16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦完全平方公式核心知识点，通过“农田面积”情境导入，用几何直观（大正方形面积与四小图形面积和）引出公式，衔接多项式乘法及平方差公式基础，为后续因式分解等搭建学习支架。 此教案以“几何直观→代数验证→归纳概括”为主线，通过实例推导公式培养推理能力，结合图形面积与代数运算渗透数形结合，设计易错辨析（如区分(a+b)²与a²+b²）提升运算准确性，数值简便运算及杨辉三角拓展强化模型观念，助力学生掌握公式应用，为教师提供结构化教学流程与丰富练习资源。

16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 课题 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十六章 整式的乘法 教学方法 情境导入、探究发现、讲练结合 教学用具 多媒体课件 教材分析 本节课是乘法公式的第二课时，在学习了平方差公式之后，继续研究完全平方公式。完全平方公式=+2ab+和=-2ab+是整式乘法的重要公式，也是后续学习因式分解和二次根式化简的重要基础。本节课通过几何直观和代数推导两种方式得出公式，再通过例题和练习帮助学生掌握公式的运用，体现了数形结合的思想方法。 学情分析 学生已学习了多项式乘多项式法则，能熟练进行多项式乘法运算，并已学习了平方差公式。完全平方公式形式上与平方差公式不同，学生容易混淆与+，也容易将误写为。本节课通过几何图形的面积法和代数推导法两种途径帮助学生理解公式，再通过辨析练习巩固公式的结构特征。 教学重点：掌握完全平方公式=+2ab+和=-2ab+，理解公式的结构特点——"首平方，尾平方，积的2倍放中央"。能运用完全平方公式进行整式乘法运算，包括数值运算中的简便计算。 掌握完全平方公式=+2ab+和=-2ab+，理解公式的结构特点——"首平方，尾平方，积的2倍放中央"。能运用完全平方公式进行整式乘法运算，包括数值运算中的简便计算。 教学难点：正确区分与+、与，避免"丢中间项"的典型错误。灵活确定公式中的a和b——当a、b为多项式或含负号时，正确代入公式。运用完全平方公式进行数值简便运算，如=。 正确区分与+、与，避免"丢中间项"的典型错误。灵活确定公式中的a和b——当a、b为多项式或含负号时，正确代入公式。运用完全平方公式进行数值简便运算，如=。 一、核心素养目标 1. 运算能力 理解完全平方公式的推导过程，掌握公式=+2ab+和=-2ab+的内容和结构特点。能熟练运用完全平方公式进行整式乘法运算，包括底数为单项式、多项式、含负号等情况，运算准确、规范。 2. 推理能力 经历"几何直观→代数验证→归纳概括"的完整探究过程。能从多项式乘多项式法则出发，推导出完全平方公式，体会从一般到特殊的数学思维方法。能通过几何图形的面积关系验证公式，体会数形结合思想。 3. 模型观念 建立完全平方公式=+2ab+和=-2ab+两个运算模型，掌握"首平方，尾平方，积的2倍放中央"的结构特征。能正确区分完全平方公式与平方差公式，理解不等于+。 4. 应用意识 能灵活运用完全平方公式进行简便运算，如 体会数学公式在简化运算中的应用价值。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握完全平方公式：=+2ab+，=-2ab+。 2. 理解公式的结构特点——"首平方，尾平方，积的2倍放中央"。 3. 能运用完全平方公式进行整式乘法和数值简便运算。 教学难点 1. 正确区分与+，避免"丢中间项"的典型错误。 2. 灵活确定公式中的a和b，当底数含负号或为多项式时正确代入。 3. 运用完全平方公式进行数值简便运算，合理拆分数字。 三、教学过程 环节一：情境导入（6分钟） 【教师活动】一块边长为a米的正方形农田，将其边长增加b米，形成四块农田，以种植不同的品种。你能用几种方式表示农田的总面积？ 【学生活动】直接求：总面积=。间接求：总面积=+ab+ab+=+2ab+。两种方式表示的都是同一块农田的总面积，所以=+2ab+。 【教师活动】非常好！从图形的面积关系我们得到了一个等式：=+2ab+。这个等式是否总是成立呢？下面我们通过代数计算来验证。 【知识点】情境发现几何直观：大正方形面积 = 四个小矩形面积之和 = + ab + ab + = + 2ab + 【设计意图】通过农田面积的情境问题引入，利用几何图形的直观性帮助学生初步感知完全平方公式，激发学生的学习兴趣，同时渗透数形结合的思想方法。 【过渡语】从几何直观我们得到了一个猜想。下面让我们通过多项式乘法来严格验证这个公式。 环节二：探究新知（20分钟） 探究一：计算多项式积，发现规律 【教师活动】请同学们计算下列多项式的积，并观察结果，你能发现什么规律？ (1) = (p+1)(p+1) = __________ (2) = (m+2)(m+2) = __________ (3) = (p-1)(p-1) = __________ (4) = (m-2)(m-2) = __________ 【学生活动】(1) =+2p+1。(2) =+4m+4。(3) =-2p+1。(4) =-4m+4。 【教师活动】观察这些结果，它们有什么共同特征？ 【学生活动】都是形如的多项式相乘。右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍。 【教师活动】总结得非常到位！=+2·p·1+，=+2·m·2+，=-2·p·1+，=-2·m·2+。 【知识点】观察发现 = + 2p + 1 = + 2·p·1 + = + 4m + 4 = + 2·m·2 + = - 2p + 1 = - 2·p·1 + = - 4m + 4 = - 2·m·2 + 规律：都是形如的多项式相乘，结果为首平方+尾平方±2倍积。 【设计意图】通过计算四个具体实例，让学生自主发现规律，为后面归纳完全平方公式做好铺垫。从特殊到一般的归纳过程，符合学生的认知规律。 【过渡语】从特殊例子中我们发现了一个规律。下面让我们把这个规律推广到一般情况，看看能否得到两个重要的公式。 探究二：猜想与验证——推导完全平方公式 【教师活动】根据以上规律，你能猜想和等于什么吗？请用多项式乘法验证你的猜想。 【学生活动】=(a+b)(a+b)=+ab+ab+=+2ab+。=(a-b)(a-b)=-ab-ab+=-2ab+。 【教师活动】完全正确！这就是完全平方公式。 【知识点】完全平方公式 = + 2ab + = - 2ab + 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。 【教师活动】注意：=+2ab+是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a、q=b的特殊情形。 【理解要点】完全平方公式的记忆口诀首平方，尾平方，积的2倍放中央。和平方：中间项为正—— + 2ab + 差平方：中间项为负—— - 2ab + 公式中的字母a、b可以为数、单项式、多项式。 【设计意图】通过猜想和代数验证，让学生经历完整的公式发现过程。多项式乘多项式法则是一般方法，完全平方公式是其特殊情形，体现了从一般到特殊的数学思想。 【过渡语】我们推导出了完全平方公式，下面让我们来深入分析一下这个公式的特点。 探究三：分析完全平方公式的特点 【教师活动】说一说完全平方公式有哪些特点？ 【学生活动】第一，积为二次三项式。第二，积中两项为两数的平方和。第三，另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同。第四，公式中的字母a、b可以为数、单项式、多项式。 【知识点】完全平方公式的特点 1. 积为二次三项式 2. 积中两项为两数的平方和 3. 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同 4. 公式中的字母a、b可以为数、单项式、多项式 【教师活动】填一填，请同学们完成下列填空。 (1) = + 2x + = 1 + 2x + (2) = - 2·a·3 + = - 6a + 9 (3) = + 2a + = 1 + 2a + (4) = - 2·(0.3x)·1 + = 0. - 0.6x + 1 【学生活动】(1) 1+2x+。(2) -6a+9。(3) 1+2a+。(4) 0.-0.6x+1。 【设计意图】通过填空练习，让学生熟悉公式中a和b的确定方法，特别关注系数为小数、底数含负号等情况，为后续例题做好铺垫。 【过渡语】我们通过代数推导得到了完全平方公式。下面让我们从几何角度再来验证一下这个公式。 探究四：几何解释完全平方公式 【教师活动】你能根据图形的面积说明完全平方公式吗？ 左图：大正方形边长为(a+b)，直接求面积S=。间接求面积S=+ab+ab+=+2ab+。所以=+2ab+。 右图：阴影部分面积为。从大正方形面积中减去两个长方形面积ab+ab，再加上多减的小正方形面积，得=-2ab+。 【学生活动】几何图形直观地验证了完全平方公式的正确性！ 【知识点】几何解释：大正方形面积 = 两个小正方形面积 + 两个长方形面积：阴影部分面积 = 大正方形面积 - 两个长方形面积 + 多减的小正方形面积 【设计意图】通过几何图形的面积解释，帮助学生从数形结合的角度理解完全平方公式，加深对公式的记忆和理解。数形结合是本课的重要思想方法。 【过渡语】我们通过代数推导和几何解释，得到了完全平方公式。下面让我们通过例题来学习如何运用这个公式进行计算。 探究五：例3——运用完全平方公式计算 【教师活动】（例3）运用完全平方公式计算。 例3 运用完全平方公式计算： 【教师活动】分析：在(1)中，a=4m，b=n。在(2)中，a=y，b=二分之一。 【学生活动】(1) =+2·(4m)·n+=+8mn+。 【学生活动】(2) == 【解答】解：(1) = + 2·(4m)·n + = + 8mn + 【解答】(2) = = 【解题策略】运用完全平方公式的步骤1. 确定公式中的a和b——分别对应哪一项2. 分别计算（首平方）和（尾平方）3. 计算2ab（积的2倍），注意符号：和平方为正，差平方为负4. 将三项合并，注意合并同类项5. 特别提醒： 【设计意图】例3是教材中的例题，第(1)题底数为单项式，第(2)题底数含分数，体现了公式的普适性。通过例题讲解，帮助学生掌握确定a和b的方法以及运算步骤。 针对训练——运用完全平方公式计算 【教师活动】计算下列各式。 1. 2. 3. 【学生活动】1. = + 2·7·a + = 49 + 14a + 。 【学生活动】2. = = 【学生活动】3. 方法一： = + 2·(-3a)·2 + = - 12a + 4。方法二：也可看作 = - 2·2·3a + = - 12a + 4。 【解答】解：(1) = + 2·7·a + = 49 + 14a + = + 14a + 49 【解答】(2) = = 【解答】(3) = + 2·(-3a)·2 + = - 12a + 4（也可看作 = - 2·2·3a + = - 12a + 4） 【易错提示】负号的处理中，可看作a=-3a，b=2代入，也可看作代入。两种方法结果一致： - 12a + 4。注意： = ，不要写成。 【设计意图】三道练习题分别对应不同的底数类型：单项式底数、含负号和分数的底数、含负系数的底数。通过针对训练，帮助学生巩固确定a和b的方法。 【过渡语】同学们已经掌握了运用完全平方公式进行整式乘法运算。完全平方公式还可以用于数值的简便运算，让我们来看例4。 探究六：例4——运用完全平方公式进行数值简便运算 【教师活动】（例4）运用完全平方公式计算。 例4 运用完全平方公式计算： 【学生活动】(1) ==+2×100×2+=10000+400+4=10404。 【学生活动】(2) ==-2×100×1+=10000-200+1=9801。 【解答】解：(1) = = + 2×100×2 + = 10000 + 400 + 4 = 10404 【解答】(2) = = - 2×100×1 + = 10000 - 200 + 1 = 9801 【方法技巧】数值简便运算的思路核心思路：将数拆分为"整十/整百数 ± 小数"的形式，再利用完全平方公式。：拆为，用公式。：拆为，用公式。关键：拆分后整十/整百数的平方容易计算，小数的平方也容易计算。 【设计意图】例4展示了完全平方公式在数值运算中的应用，体现了数学公式简化运算的价值。通过将数字合理拆分，可以避免复杂的竖式乘法计算。 针对训练——数值简便运算 【教师活动】计算下列各式。 1. 2. 9. 3. 【学生活动】1. ==-2×40×1+=1600-80+1=1521。 【学生活动】2. 9.==-2×10×0.3+0.=100-6+0.09=94.09。 【学生活动】3. ==+2×900×1+=810000+1800+1=811801。 【解答】解：(1) = = - 2×40×1 + = 1600 - 80 + 1 = 1521 【解答】(2) 9. = = - 2×10×0.3 + 0. = 100 - 6 + 0.09 = 94.09 【解答】(3) = = + 2×900×1 + = 810000 + 1800 + 1 = 811801 【设计意图】三道练习题分别涉及不同的拆分方式：39拆为(40-1)、9.7拆为(10-0.3)、901拆为(900+1)。通过练习，帮助学生掌握数值拆分的方法和技巧。 【过渡语】我们学习了完全平方公式的两种形式。那么和相等吗？和呢？下面让我们来探究一下。 探究七：完全平方公式的变形 【教师活动】思考下列问题： (1) 与相等吗？ (2) 与相等吗？ (3) 与相等吗？ 【学生活动】(1) 相等。=[-(a+b)]=，或者=-2·(-a)·b+=+2ab+=。 【学生活动】(2) 相等。=[-(b-a)]=，或者=-2ab+=-2ab+=。 【学生活动】(3) 不相等！=(a-b)(a-b)=-2ab+，而=(a+b)(a-b)，两者完全不同。 【教师活动】分析得很到位！=-2ab+，=(a+b)(a-b)。完全平方公式和平方差公式是两个不同的公式，千万不要混淆！ 【知识点】完全平方公式的变形关系 = （互为相反数的平方相等） = （互为相反数的平方相等） ≠ - （完全平方公式 ≠ 平方差公式） 【易错提示】区分完全平方公式与平方差公式 = + 2ab + —— 三项，有中间项 = - 2ab + —— 三项，有中间项(a+b)(a-b) = - —— 两项，无中间项关键：完全平方公式的结果是三项式，平方差公式的结果是二项式！ 【设计意图】通过对比辨析，帮助学生区分完全平方公式与平方差公式，避免混淆。同时让学生理解互为相反数的两个数（式）的平方相等这一重要性质。 针对训练——运用公式变形计算 【教师活动】计算下列各式。 1. 2. 【学生活动】1. =-2·(3x)·(2y)+=-12xy+。 【学生活动】2. ==-2·(6y)·(4x)+=-48xy+。 【解答】解：(1) = - 2·(3x)·(2y) + = - 12xy + 【解答】(2) = = - 2·(6y)·(4x) + = - 48xy + 【方法技巧】可先转化为，再用公式计算。注意：=，=，中间项为-2·6y·4x=-48xy。 【设计意图】通过练习，让学生掌握利用公式变形简化计算的方法。利用=的性质转化为，使计算更简便。 【过渡语】下面让我们来拓展一下知识，看看杨辉三角与完全平方公式的关系。 探究八：杨辉三角与完全平方公式 【教师活动】杨辉三角中蕴含着二项式展开的系数规律。利用杨辉三角，你能写出的展开式吗？ 杨辉三角 【学生活动】杨辉三角第7行（从第0行开始）的系数为：1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。所以=++++++。 【教师活动】完全正确！杨辉三角给出了展开式中各项的系数，其中n=2时就是我们的完全平方公式=+2ab+，系数为1, 2, 1。 【知识点】杨辉三角与完全平方公式 = + 2ab + （系数：1, 2, 1） = + + + （系数：1, 3, 3, 1） = + + + + + + 【设计意图】杨辉三角是本节课的拓展内容，帮助学生建立完全平方公式与二项式定理之间的联系，为后续学习提供知识生长点。 环节三：课堂练习（12分钟） 【过渡语】通过以上的学习，同学们已经掌握了完全平方公式。现在让我们通过练习题来检验一下学习效果。 【教师活动】练习1：下列计算正确的是（ ） A. = - 4x + 1 B. = + C. = + D. = - 【学生活动】选A。A选项：=-2·(2x)·1+=-4x+1，正确。B选项：=+2ab+，缺少中间项2ab，错误。C选项：=+2xy+，缺少中间项2xy，错误。D选项：=-2ab+，而符号不同，错误。 【教师活动】回答正确！B、C、D三个选项都是典型的错误，根源在于忽略了中间项2ab。完全平方公式的结果是三项式，不是二项式！ 【重点强调】牢记完全平方公式的三项结构 = + 2ab + （三项，不是二项！） = - 2ab + （三项，不是二项！）常见错误： = + （丢中间项） = - （丢中间项且符号错） 【教师活动】练习2：下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（教材P115练习 第1题） (1) = + (2) = - ab + 【学生活动】(1) 不正确，应为=+2ab+。(2) 不正确，应为=-2ab+。 【答案】(1) 不正确，原式 = + 2ab + 。 【答案】(2) 不正确，原式 = - 2ab + 。 【教师活动】第(1)题缺少中间项2ab，第(2)题中间项系数错误，应为-2ab而不是-ab。这是同学们最容易犯的两种错误，一定要记清楚！ 【教师活动】练习3：运用完全平方公式计算（教材P115练习 第2题） (1) (2) (3) (4) 【学生活动】(1) =+2·x·6+=+12x+36。 【学生活动】(2) =-2·y·5+=-10y+25。 【学生活动】(3) ==-2·5·2x+=-20x+25。 【学生活动】(4) ==9/-xy+4/。 【解答】解：(1) = + 2·x·6 + = + 12x + 36 【解答】(2) = - 2·y·5 + = - 10y + 25 【解答】(3) = = - 2·5·2x + = - 20x + 25 【解答】(4) = = 9/ - xy + 4/ 【方法技巧】第(3)题先转化为 = ，用 【教师活动】练习4：运用完全平方公式计算（教材P116练习 第3题） (1) (2) 70. 【学生活动】(1) ==-2×100×2+=10000-400+4=9604。 【学生活动】(2) 70.==+2×70×0.5+0.=4900+70+0.25=4970.25。 【解答】解：(1) = = - 2×100×2 + = 10000 - 400 + 4 = 9604 【解答】(2) 70. = = + 2×70×0.5 + 0. = 4900 + 70 + 0.25 = 4970.25 【设计意图】四道练习题覆盖了选择题、判断题、整式运算和数值运算四种题型，全面检测学生对完全平方公式的掌握情况。题目全部来自教材，确保与教学内容一致。 环节四：课堂小结（4分钟） 【教师活动】本节课我们学习了什么内容？请同学们回顾总结。 【学生活动】本节课我们学习了完全平方公式：=+2ab+，=-2ab+。公式的特点是"首平方，尾平方，积的2倍放中央"。公式中的a、b可以是数、单项式或多项式。我们还学习了运用完全平方公式进行整式乘法和数值简便运算。 【教师活动】总结得很好！最后再强调三点：第一，完全平方公式的结果是三项式，不是二项式，千万不要忘记中间项！第二，不等于，完全平方公式和平方差公式是两个不同的公式。第三，运用公式时要先确定a和b分别是什么，再代入公式计算。 【知识点】本节课知识总结完全平方公式： = + 2ab + = - 2ab + 口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央。易错：不要丢中间项！不要与平方差公式混淆！ 四、板书设计 16.3.2 完全平方公式 第1课时 一、完全平方公式 1. = + 2ab + 二、公式特点 1. 积为二次三项式 2. 公式中a、b可为数、单项式、多项式 3. 中间项符号与左边符号一致 三、公式变形 1. = 四、数值简便运算 拆分为整十/整百数 ± 小数 再利用完全平方公式 课题：人教版 八年级上册 16.3.2 完全平方公式 第1课时 五、教学反思 1. 本节课通过农田面积的情境问题引入，利用几何直观帮助学生初步感知完全平方公式，激发了学生的学习兴趣。是否达到了预期的导入效果？学生的参与度如何？ 2. 在探究完全平方公式的过程中，学生能否从四个具体计算实例中自主发现规律，并能用代数方法验证猜想？归纳推理的过程是否顺畅？ 3. 学生对完全平方公式的结构特点——"首平方，尾平方，积的2倍放中央"掌握得如何？是否能够准确识别公式中的a和b？ 4. 课堂练习中，学生是否容易犯"丢中间项"的错误（如将写成+）？是否容易混淆完全平方公式与平方差公式？后续教学中如何加强辨析？ 5. 数值简便运算部分，学生是否掌握了合理拆分数字的方法？能否灵活选择使用或公式？ 6. 杨辉三角的拓展内容是否激发了学生的学习兴趣？学生对二项式展开的系数规律是否有初步认识？ 学科网（北京）股份有限公司 $