边之和，第三边的边长比和小，可以确定第三边的最长的长度，两边之差小于第三边，用10减去7可算得两边之差，第三边的边长比差大，可以确定第三边的最短的长度。 【详解】三角形任意两边之和大于第三边 （厘米） 第三边的长度小于17厘米，第三边最长是16厘米。 三角形任意两边之差小于第三边 （厘米） 第三边的长度大于3厘米，第三边最短是4厘米。 3．一个长方形的内角和是360°，把它剪成4个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 【答案】180 【分析】三角形的内角和是180°，无论什么形状的三角形，内角和一定是180°；由此解答。 【详解】一个四边形的内角和是360°，把它分成4个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。 4．把一个长方形的四个角撕下来拼在一起（不能重叠），组成了一个( )角，它的度数是( )°。 【答案】 周 360 【分析】周角是360度，长方形的四个内角和是360度。长方形的内角和是360度，若把长方形的四个内角撕下来即可得到一个360度的周角。 【详解】根据分析，把一个长方形的四个角撕下来拼在一起（不能重叠），组成了一个周角，它的度数是360°。 5．如图把三角形ABC截去三角形EFC，得到四边形ABFE，若∠1＝85°，∠2＝135°，则∠C＝( )。 【答案】40° 【分析】四边形的内角和为360°，那么∠A＋∠B＝360°－∠1－∠2；三角形的内角和为180°，那么∠C＝180°－（∠A＋∠B）；据此解答。 【详解】根据分析可知： ∠A＋∠B＝360°－85°－135° ＝275°－135° ＝140° ∠C＝180°－140°＝40° 6．如图所示，明明不慎将一块三角形塑料模具压碎为两块。他只带其中的一块到商店，就配出了与原来一样的模具，明明带的是( )号碎片。 【答案】② 【分析】②号碎片保留了原三角形的两个完整内角，以及这两个角之间的完整边，我们把这两个角的不完整的边延长，就能相交得到原三角形的第三个顶点，还原出和原来完全一样的三角形。而①号碎片只保留了原三角形的一个角，没办法确定剩下两条边的长度和方向，不能还原出原本的三角形。 【详解】他只带其中的一块到商店，就配出了与原来一样的模具，明明带的是②号碎片。 7．一个三角形的两条边分别长4厘米和9厘米。第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。（取整厘米数） 【答案】 6 12 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，根据题目所给两边，先用这两边求差，然后用差加1，即可算出这个三角形第三边最短是多少；再用这两边求和，用和减去1，即可算出这个三角形第三边最长是多少。 【详解】4＋9＝13（厘米） 13－1＝12（厘米） 9－4＝5（厘米） 5＋1＝6（厘米） 一个三角形的两条边分别长4厘米和9厘米。第三条边最短是6厘米，最长是12厘米。 8．一个等腰三角形，从它的顶点向对边作垂线，分成的每个小三角形的内角和是( )。 【答案】180° 【分析】所有三角形的内角和都是180°，和三角形的形状、大小无关。 【详解】把大等腰三角形分成的小三角形依然是三角形，所以每个小三角形的内角和还是180°。 二、选择题 9．下面是每组三根小棒的长度，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、6cm、6cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、3cm、9cm D．3cm、6cm、9cm 【答案】A 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根小棒的长度之和大于最长的小棒长度即可，依据是三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】A．3＋6＝9（cm），9＞6，满足要求。 B．3＋3＝6（cm），6＝6，不满足要求。 C．3＋3＝6（cm），6＜9，不满足要求。 D．3＋6＝9（cm），9＝9，不满足要求。 10．下面各组线段（单位：dm）中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3  5  2 B．7  7  7 C．2  5  4 D．3  4  5 【答案】A 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长的线段长度，小于或等于都无法围成三角形。 【详解】A．，两边和等于第三边，不满足三边关系，不能围成三角形。 B．，满足三边关系，能围成三角形。 C．，满足三边关系，能围成三角形。 D．，满足三边关系，能围成三角形。 11．古代青砖常设计为六边形，这种六边形地砖的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．480° D．720° 【答案】D 【分析】 三角形内角和为，计算多边形内角和可以将多边形拆分为若干个互不重叠的三角形，如下图： 【详解】由分析可知：将六边形拆分成4个三角形，所以六边形内角和为：180°×4＝720°。 12．下面的度数不可能是一个多边形的内角和的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形内角和一定是的整数倍，只需判断各选项能否被180整除即可。 【详解】多边形内角和公式为：（为大于等于3的整数），因此内角和一定是的整数倍。 A．，可能是一个多边形的内角和。 B．，可能是一个多边形的内角和。 C．，可能是一个多边形的内角和。 D．，不可能是一个多边形的内角和。 13．下面能围成三角形的是（    ）（单位： cm）。 A．2、5、6 B．3、3、7 C．4、4、8 D．1、4、6 【答案】A 【分析】判断三条线段能否围成三角形，依据是三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较短两条边的和是否大于最长边即可。 【详解】A．最长边为6cm，，，满足题意； B．最长边为7cm，，，不满足题意； C．最长边为8cm，，，不满足题意； D．最长边为6cm，，，不满足题意。 所以能围成三角形的是2、5、6（单位： cm）。 三、判断题 14．三角形的边长越长，内角和越大。( ) 【答案】× 【分析】三角形内角和是固定的，和边长长度没有关系。 【详解】根据分析可知：任意三角形的内角和都是，不会随边长的增长发生变化，原题说法错误。 故答案为：× 15．丫丫画了一个三角形，其中最小的一个角是62°。( ) 【答案】× 【分析】三角形最小内角是62°，则另外两个内角都大于或等于62°，算出三个内角的最小和，再和三角形内角和180°比较即可判断。 【详解】假设三个内角都是62°，62°×3＝186°，三角形内角和为180°，186°＞180°，因此三角形最小的内角不可能是62°，题干说法错误。 故答案为：× 16．对于任意三角形，它的三个内角中至少有两个锐角。( ) 【答案】 √ 【分析】三角形内角和为，若锐角少于2个，剩余角的和会超过，不符合三角形内角和规律。 【详解】假设三角形中锐角少于2个： 若没有锐角，三个角都大于等于，内角和大于等于，不符合要求； 若只有1个锐角，剩余两个角都大于等于，这两个角的和大于等于，加上第三个锐角后总内角和大于，不符合要求。 因此任意三角形的三个内角中至少有两个锐角。 故答案为：√ 17．一个五边形的内角和是。( ) 【答案】 × 【分析】从五边形的一个顶点向不相邻的顶点连线，可把五边形分成3个三角形（如下图），三角形内角和是180°，五边形内角和就是3个180°相加。据此解决。 【详解】由分析得： 五边形内角和：（5－2）×180°＝3×180°＝540°，题干计算结果为720°，与正确结果不符。 故答案为：× 18．长度为5cm、8cm、3cm的3根小棒可以围成三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，不满足三边关系，就不能构成三角形，据此进行判断，即可解答。 【详解】3＋5＝8，不符合三边关系，所以长度为5cm、8cm、3cm的3根小棒不可以围成三角形。原说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．求出下面各个未知角的度数。 【答案】64° 15° 138° 【分析】对于第一个直角三角形：因为三角形内角和为，已知一个直角和一个的角，所以用内角和减去两个已知角的度数即可得到未知角。 对于第二个图形：先根据平角为 求出和相邻的三角形内角的度数，再因为三角形内角和为，减去该角与角的度数，得到未知角。 对于第三个四边形：因为四边形内角和为，已知两个直角和一个的角，所以用内角和减去三个已知角的度数即可得到未知角。 识别图形中的直角，计算时不要遗漏的角。 第二个图形中的角不是三角形的内角，需要先求它的相邻的角的度数再参与计算。 四边形内角和是∘，不要误用三角形内角和公式。 【详解】第一个直角三角形的未知角：三角形内角和是，这个三角形有一个直角（），还知道一个角是： 。 第二个三角形的未知角：先根据平角是，算出三角形里和相邻的内角：； 再用三角形内角和，已知这个三角形另外两个内角是和： 。 第三个图形的未知角:这个是四边形，四边形内角和是，它有两个直角（各），还知道一个角是： 。 五、解答题 20．明明手里有五根小棒，如下图所示。从中选取三根摆成三角形，可以选取的方案有多少种？写出所有符合题意的方案。 【答案】可以选取的方案有3种。分别是6厘米，8厘米，12厘米；6厘米，12厘米，16厘米；8厘米，12厘米，16厘米。 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，判断三根小棒能否摆成三角形，把较短的两根小棒长度相加，与最长的小棒长度相比较，若长度和大于最长的小棒，则能围成三角形，反之则不能。先列举出所有组合，再一一验证。 【详解】任选三根小棒： 1厘米、6厘米、8厘米，1＋6＜8，不能摆成三角形。 1厘米、6厘米、12厘米，1＋6＜12，不能摆成三角形。 1厘米、6厘米、16厘米，1＋6＜16，不能摆成三角形。 1厘米、8厘米、12厘米，1＋8＜12，不能摆成三角形。 1厘米、8厘米、16厘米，1＋8＜16，不能摆成三角形。 1厘米、12厘米、16厘米，1＋12＜16，不能摆成三角形。 6厘米、8厘米、12厘米，6＋8＞12，能摆成三角形。 6厘米、8厘米、16厘米，6＋8＜16，不能摆成三角形。 6厘米、12厘米、16厘米，6＋12＞16，能摆成三角形。 8厘米、12厘米、16厘米，8＋12＞16，能摆成三角形。 答：可以选取的方案有3种。分别是6厘米，8厘米，12厘米；6厘米，12厘米，16厘米；8厘米，12厘米，16厘米。 21．如果三角形的两条边分别长5厘米和8厘米，另一条边可能是几厘米？