1.2从立体图形到平面图形2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦立体图形与平面图形转化，以截面、三视图、展开图为核心，通过“面数-边数关系”“视图反推最值”“相对面排除”等方法体系，构建从直观到抽象的空间观念培养路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截面问题|选择1-4、21题|面数限制法（截面边数≤面数）|从具体几何体截面到抽象规律推导| |三视图与立体构造|选择6、8、12、22、24题|视图叠加法（俯视图底数+主/左视列/行加高）|从三视图投影到空间构造的双向推理| |展开与折叠|选择5、11、17、23题|相对面排除法（展开图相邻面不相对）|从平面展开图到立体相对面的转化|

北师大版七年级上册 1.2 从立体图形到平面图形 培优专项训练 · 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1．用一个平面去截一个正方体，所得截面多边形的边数最多是（　　） A．4　　B．5　　C．6　　D．8 2．正方体的一个顶点为P，过与P相连的三条棱的中点作一个截面，则该截面的形状是（　　） A．等边三角形　　B．直角三角形　　C．正方形　　D．梯形 3．下列关于圆柱、圆锥截面的说法中，错误的是（　　） A．平行于圆柱底面的截面是圆　　B．经过圆锥轴的截面是等腰三角形 C．平行于圆锥底面的截面是圆　　D．平行于圆柱轴且与圆柱内部相交的截面一定是正方形 4．用一个平面截一个三棱柱，所得非退化截面不可能是（　　） A．三角形　　B．四边形　　C．五边形　　D．六边形 5．如图是一个正方体的展开图，折成正方体后，与面B相对的面是（　　） 第5题图 A．A　　B．C　　C．D　　D．E 6．一个由若干相同小正方体组成的几何体，从正面、左面、上面看到的图形都恰好是完整的2×2正方形方格，则小正方体的个数最少为（　　） 第6题图：三个方向看到的图形均为完整2×2方格 A．3　　B．4　　C．5　　D．6 7．一个圆柱上方同轴放置一个圆锥，且圆锥底面与圆柱上底面完全重合。忽略公共底面，从正面观察这个组合体，其外轮廓是（　　） A．长方形　　B．等腰三角形　　C．长方形上接等腰三角形　　D．梯形 8．某几何体的位置图如图，数字表示该位置上小正方体的层数，图中下方朝向观察者。从上往下看，将几何体绕竖直方向顺时针旋转90°后，再从原正面方向观察，看到的图形应为（　　） 第8题位置图（图中下方朝向观察者，数字表示层数） A．两列，高分别为2、1　　B．三列，高分别为2、1、1 C．三列，高分别为1、2、1　　D．两列，高分别为1、2 9．一个正方体的6个面分别标有1～6。观察同一正方体的三个不同放置位置，看到同一顶点处的三个面分别为(2,1,3)、(2,3,6)、(2,6,4)。则与面2相对的面是（　　） A．1　　B．4　　C．5　　D．6 10．若某物体从正面、左面、上面看到的图形完全相同，则下列结论一定正确的是（　　） A．该物体一定是正方体　　B．该物体一定由8个小正方体组成 C．该物体的空间结构不一定唯一　　D．三个方向看到的面积一定等于物体表面积 11．用6个全等正方形拼成一个连通平面图形。若其中有4个正方形恰好组成一个2×2的大正方形，则这个平面图形（　　） A．一定能折成正方体　　B．一定不能折成正方体 C．增加一条折痕后一定能折成正方体　　D．无法判断 12．某物体由相同小正方体搭成，主视图是3×2的完整长方形，左视图是2×2的完整正方形，俯视图是3×2的完整长方形。仅根据这三个视图，可以确定的是（　　） A．物体一定是实心长方体　　B．物体所占空间的长、宽、高方向最大格数分别为3、2、2 C．物体一定由12个小正方体组成　　D．物体内部不存在空缺 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 13．用一个平行于圆柱轴且与圆柱内部相交的平面截圆柱，截面为长方形。若截平面经过圆柱轴，则长方形中垂直于轴的边等于底面圆的________；若截平面不经过圆柱轴，则这条边________底面圆的直径。 14．把正方体沿棱剪开并展开成一个连通、无重叠的平面展开图。正方体的12条棱中，需要剪开的棱共有________条。 15．一个平面从正方体内部穿过，只与4个面相交，且不经过任何顶点或棱。切开后得到两个立体图形，这两个立体图形的面数之和为________。 16．在一个五棱柱中，用一个不经过任何顶点或棱的平面截取。若截面同时与它的两个底面及其中4个侧面相交，则截面是________边形。 17．如第5题展开图，折叠后与A相对的面是________，与E相对的面是________。 18．一个由相同小正方体搭成的几何体，俯视图共有6个方格；主视图有4列，列高依次为2，3，1，2。则组成该几何体的小正方体至少有________个。 19．从一个3×3×3的实心小正方体组合中取走正中心的1个小正方体，剩余几何体从正面、左面、上面看到的图形均________（填“改变”或“不改变”）；只看这三个视图，________判断中心小正方体是否存在（填“能”或“不能”）。 20．某长方体的主视图、左视图、俯视图均为完整长方形，面积分别为12、8、6个单位方格。若长、宽、高均为整数个单位长度，则该长方体的长、宽、高分别为________，________，________。 三、解答题与探究题（共4题，共40分） 21．（10分）截面分类探究 用一个平面去截正方体。 （1）说明为什么截面不可能是七边形； （2）分别说明三角形、四边形、五边形、六边形截面是否可能出现； （3）若截平面不经过正方体的顶点或棱，并且与6个面的内部都相交，小明说：“截面一定是六边形。”你同意吗？说明理由。 22．（12分）三视图反推最值 一个几何体由相同的小正方体搭成，其俯视图、主视图、左视图如图所示。俯视图中每个方格表示该位置至少有1个小正方体。 （1）求组成该几何体的小正方体个数的最小值； （2）求最大值； （3）分别写出一种达到最小值和最大值的“层数表”（按俯视图从前到后逐行填写，空位置填0）。 第22题图：从左到右依次为俯视图、主视图、左视图 23．（9分）展开—折叠—切割综合 沿用第5题的正方体展开图。折叠成正方体后，从A、B、E三个面相交的顶点处截去一个小角，截面分别在这三个面内留下线段。 （1）指出与A、B、E分别相对的三个面； （2）新截面是什么形状？若三个截点分别是从该顶点出发的三条棱的中点，进一步判断该截面的特殊形状； （3）截去小角后，剩余几何体的面数、顶点数、棱数分别是多少？请说明理由。 第23题所用展开图 24．（9分）压轴探究：相同三视图下的最少块数 在一个透明的3×3×3单位格盒中放置小正方体，每个小正方体恰好占据一个单位格，允许占据盒内任意单位格（不考虑重力支撑）。要求从正面、左面、上面看到的图形都恰好是完整的3×3方格。 （1）至少需要多少个小正方体？说明下界理由； （2）请给出一种达到最少块数的摆法，可用三层3×3表格表示（1表示放置，0表示不放）； （3）最多可以放多少个小正方体？从最少到最多之间的每一个整数是否都能实现？简要说明。 参考答案与详细解析 一、选择题答案与解析 答案速查：1.C　2.A　3.D　4.D　5.C　6.D　7.C　8.B　9.C　10.C　11.B　12.B 1．答案：C　截面是一个凸多边形。截面的每一条边都落在正方体的某一个面内，同一个面至多贡献一条截面边。正方体共有6个面，因此截面边数最多为6；适当倾斜截平面可以同时截到6个面，六边形能够出现。 2．答案：A　设正方体棱长为a。三个中点分别位于从P出发的三条两两垂直的棱上。任取两个中点，它们在同一个正方形面内，距离均为√[(a/2)²+(a/2)²]，所以三条边相等，截面为等边三角形。 3．答案：D　平行于圆柱底面的截面是圆；经过圆锥轴的截面是等腰三角形；平行于圆锥底面的截面是圆。平行于圆柱轴且穿过圆柱内部的截面一般是长方形，只有当截得的底面弦长恰好等于圆柱高时才是正方形，因此D错误。 4．答案：D　三棱柱共有5个面。非退化截面的每一条边对应被截到的一个面，所以边数不超过5；三角形、四边形、五边形均能通过选择不同截平面得到，六边形不可能。 5．答案：C　以B为基准折叠：A、C、E、F分别成为B的四个相邻面，D折到B的背面，因此B与D相对。 6．答案：D　俯视图是完整2×2，四个俯视位置都必须有小正方体，先至少需要4块。主视图还要求左右两列都达到2层，左视图又要求前后两列都达到2层。只需把两个对角位置各再叠1块，就能同时满足这两组要求，因此至少还要增加2块，共6块；6块可以实现。 7．答案：C　从正面看，圆柱的侧面轮廓是长方形；圆锥的轮廓是等腰三角形。两者同轴且底面重合，因此组合后的外轮廓是“长方形上接等腰三角形”。 8．答案：B　图中下方为原来的前方。从上往下看顺时针旋转90°后，原来的“前—中—后”三排依次变成新主视图的“左—中—右”三列。三排的最高层数分别为2、1、1，所以旋转后的主视图为三列，高分别为2、1、1。 9．答案：C　以面2为中心看三次观察结果，可知与2相邻的面依次出现1、3、6、4。正方体每个面恰有4个相邻面，因此剩下的面5与面2相对。 10．答案：C　三视图只记录三个方向的投影，不能显示所有被遮挡或内部信息，因此不同空间结构可能具有完全相同的三视图。A、B、D均不能由“三个视图相同”推出。 11．答案：B　正方体展开图的6个面必须能沿棱依次折起而不发生重叠。2×2方块中的4个正方形形成一个闭合环，折叠时会产生几何冲突，因此含完整2×2方块的连通六方格图不能成为正方体展开图。 12．答案：B　三个完整视图分别给出左右、前后、上下三个方向的最大格数，因此外部尺寸范围可确定为3×2×2。三视图不能判断所有内部位置是否有方块，所以A、C、D都不一定成立。 二、填空题答案与解析 13．答案：直径；小于　平行于圆柱轴的截平面与两个底面分别交于两条弦，与侧面交成两条母线，因此截面是长方形。经过轴时，底面上的弦经过圆心，长度就是直径；不经过轴时，所得弦小于直径。 14．答案：7　正方体有6个面。展开后6个面仍要连成一片，面与面之间保留5条“铰链棱”即可把6个面连成无环的整体；其余棱要剪开。因此需剪12－5＝7条棱。 15．答案：12　截平面与4个原有面相交，这4个面都被分成两部分，共形成8个面；另外2个未被截到的原有面分别保留，共2个面；切面在两块立体图形上各形成1个新面，共2个。总面数为8＋2＋2＝12。 16．答案：6　非退化截面每与一个面相交，就在该面内得到截面的一条边。题中截到2个底面和4个侧面，共6个面，所以截面为六边形。 17．答案：C；F　由第5题展开图折叠可得三组相对面：A—C，B—D，E—F。 18．答案：10　俯视图6格表示至少有6根“柱”，先各放1块，共6块。主视图4列的最高层数为2、3、1、2，要使对应列达到这些高度，至少再增加(2－1)+(3－1)+(1－1)+(2－1)=4块，因此至少6＋4＝10块。各列把加高集中在其中一根柱上即可实现。 19．答案：不改变；不能　中心方块在三个观察方向上都被同一直线上的其他方块遮住。取走它后，三个投影的9个位置仍全部被占据，所以三个视图均不改变；因此仅凭这三个视图不能判断中心方块是否存在。 20．答案：3；2；4　设长、宽、高分别为a、b、c。主视图面积ac=12，左视图面积bc=8，俯视图面积ab=6。三式相乘得(abc)²=12×8×6=576，所以abc=24。于是a=(ac·ab)/(abc)=12×6÷24=3，b=8×6÷24=2，c=12×8÷24=4。 三、解答题与探究题详解 21．（10分）截面分类探究 （1） 不可能。截面是凸多边形，每一条截面边都位于正方体的一个面内；同一面与截平面的交线至多形成截面的一条边。正方体只有6个面，因此截面边数不超过6。 （2） 三角形、四边形、五边形、六边形都可能。三角形：在某个顶点附近截去一个小角；四边形：取与某个面平行的截平面可得正方形；五边形：让截平面恰与5个面相交；六边形：让截平面同时与6个面相交。 （3） 同意（这里指不经过顶点、棱而产生的非退化截面）。当截平面与6个面都相交时，每个面各贡献一条截面边，因此共有6条边，截面必为六边形。 评分建议：（1）3分，（2）4分，（3）3分。 22．（12分）三视图反推最值 设定 按俯视图从前到后3行、从左到右3列记每个非空位置的层数。主视图三列最高层数为3，2，3；左视图三行最高层数为2，3，3。俯视图共有7个非空位置。 （1） 最小值为12。7个非空位置先各放1块，共7块。主视图左列要出现3层，而前排在左视图中最高只能为2层，因此左列的3层必须由中排左格承担，再加2块；主视图右列和左视图后排都要求出现3层，可让后排右格同时承担，再加2块；主视图中列要求最高2层，可令前排中格达到2层，再加1块。故最少7＋2＋2＋1＝12块。一个可行层数表为：前排[1，2，0]，中排[3，1，1]，后排[0，1，3]。 （2） 最大值为17。每个俯视非空位置的高度不能超过“所在主视图列高”和“所在左视图行高”中的较小值。把每个位置都取到这个上限即可得到最大值。一个可行层数表为：前排[2，2，0]，中排[3，2，3]，后排[0，2，3]，总数2＋2＋3＋2＋3＋2＋3＝17。 （3） 达到最小值和最大值的层数表已分别在（1）（2）中给出。逐列、逐行取最大值检查，可知三个视图均与题图一致。 评分建议：最小值4分，最大值4分，两组层数表各2分。 23．（9分）展开—折叠—切割综合 （1） 由展开图折叠关系可得：A与C相对，B与D相对，E与F相对。 （2） 截平面分别截到从该顶点出发的三条棱，所以新截面是三角形。若三个截点都是三条棱的中点，则三个中点两两距离相等，因此截面是等边三角形。 （3） 面数为7：原6个面仍各保留一部分，同时新增1个三角形截面。顶点数为10：原8个顶点中被截去1个，同时三条棱上新增3个截点，所以8－1＋3＝10。棱数为15：原12条棱中与被截顶点相连的3条只是变短，并未消失；新增三角形截面的3条边，所以12＋3＝15。 评分建议：相对面2分，截面判断3分，面/顶点/棱计数4分。 24．（9分）压轴探究：相同三视图下的最少块数 （1） 至少9个。俯视图是完整3×3方格，9个俯视位置每个至少要有1个小正方体，因此总数不可能少于9。这里题目明确允许小正方体占据盒内任意单位格，不要求下方必须有支撑。 （2） 9个可以实现。例如按从下到上三层摆放：第1层：100／010／001；第2层：010／001／100；第3层：001／100／010。这里每个“／”分隔一行。三个方向投影时，每个3×3位置都恰好能找到一块，因此三个视图均完整。 （3） 最多27个，即3×3×3全部填满。由（2）的9块构型出发，在任意空位置逐块补小正方体，只会增加被遮挡的内部方块，不会使三个投影超出3×3，也不会破坏已有的完整投影。因此9，10，…，27每一个整数都能实现。 评分建议：下界3分，9块构造3分，最大值与连续可实现性3分。 四、命题定位与校对说明 • 难度定位：基础识图仅作必要铺垫，核心落在“信息不唯一、隐藏结构、截面上限、视图反推最值、展开折叠关系、构造存在性”等培优能力；不引入坐标几何、欧拉公式、解析几何等超出七年级本节常规教学范围的工具。 • 同质化复核：已删除上一版中“正方体截面边数”在选择、填空、解答间的机械重复，以及“切去顶角后面/棱/顶点计数”的重复设问。现各题分别承担不同思维任务：截面判定、组合体视图、旋转、相对面反推、展开禁形、尺寸反推、最值构造与开放探究。 • 关键答案复核：第6题已按三投影覆盖条件重新核定为6块；第18题最少数按“俯视底数＋各主视列额外加高”核得10；第20题由三个矩形视图面积联立核得长宽高3、2、4；第22题最小12、最大17均有可行层数表；第24题在“允许占据任意单位格”的明确条件下，9块循环错位构造逐投影可验证，且9～27可连续实现。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $