第十六章整式的乘法数学活动教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦月历规律探究与两数和为定值时积的规律，通过回顾七年级月历学习经验，从交叉相乘相减新视角切入，衔接旧知搭建学习支架，引导学生发现并证明数学结论。 此资料以“猜想—证明—运用”为主线，通过月历2×2方框规律代数推理培养符号意识与推理能力，结合自主探究、小组合作分析两数积规律并解决长方形面积问题发展应用意识，助力学生提升数学思维，为教师提供探究式教学范例。

如图是某月的月历. 活动1 月历中的奥秘（续） 进阶：发现问题 节课换一种视角去研究月历做好铺垫。 设计意图：回顾七年级研究月历的学习经验，让学生感受月历中数学奥秘的来源，为本 教师活动：这节课我们就从另外一种视角去观察月历，是否还能发现别的数学结论吗？ 这种情况下的一般规律。 用字母表示数利用整式的加法来证明规律，在这个过程中，体现了数式通性。最后，得到了 学生活动：在探索月历的学习中，我们通过观察特定区域的数字实例来猜想规律，接着， 吗？ 教师活动：同学们，七年级时，我们就探索过月历中的奥秘，你还记得研究过哪些内容 缘起：知识溯源 教学过程 教学难点：恰当地用字母表示数证明一般规律。 教学重点：能够利用整式的乘法推导并论证相关结论。 教学内容 证相关结论，逐步培养运用数学符号说理的意识、发展推理能力，培养科学精神。 3.引导学生经历“猜想——证明——运用”的推理过程，通过整式的运算和分析，推导并论 2.通过活动2，让学生继续将数的运算经验运用到式的运算中，感受数式通性。 丰富其数学活动经验，提升推理能力。 1.通过活动1，让学生从另一种视角（交叉相乘，再相减）观察月历，获得不同的数学结论， 教学目标 出版社：人民教育出版社 出版日期：2025年6月 教科书 书 名：数学教材 课题 第十六章 数学活动 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课程基本信息 教学设计 设左上角的数为a,则其他三个数为a+1，a+7，a+8 提供学生的一种代数推理。） 学生活动：学生自主进行代数推理。（这里可以设任何一个位置上的数为a，以下只 进行代数推理。 教师活动：让学生类比第一次研究月历的学习经验，用字母表示数，通过整式的运算 （3）请利用整式的运算对以上猜想加以证明. 进阶：分析问题 相同的实验结果进行猜想，发现问题，培养学生严谨数学思维的层次性与逻辑性。 设计意图：对于2×2连续方框所框的4个数，师生共同进行多次数例实验，根据多次 日期无关。 猜想：在月历中，任意2×2连续方框所框的4个数，交叉相乘再相减,结果等于7，与 仍然具有同样的规律。 学生活动：进行多组数例实验，根据实验结果进行猜想。 实验。 教师活动：让学生拿出自己家中的月历（任何一个年份任何一个月的月历）进行数例 （2）换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？ 结果都等于7。 减，看看有什么发现。 学生活动：在该月历中，再任选两个类似的方框部分，把所框的4个数交叉相乘再相 24×30－23×31=7 9×15－8×16=7 教师活动：给学生示范两个范例，蓝色方框部分的4个数，什么是交叉相乘再相减。 再相减，能得出什么结论？ （1）选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘， 35×25=875 53×47=2491 30×30=900 50×50=2500 （2）计算下列两个数的积，你能发现结果有什么规律吗？ 学生活动：观察发现这两个因数的和为定值。 教师活动：让学生自主观察上面两组算式中的因数有什么特点。 ② 50×50，53×47，74×26，91×9. ① 30×30，35×25，43×17，52×8； （1）观察下列两组算式，两个因数有什么特点？ 活动2 和为定值的两数积的规律 类比：自主学习 展学生的创新思维以及应用意识。 识的基础上改变方框的大小与形状，找到交叉相乘再相减的视角下研究月历的通性通法，发 设计意图：将活动1的问题进行变式，引导学生多角度思考问题，让他们再已有知 为常数。 在月历中，四个位置的数满足两两相加，和相等，则这四个数交叉相乘再相减结果 改变方框的形状： 且为7的倍数，与日期无关。 在月历中，只要构成长方形结构，对角位置的四个数交叉相乘，再相减结果为常数， 改变方框的大小： 相乘再相减，进行多种变式。 学生活动：学生先进行自主学习，再小组交流意见，将月历中4个位置的数，交叉 教师活动：引导学生从改变方框的形状与大小的角度进行思考。 （4）你还能发现其他规律吗？（可以从改变方框的大小与形状的角度进行思考） 进阶：解决问题 及运算能力的核心素养，并渗透从特殊到一般的思想方法。 设计意图：将猜想进行证明，感受数式运算的一致性，突出重点，发展推理能力以 月历中，任意2×2连续方框，所框的4个数，交叉相乘再相减,结果恒等于7。 表达规律： (a+1)(a+7)－a(a+8)=7 那么x(60-x)=-x +60x= ? 2 遇到困难，不会求解-x +60x的最大值。 （小组2）思路2：设一个数为30+x(x＞0),另一个数为30-x. 2 那么(30+x)(30-x)=900-x 2 2 x 最小时，900-x 最大 2 因此x=0，（900-x ）最大值为900. 设计意图：如何用字母表示相乘的两个数是最优方案，这是本节课的难点，为了降低 难度，设计上面的思考为学生解决问题搭建梯子，引导学生先从特殊的数字例子着手研究， 一个小组没有解决问题，遇到困难，说明用要用合适的字母表示相乘的两个数才能解决问题。 另一个小组用平方差公式的思路找到了问题解决的方法，为下面一般规律的证明做好了铺垫。 类比：探究学习 （3）你能用本章所学知识解释你发现的规律（两数和一定时，差的绝对值越小积越大.） 吗？ 教师活动：引导学生用本章知识解释一般性的规律。 学生活动：学生进行小组合作学习，给出自己的研究成果。 代数推理，解释规律： 设一个数为a+b，另一个数为a－b.（其中a为定值，b≥0） 2 （小组1）思路1：设一个数为x(x＞0),另一个数为60-x. 学生活动：学生进行小组合作学习，给出自己的研究成果。 积的最大值？ 教师活动：让学生从特殊数例思考，① 组中两数之和为60，为什么900是两数之 思考：两数之和为60，为什么900是两数之积的最大值？ 类比：合作学习 组相同的实验结果进行猜想，发展学生严谨的数学思维习惯。 设计意图：类比活动1的学习经验，让学生先从特殊的数字例子着手研究，通过多 学生活动：通过两组实例计算，猜想规律：两数和一定时，差的绝对值越小积越大. 教师活动：让学生自主计算上面两个数的积，并找出规律。 52×8=416 91×9=819 43×17=731 74×26=1924 两数之积为(a+b)(a－b)=a －b . 2 2 2 显然b 越小，a －b 越大. 因此，当b=0时(即两个数都等于a)， 2 2 2 (a －b )最大，积的最大值为a . 设计意图：有了上面思考的指导，学生可以很顺畅地用合适的字母表示相乘的两个数， 解释了一般性的规律，再次感受数的运算与式的运算结果的一致性，发展推理能力。 （4）利用你发现的规律解决下面的问题： 用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边 长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？ 教师活动：引导学生自主解决上面的问题。 学生活动：学生独立解决问题，展示成果。 设长方形的一边长为xm，则它邻边的长为(5－x)m. 2 长方形的面积为x(5－x) m 由于x与5－x 和为定值5， 故当x=5－x，即x=2.5时，长方形面积最大，为6.25. 此时长方形两邻边相等，是正方形. 更一般的结论：周长一定的长方形中，正方形的面积最大. 设计意图：应用规律解决问题，发展应用意识。 小结：形成策略 师生活动：师生共同通过本次数学活动的学习，总结经验。 设计意图：积累活动经验，为后续类似问题的学习形成运算策略。 布置作业： 2 2 则两数之和为定值2a. （3）你还能提出哪些类似的问题？与同伴进行交流。 （2）你能从图形的角度得出更一般的结论吗？ （1）你有哪些解决问题的方法？ 2、三个正数的和是12，求这三个数积的最大值。 1、下图是“两数和一定时，差值越小积越大”的图形验证，你能从几何角度解释规律吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $