综合与实践 最短路径问题教学设计2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦最短路径问题，涵盖“将军饮马”“造桥选址”等核心内容。课堂导入通过复习“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”公理搭建基础，从“异侧两点”模型过渡到“同侧两点”“含固定线段”复杂问题，用轴对称、平移实现转化，构建学习支架。 此资料特色在于以实际情境抽象数学模型（数学眼光），通过逻辑推理验证最短路径（数学思维），用图形变换表达转化过程（数学语言）。如将军饮马问题中轴对称转化同侧为异侧，造桥选址用平移处理固定线段。培养学生抽象与推理能力，为教师提供清晰探究流程，提升教学效率。

（桥）”的复杂问题转化为“异侧两点”的简单问题，突破“转化思想”的应用障碍。 如何引导学生想到用“轴对称”“平移”等图形变换，将“同侧两点”“含固定线段 教学难点： 3. 理解并能简述最短路径的证明过程（利用三角形三边关系验证“最短”）。 选址”问题的方法。 2. 掌握利用“轴对称”解决“两点在直线同侧”的最短路径问题，利用“平移”解决“造桥 1. 能将实际的最短路径问题抽象为数学模型（即“在直线上找一点，使线段和最短”）。 教学重点： 教学内容 果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案。 问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结 3. 学会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题，会用数学知识、思想、方法描述最短路径 信息、建立数学联系的能力。 用”的探究流程，体会“转化思想”在解决几何问题中的作用，培养从复杂问题中提取关键 2. 通过将实际问题抽象为数学模型的过程，经历“观察 — 思考 — 转化 — 验证 — 应 角形三边关系等基本公理、定理，提升逻辑推理和几何作图能力。 移等图形变换解决相关数学问题；熟练运用“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”及三 1. 理解并掌握“将军饮马”、“造桥选址”等最短路径问题的求解方法，能运用轴对称、平 教学目标 出版社：人民教育出版社 出版日期：2025年6月 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册（人教版2024） 课题 综合与实践 最短路径问题 学科 数学 年级 八年级 学期 (秋季) 课程基本信息 教学设计 因此 AC +BC=AC+B′C，问题转化为：在直线  上找 C，使 AC+B′C 最短， 即转化为点A、 学生尝试：若做点B关于直线  的对称点B′,任意C在直线上，BC=B′C(轴对称的性质）， 能否让其中一个点“跨过”直线  ，且到直线  上任意点的距离不变？） 教师引导：点A、B同侧时，直接连接 AB 不与直线  相交，如何转化为异侧的情况？（提示： 转化为:在直线 上找一点 C ，使 AC+BC 最短。 引导学生抽象：将 A、B 两地抽象为点 A、B，将河边抽象为直线 ，问题 路径最短？ （A、B两地在河的同侧） 教师呈现情境：一位将军从 A 地出发，到笔直的河边饮马后回到 B 地，如何确定饮马点使 2. 抽象数学模型 设计意图：从最简单的“异侧”问题入手，建立解题基础模型，降低探究起点。 即最短。 验证：依据“两点之间，线段最短”，AB 是 A 到 B 的最短路径，因此交点 C 满足 AC+BC=AB， 考，预设：直接连接 AB ，与的交点就是点C） 找到点C，使得这点C到点 A、点 B 的距 离的和最短？（学生自主思 教师提问：如果点 A、B 分别是直线  异侧的两个点，如何在直线上 1.问题铺垫 二、新知探究（一）：将军饮马问题 设计意图：通过回顾三个基本几何公理，为学生解决新问题提供明确的理论依据和思维起点。 生活中的实际问题。 2.教师总结：这三个定理是解决 “最短路径” 问题的核心依据，今天我们将运用它们解决 问题 3：三角形的三边关系是什么？（预设答案：两边之和大于第三边） 哪条最短？为什么？（预设答案：垂线段 PC，依据 “垂线段最短”） 问题 2：如图，点 P 是直线外  一点，P 与 上  各点连接的线段中， 设答案：线段 AB，依据“两点之间，线段最短”） 问题 1：如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？（预 1.教师呈现问题，引导学生回忆基本定理： 一、复习回顾： 教学过程 ②连接P′P″，分别交 OA于 E、OB于F。则点E、F 即为所求（教师示范说明：PE=P′E， ①作点P 关于OA 的对称点P′、关于 OB 的对称点 P″； 法： 段和最短”（提示：利用对称点，使 PE=P′E，FP=FP″），得出作 教师引导，学生可自主分析：△PEF周长 =PE+EF+FP，需转化为“线 使△PEF 周长最短。 题目：如图，在∠AOB 内部有一点 P，在 OA、OB 上分别找 E、F， A处。将军怎样走可使所走的路径最短？（学生尝试抽象成数学问题如下） 1. 教师呈现问题情景：将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 三、新知拓展：将军饮马问题拓展 设计意图：通过验证对称点的可选择性，加深学生对转化方法本质的理解，避免思维僵化。 C+BC=A′B，仍为最短）。 最短路径？（学生自主验证，预设：是，因为对称点的选择不影响转化逻辑，最终 AC+BC=A′ 教师提问：若作点 A 关于直线  的对称点 A′，连接 A′B 交直线  于 C，是否也能得到 4. 拓展思考 设计意图：通过严谨的演绎推理，验证方法的正确性，培养学生严密的逻辑思维。 的作用：排除其他可能，证明唯一性）。 ⑤故 AC+BC＜AC′+BC′，即 AC+BC 最短（学生跟随教师梳理证明逻辑，理解 “任取 C′” ④在△AB′C′ 中，由三角形三边关系：AB′＜AC′+B′C′； ③因此：AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′； ②由轴对称性质：BC=B′C，BC′=B′C′； ①任取 C′于  ，C′与C不重合，连接 AC′、BC′、B′C′； 教师引导证明，过程如下： 3. 逻辑证明 到“异侧”的转化思想。 设计意图：引导学生将实际问题转化为数学模型，并核心介绍利用“轴对称”实现“同侧” 点C，点C 即为所求。 于是得出方法：①作 B 关于的  对称点 B′；②连接 AB′，与  交于 B′在直线 的异侧问题。 b”），得出方法： 分”？（提示：平移 AM，使 M 与 N 重合，因 MN 垂直于河岸，平移方向应为 “垂直于 a、 教师引导：MN 是定值，能否 “去掉”MN 的影响，将 AM、BN 转化为 “同一条线段的两部 2. 求解方法 设计意图：引入包含固定线段的新模型，明确其与“将军饮马”问题的区别，拓展学生认知。 （因 MN 固定，只需最小化 AM+BN）”。 = 河宽，为定值）”，问题转化为 “在 b 上找 N，在 a 上找 M（MN⊥b），使 AM+BN 最短 引导学生抽象：河岸 a、b 为“平行线 a、b”，桥 MN 为 “垂直于 a、b 的线段（MN 长度 造一座与河岸垂直的桥 MN，使 A 到 B 的路径 AM+MN+BN 最短”。 教师呈现情境：如图，A、B 两地在河的两岸（河岸 a、b 平行）， 1. 抽象数学模型 四、新知探究 （二）：“造桥选址” 问题 设计意图：通过最高阶的变式，培养学生分析复杂问题、进行多次转化的综合能力。 际问题的答案）。 ME+EF+FN+NM=M′N′+NM，M′N ′最短，故周长最短）。这也正是将军的牧马点和饮马点（实 ②连接 M′N′，交 OA 于点 E、OB 于点 F，则点E、F 即为所求（教师总结：周长 = ①作M 关于 OA 的对称点 M′，作N 关于 OB 的对称点 N′； 关于 OA 的对称点 M′，N 关于 OB 的对称点 N′），得出作法： 学生思考：需转化为 “ME=M′E、FN=FN′，使 ME+EF+FN=M′E+EF+F′N=M′N′（提示：作 M ME+EF+FN）。 边形 MEFN 周长最短（周长 = ME+EF+FN+NM， NM 长为定值，需最小化 题目：如图，在∠AOB 内部有 M、N两点，在 OA、OB 上找 E、F，使四 下） B处。将军怎样走可使所走的路径最短？（学生尝试抽象成数学问题如 2. 教师呈现问题情景：将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 力。 设计意图：将基础模型进行拓展，训练学生在更复杂情境下识别模型、应用轴对称方法的能 是前面实际问题的答案。 FP=FP″，△PEF周长 = P′E+EF+FP″=P′P″，依据 “两点之间线段最短”）。强调这也 实现从“学会”到“会学”的升华。 设计意图：从具体方法中提炼“转化”的数学思想，并梳理“问题-方法-依据”的知识结构， 核心依据：两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系。 核心方法：轴对称（转化同侧点为异侧点）、平移（转化含固定线段的问题）； 核心问题：最短路径问题（线段和最小）； 里非常重要，大家要好好体会，以后遇到其他数学问题，也可以尝试用这种思想来解决。 转化成咱们已经解决过的熟悉问题，这样就能轻松找到最短路径了。这种转化的思想在数学 知识梳理：在解决最短路径问题时，通常会利用轴对称和平移，把咱们没见过的未知问题， 六、课堂小结： 合运用能力。 设计意图：在具体问题中检验解决最短路径问题方法的掌握，并融合几何证明，提升学生综 家的最短距离为1200m。 利用角角边定理证明△A′CE≌△BDE ，得出E是CD的中点，AE=BE,进而求出牧童饮马再回 连接AE，则点E即为所求的点。 学生做答：解：延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E， 离，并在图中作出饮水点E。 AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600m，求牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家的最短距 教师展示问题：如图，牧童在A处放牛，家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且 五、新知应用： 化策略。 设计意图：介绍“平移”转化法，并与“轴对称”进行对比，强调根据问题特征选择合适转 总结：解决最短路径问题的基本方法就是利用轴对称和平移等转化的思想来解决。 线等画图过程）。 ③作 MN⊥b，交 a 于 M ，线段MN 即为所求桥的位置（演示平移、连 ②连接 A₁B，与 b 交于 N； AA₁=MN，AA₁⊥a）； ①将点A 沿 “垂直于 a 的方向” 平移 “河宽” 至 A₁（使 学科网（北京）股份有限公司 $