第三章 图形的相似 单元卷 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦图形的相似核心知识，融合数学文化与实际应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，适配初中数学单元复习的综合性评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似图形判定（第1题）、比例线段（第2题）、相似应用（第8-9题）|融入《周髀算经》“偃矩以望高”文化情境（第10题），考查几何直观| |填空题|6/18|比例性质（第11题）、相似三角形性质（第13题）、位似（第16题）|设置△AMN与△ABC相似分类讨论（第15题），发展推理能力| |解答题|8/72|位似作图（第17题）、相似证明（第19题）、实际应用（第22题矩形加工）|结合内角平分线定理探究（第24题），体现模型意识与创新思维|

第三章 图形的相似（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 2、已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 3、已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6，则下列选项中阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（　　） A. B. C. D. 4、如图，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5、如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6、如图，为等边△ABC边上一点，，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7、如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 8、如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（　　） A. 9.3m B. 10.5m C. 12.4m D. 14m 9、如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼睛与地面的距离为1.6米，则旗杆的高度为（    ） A．9.2米 B．9.4米 C．9.6米 D．9.8米 10、我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学道理，即用曲尺测量物体高度的方法．如图所示：设曲尺平行于水平线的一边长度为，垂直于水平线的一边长度为，当人眼，曲尺两边端点，，物体的顶端点在同一直线上时，人眼到过点的水平线的高度为，人眼到物体的水平距离为，则可求得物体的高度等于．其依据的图形变化是（   ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的旋转 D．图形的相似 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、已知，那么的值为 ． 12、如图，已知，若AB=6，CD=9，则EF= . 13、 如图，△ABC中，点在边上，连接，，，，则的长为______． 14、如图，矩形中，，分别交于点F，E，，，则的长为______． 15、在△ABC中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若△AMN与△ABC相似，则的长是 ． 16、如图，矩形中，，，已知矩形与矩形位似，位似中心为，矩形的面积等于，则点的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，△ABC与是位似图形，位似中心为M． （1）画出点M的位置； （2）与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 18、如图所示，，且，，．求，，的长． 19、如图，四边形中，，，平分，，求证：． 20、如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且△ADE是等腰三角形，求此时的长． 21、如图，，平分，过点B作交于点M，连接交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 23、已知：如图，在四边形中，，连接、，△ABC是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 24、请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在△ABC中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在△ABC中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在△ABC中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第三章图形的相似（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各组图形中，不一定相似的是（) A.两个正方形 B.两个等边三角形 C.各有一个角是40°的两个等腰三角形 D.各有一个角是100°的两个等腰三角形 【答案】C 【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，不特合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是40°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是40°，而另一个等腰三角形的 顶角是40°，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定 相似，不符合题意； 2、已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=2cm,b=lcm,c=8cm,则线段d的长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.11cm 【答案】B 【详解】解：a,b,c,d是成比例线段， a c .bd,即ad=bc, .a=2cm,b=1cm,c=8cm, .d=4cm,故选项B正确； 3、已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6,则下列选项中阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是 B 4 A C 78 D 人78° 人78 人78 【答案】B 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相 似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B 符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不 符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 4、如图，AB∥CD,∠A=∠CBD,BC=3,CD=2,则AB的长为() D B 9 9 A.3 B.4 C.4 D.2 【答案】D 【详解】解：AB∥CD ·.∠ABC=∠BCD 又，∠A=∠CBD .△ABC∽△BCD AB BC .BC CD 2 4B=C-329 CD =22, 5、如图，，点E在BC上，点F在AE上，CE=CF,增加下列一个条件：①∠B=∠EAC;② AB BE AE BE ACAF;③CFAF.其中能判定△AEB∽△CFA的条件是（) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：CE=CF, ·.∠CFE=∠CEF .∠AEB=∠CFA, ①增加条件∠B=∠EAC,根据两角对应相等能判定△AEB∽△CFA; AB BE ②增加条件ACAF,不能判定△AEB∽△CFA; AE BE ③增加条件CFAF,根据两边对应成比例及其夹角相等，能判定△AEB∽△CFA. 6、如图，D为等边△ABC边BC上一点，∠BAD=∠CDE,BD=2,CD=4,则CE的长为( ) E B D B.1 C.3 D.2 3 【答案】C 【详解】解：，△ABC是等边三角形， :.∠ABD=∠DCE,AB=BC=BD+CD=6 又，∠BAD=∠CDE ·.△ABD∽△DCE BD AB .CE CD 26 ..CE 4 .CD=4 3, 7、如图，在口ABCD中，AE:ED=I:2,S=2,则S4c=（) D E F B A.6 B.18 C.20 D.24 【答案】D 【详解】解：口ABCD .AD∥BC,AD=BC .△AEF∽△CBF AFAE AE ·CFBC’ BC ·AE:ED=1:2, .AE:AD=1:3 .AE:BC=1:3, 4 AF AE 1 .CFBC-3.S.AEF:S.CBF =1:9 CF 3 ..AC 4,S.CBF=9S.AEF=18, .S.CBF SABC =3:4 .S.Ac=24i 8、如图.利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m.BC=124.则 建筑物CD的高是（) 0 0 AB C A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m 【答案】B 【详解】解：，EB∥CD, ∴.△ABE-△ACD, AB BE 1.6=1.2 .ACCD,即1.6+12.4CD, .CD=10.5(米). 9、如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此 时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼睛与地面的 距离为1.6米，则旗杆的高度为（） 5 A.9.2米 B.9.4米 C.9.6米 D.9.8米 【答案】C 【详解】解：如图， E 依题意，BC=2m,CE=12m,AB=1.6m 由题意得∠ACB=∠DCE, :∠ABC=LDEC=90°， .△ACBADCE AB BC .DE CE 1.6DE 即212， .DE=9.6m 即旗杆的高度为9.6m 10、我国古代数学著作《周髀算经》记载商高用矩（带有直角的曲尺）之道“偃矩以望高”的数学 道理，即用曲尺测量物体高度的方法，如图所示：设曲尺平行于水平线的一边DE长度为，垂直 于水平线的一边CD长度为b,当人眼F,曲尺两边端点C,E,物体AB的顶端，点A在同一直线上 时，人眼F到过，点B的水平线的高度为h,人眼F到物体AB的水平距离为C,则可求得物体AB的 bch 高度等于Q·其依据的图形变化是() —6 、E .F B 水平线 A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的旋转 D.图形的相似 【答案】D 【详解】解：过E作FH⊥AB于H, h B 水平线 .FH=c, :DE∥HF, .∠CED=∠AFH, ·.·∠CDE=∠AHF=90° .△ECD∽aFAH， .DE:HF=CD:AH, .a:c=b:AH, AH=be a, AB=AH+BH=bc +h a 其依据的图形变化是图形的相似， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7 11、已知：y=3:2,那么x+y的值为」 3 【答案】5 =3 【详解】解：y=32,即y2」 3 x 23 3。,则x+y3 一= =5, x=2 2+y2 故答案为：5」 12、如图，已知AB∥EF∥CD,若AB=6,CD=9,则EF=一 D E B 18 【答案】5 【详解】解：由AB∥EF∥CD, 可得△CEF∽△CAB,△BEF∽aBDC, EF CF EF BF 故ABBC,CDBC, EF EF CF BF= 故AB'CD BC BC 5 EFEF=1 即69 EF=18 解得 5 18 故答案为：5 —8 13、如图，△ABC中，点D在边AC上，连接BD,∠ABD=∠C,AB=6,AC=8,则AD的 长为一 9 【答案】2 【详解】：∠ABD=∠C,，∠A=∠A, .△ABD∽△ACB AB AD .AC AB, ·AB=6,AC=8, 6 AD .86. 解得： AD=9 2 9 故答案为：2. 14、如图，矩形ABCD中，BE⊥AC,分别交AC,AD于点F,E,AF=2,AC=6,则BC的 长为 E B 【答案】2V6 【详解】解：BE⊥AC,即∠AFB=90°， 9 .∠BAF+∠ABF=90° 矩形ABCD中，∠ABC=90°， .:∠ACB+∠BAF=90° .∠ACB=∠ABF, .·∠BAF=∠BAC, .△BFAP△CBA. AB AC .AF AB, .AB2=AC·AF=6×2=12, .AB=2V3, :.BC=√AC2-AB2=2V6 故答案为2V6, 15、在△ABC中，M,点在AB上，N,点在AC上，且MB=4,AB=12,AC=16.如图所示，若 △AN与△ABC相似，则AN的长是一· B 32 【答案】3或6 【详解】解：，△AMN与△ABC相似， 而∠BAC=∠MAN, 若△BAC∽aMAN AM AN AB-BMAN 则ABAC,即ABAC —10 2AW=32 解得 3； 若△BAC∽aNAM, AM AN AB-BM AN 则ACAB,即ACAB 解得AN=6; 32 综上所述，AW的长为3或6. 32 故答案为3或6. 16、如图，矩形OABC中，OA=6，OC=4,已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似，位似中心为 0,矩形 OA'B' C的面积等于6，则，点B的坐标为 y 【答案】(3,2)或（-3，-2) 【详解】解：如图 Y C B A 6 x OA'B'C OABC 矩形 与矩形 关于点位似， OA'B'C'∽，OABC 矩形 矩形 :矩形OAB'C'面积等于矩形OABC面积的4， -11 1 :矩形OAB'C与矩形OABC的相似比为2， “矩形0ABC中，OA=6,0C=4,则，点B的坐标为(6,4) 故答案为：(3,2)或（-3，-2) 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，△ABC与△4B,C是位似图形，位似中心为M. B (1)画出，点M的位置； (2)△4，B,C与△4BC是以，点0为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，画出△4，B,C, 【答案】(1)见详解(2)见详解 【小问1详解】 解：如图所示，点M即为所求， 12 B 【小问2详解】 解：如图所示，△4B,C即为所求 "H 18、如图所示，4∥4∥，且AB=2BC,DF=5cm,AG=4cm.求GF,AF,EF的长. A\D B E G F 【答案】2cm、6cm、3cm 【详解】解：∥1， AG AB .'.GFBC· 而AG=4cm,AB=2BC 13 AG G=2 .'.GF =2cm ∴.AF=AG+GF=4+2=6cm. .AB=2BC, AC=3 .BC 4∥l∥%， DF AC 53 .EFBC,即EF1, EF-3cm 3 19、如图，四边形ABCD中，AB=4,AD=9,AC平分∠BAD,AC=6,求证： ∠B=∠ACD D C 【答案】见详解 【详解】证明：AC平分∠BAD, .:∠BAC=∠CAD AB=4,AD=9,AC=6, AB AC .AC AD, .△BAC△CAD .∠B=∠ACD 20、如图，在△ABC中，点D、E分别在边BCAC上，连接AD、DE,且∠B=∠ADE=∠C —14— E B 备用图 (1)证明：△BDA△CED； (2)若∠B=45°，BC=2,当，点D在BC上运动时(，点D不与B、C重合)，且△ADE是等腰三角形，求 此时BD的长 【答案】(1)见详解(2)BD=2-V2或1 【详解】(1)证明：，∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°，∠B+∠ADB+∠DAB=180°， ∠B=∠ADE=∠C ∴.∠EDC=∠DAB .△BDA∽△CED (2)解：∠B=∠ADE=∠C,∠B=45°， 小△ABC是等腰直角三角形， .∠BAC=90° .BC=2 由勾股定理得： AB=AC=2 ①当AD=AE时， .∠ADE=∠AED :∠B=45° .∠B=∠ADE=∠AED=45° ∴.∠DAE=90 .∠DAE=∠BAC=90° 15 BC B、 点D在上运动时（点D不与 C重6点E在4C上， 此情况不特合题意. ②当AD=DE时，如图， B D C ∴.∠DAE=∠DEA 由(1)可知：∠EDC=∠DAB,∠B=∠C, .·△BDA≌aCED(AAS) .AB=DC= .BD=2-√2 ③当AE=DE时，∠ADE=∠DAE=45°， B D C .·∠B=∠C=45° “△ABC是等腰三角形， ∠ADC=180°-45°-45°=90°AD L BC ,即 BD=IBC=1 综上，BD=2-V2或1. 21、如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC,过，点B作BM∥CD交AD于，点M,连接 CM、DB 交 于点N. —16— D M A N B (1)求证：BD=AD.CD; (2)若CD=6,AD=8,求MC的长 【答案】(1)见详解(2)2V7 【小问1详解】 证明：DB平分∠ADC」 .∠ADB=∠BDC, :∠ABD=∠BCD=90° .△ABDP△BCD AD BD .BD CD. BD2=AD.CD 【小问2详解】 解：DB平分∠ADC, ∴.∠ADB=∠BDC, .·BM∥CD :.∠MBD=∠BDC,∠MBC=180°-∠DCB=90°=∠ABD ∠ADB=∠MBD,∠MAB+∠ADB=∠MBA+∠MBD=90°， .BM=MD,∠MAB=∠MBA, BM-D-AM-AD-3x8-4 2 —17 又.BD2=AD.CD=6×8=48,BC2=BD2-CD2=48-36=12, :.MC2=MB2+BC2=16+12=28, :.MC=V28=-27. 22、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=l20mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件 POMN ,使一边在BC上，其余两个顶点分到在边AB、1C上】 P 上， P9交AD于H点. y H B D M (1)当点P恰好为AB中，点时，PO= mm. (2)若矩形PWM0的周长为220mm,求出PW的长度. 【答案】(1)60(2)20mm 【详解】(1)解：·P为AB中点， AP1 ..AB 2 在矩形POMN中，PO∥BC .∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB .△APQ△ABC PO AP 1 .BC AB2 P-Bc60 m 故答案为：60 (2)解：：四边形PNMM0为矩形， .PQ∥BC —18— .AD L BC, .PQ⊥AD .PN=DH .AH=AD-DH=80-PN 四边形PWM0为矩形， .PO=MN,DH=PN, :矩形PNMg的周长为220mm .PQ=110-PW .·PQ∥BC .△APOAABC AH_P巴 .AD BC 80-PN_110-PN .80 120 .PN=20(mm) 23、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形，DE∥BC ,DE与AC交于，点E,△ADE∽△DBC. B (1)请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段AC的黄金分割，点. 【答案】(1)∠ADB=2∠DBC,见详解( 2)见详解 19 【详解】(1)解：∠ADB=2∠DBC, 证明：如图所示， D 4小6 ·.△ADE∽△DBC, .∠5=∠4， DE∥BC, .∠5=∠6 .∠4=∠6=∠5， .∠ADB=2∠5 即∠ADB=2∠DBC (2)解：，△ADE∽△DBC .·∠AED=∠DCB .·∠AED=∠EDC+∠3，∠DCB=∠I+∠3 .·∠EDC=∠I ,△ABC为等边三角形， .∠1=∠2=60°， AB∥CD, .∠3=∠2=60° .∠3=∠EDC=60° ∴.△CDE为等边三角形， -20 ..CE=DE=CD ,△ABC为等边三角形， .AC=BC :△ADE∽△DBC, AE DE .·CDBC, AEEC ·CEAC,即EC2=AE·AC, ∴，点E是线段AC的黄金分割点 24、请阅读下面的材料，并回答所提出的问题，三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线 分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. E D D DM 图1 图2 图3 BDAB (1)已知：如图1，在△ABC中，AD是角平分线，求证：DCAC 证明：过C作CE∥DA,交BA的延长线于E.(完成以下证明过程) (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. ②如图3，在△ABC中，AB=7,AC=11,,点M是BC的中，点，AD是∠BAC的平分线，FM∥AD ,则FC的长为 BD=35 【答案】(1)见详解 (2)①9cm；②9 【详解】(1)证明：如图，过，点C作CE∥DA,交BA的延长线于，点E, 21 E 3 B D CE∥DA, BD BA .CDAE,∠2=∠3，I=∠E, :AD平分∠BAC, .∠1=∠2， .∠ACE=∠E! .AE=AC, BDAB :DC AC; (2)解：①：AD是角平分线， AB BD ..AC CD .AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm, 5 BD .47-BD BD=35 解 9 cm; ②解：AD是角平分线， ABBD7 .AC CD 11 CD=liBD 1 —22 BC-CD+BD-11BD+BD-18BD 7 7 .M是BC中，点， CM-MB-2BD 7 .FM∥AD, 9 CF CM 9 .AC-CD1BD 11, > c7c=g 故答案为：9 -23