（取整厘米数）最长是几厘米？最短是几厘米？ 【答案】 4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米；12厘米；4厘米 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） 3厘米＜第三条边的长＜13厘米 答：另一条边可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米、11厘米、12厘米。 最长是12厘米，最短是4厘米。 22．如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 【答案】40°和20° 【分析】先根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法，求出另一个内角；再根据三角形内角和等于180°，用180°分别减去120°和另一个内角的度数，求出第三个内角的度数。 【详解】120°÷3＝40° 180°－120°－40° ＝60°－40° ＝20° 答：其余两个内角的度数分别是40°和20°。 23．一根铁丝正好可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边为20厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的三条边分别是多少厘米？ 【答案】20厘米、14厘米、14厘米 【分析】先根据正方形边长算出铁丝总长度，正方形的周长＝边长×4，再结合等腰三角形的底边长度求出腰长，用总长度减去底边长度的差，再除以2即可，最后验证三边是否满足三角形三边关系。 【详解】12×4＝48（厘米） （48－20）÷2 ＝28÷2 ＝14（厘米） 14＋14＝28（厘米） 28＞20，满足三角形三边关系。 答：这个等腰三角形的三条边分别是20厘米、14厘米、14厘米。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题02 三角形的再认识（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《三角形的再认识》是北师大版五年级上册第二单元核心几何内容，在低年级初步认识三角形的基础上进行深度拓展。本单元系统学习三角形的定义、各部分名称、底与高、三角形分类、三边关系、内角和定理，掌握三角形判定方法与基础几何推理。本单元是小学平面几何的重难点模块，是后续多边形学习、图形拼接、面积计算的重要基础，侧重培养图形认知、空间想象与逻辑推理能力，是期末高频考点单元。 二、三角形的基本定义与特征 1. 定义 由三条线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫做三角形。 2. 基本特征 三角形有三条边、三个顶点、三个角，结构稳定，不易变形，是生活中应用最广泛的稳定几何图形。 3. 稳定性应用 三角形具有唯一性、稳定性，四边形容易拉伸变形。生活中塔吊、支架、屋顶桁架等均利用三角形稳定性原理。 三、三角形的底和高（作图必考） 1. 高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2. 高的数量 任意三角形都有三条高，每条底边对应一条高。 3. 三类三角形高的位置区别 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部； 钝角三角形：一条高在内部，两条高在三角形外部，需要延长底边作图。 4. 作图规范 作高必须用虚线，标注直角符号、高和底，保证垂线垂直对应底边。 四、三角形的两种分类方法（必考） 1. 按角分类（看最大内角） 锐角三角形：三个角都是锐角（三个角均小于90°）； 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）； 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）。 核心结论：任意三角形最多只有一个直角或一个钝角，至少有两个锐角。 2. 按边分类 不等边三角形：三条边长度全部不相等； 等腰三角形：有两条边长度相等，两底角相等； 等边三角形（正三角形）：三条边全部相等，三个角都是60°。 重点关系：等边三角形是特殊的等腰三角形。 五、三角形三边关系（重难点、判断必考） 1. 核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。不满足该条件的三条线段无法围成三角形。 2. 快速判断技巧（秒杀方法） 只需判断：最短两条边的和 > 最长边，满足即可围成三角形，无需逐一验证三组关系，省时高效。 3. 易错禁区 两边之和等于第三边、小于第三边，均无法围成封闭三角形。 六、三角形内角和（核心考点） 1. 固定结论 任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状、分类无关。 2. 常用验证方法 测量法、撕拼法（三个角拼成平角）、折叠法，均可验证内角和为180°。 3. 实际应用题型 已知两个角度，求第三个角度；根据角度度数判断三角形类型；结合等腰、等边三角形特征计算内角度数。 七、特殊三角形角度特征（必背） 1. 等边三角形：三个内角均为60°； 2. 等腰直角三角形：两个锐角均为45°； 3. 直角三角形：两个锐角的和为90°（互余）。 易错指引 八、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 钝角三角形、直角三角形误认为只有一个锐角，忽略至少两个锐角的规律； 2. 混淆分类标准，将等边、等腰三角形与角类三角形混淆归类； 3. 三边关系判断繁琐，不会使用“短边和大于长边”快速判定； 4. 钝角三角形高的作图错误，遗漏外部高、不画虚线、无直角符号； 5. 误认为三角形越大内角和越大，不理解内角和固定180°； 6. 等腰三角形角度、边长计算漏解，忽略两种可能性； 7. 忽略等边三角形属于特殊等腰三角形的从属关系。 九、单元必背核心口诀 三角三边三顶点，稳定不变形最灵； 一底对应一条高，三实两虚分类型； 按角区分锐直钝，按边等腰等边形； 短边和大长边围，三边关系要记清； 无论大小与形状，内角百八恒定行。 十、单元核心考点清单 1. 掌握三角形定义、基本特征与稳定性生活应用； 2. 理解底和高的含义，熟练规范绘制三类三角形的高； 3. 掌握按角、按边两种分类标准，精准区分各类三角形； 4. 熟练运用三角形三边关系，快速判断线段能否围成三角形； 5. 牢记三角形内角和180°，能灵活计算未知角度、判断三角形类型； 6. 熟记等腰、等边、直角三角形的特殊边角角度特征； 7. 能解决三角形边角计算、分类判断、作图类基础题型； 8. 规避概念混淆、作图不规范、判断失误等高频易错点。 例题讲解 【例题1】 如图，三角形剪去一个角后，剩下图形的内角和是( )，∠1＋∠2的度数为( )。 【例题2】 琳琳用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别是6厘米和8厘米，则第三根小棒最短是( )厘米，最长是( )厘米。（三根小棒的长度都是整厘米数）。 【例题3】 周日，小宇在家做数学小实践。他把一根12厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形。这个三角形的三边长分别是多少厘米？（写出所有可能） 【例题4】 。求的度数？ 真题拔高 一、填空题 1．有5根小棒，分别是4cm、4cm、5cm、6cm、6cm，从这些小棒中任意取出3根，可以摆成( )种不同的三角形。 2．一个三角形的三条边都是整厘米数，其中的两条边分别是7厘米和10厘米。这个三角形的第三边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 3．一个长方形的内角和是360°，把它剪成4个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 4．把一个长方形的四个角撕下来拼在一起（不能重叠），组成了一个( )角，它的度数是( )°。 5．如图把三角形ABC截去三角形EFC，得到四边形ABFE，若∠1＝85°，∠2＝135°，则∠C＝( )。 6．如图所示，明明不慎将一块三角形塑料模具压碎为两块。他只带其中的一块到商店，就配出了与原来一样的模具，明明带的是( )号碎片。 7．一个三角形的两条边分别长4厘米和9厘米。第三条边最短是( )厘米，最长是( )厘米。（取整厘米数） 8．一个等腰三角形，从它的顶点向对边作垂线，分成的每个小三角形的内角和是( )。 二、选择题 9．下面是每组三根小棒的长度，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、6cm、6cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、3cm、9cm D．3cm、6cm、9cm 10．下面各组线段（单位：dm）中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3  5  2 B．7  7  7 C．2  5  4 D．3  4  5 11．古代青砖常设计为六边形，这种六边形地砖的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．480° D．720° 12．下面的度数不可能是一个多边形的内角和的是（    ）。 A． B． C． D． 13．下面能围成三角形的是（    ）（单位： cm）。 A．2、5、6 B．3、3、7 C．4、4、8 D．1、4、6 三、判断题 14．三角形的边长越长，内角和越大。( ) 15．丫丫画了一个三角形，其中最小的一个角是62°。( ) 16．对于任意三角形，它的三个内角中至少有两个锐角。( ) 17．一个五边形的内角和是。( ) 18．长度为5cm、8cm、3cm的3根小棒可以围成三角形。( ) 四、计算题 19．求出下面各个未知角的度数。 五、解答题 20．明明手里有五根小棒，如下图所示。从中选取三根摆成三角形，可以选取的方案有多少种？写出所有符合题意的方案。 21．如果三角形的两条边分别长5厘米和8厘米，另一条边可能是几厘米？（取整厘米数）最长是几厘米？最短是几厘米？ 22．如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 23．一根铁丝正好可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边为20厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的三条边分别是多少厘米？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $