第11讲 整式运算中含参数及新定义型问题 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学整式运算中含参数及新定义型问题，在学生掌握整式基本运算基础上，系统梳理单项式/多项式运算求参数、完全平方式参数、图形面积与整式结合、新定义运算等题型，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料亮点在于题型分类清晰，方法总结与例题变式结合，通过参数问题培养抽象能力和推理意识，图形问题发展几何直观，新定义问题提升数学语言表达。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固查漏。

第11讲 整式运算中含参数及新定义型问题 典 型 例 题 题型 利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 1 例 已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 1-1 变式变式 若，则的值为（　　） A． B． C． D． 1-2 变式变式 设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 1-3 变式变式 已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 题型 利用单项式乘多项式求字母的值 2 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 2 例 若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2-1 变式变式 若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2-2 变式变式 已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 2-3 变式变式 若对任意都成立，则 ． 题型 已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 3 例 若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 3-1 变式变式 已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 3-2 变式变式 多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6． (1)试确定m和n的值； (2)利用（1）的结果，求的值． 3-3 变式变式 定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 题型 完全平方式中的字母参数问题 4 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 4 例 若式子是一个完全平方式，则k= ． 4-1 变式变式 若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 4-2 变式变式 如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 4-3 变式变式 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 题型 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 5 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 5 例 如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 5-1 变式变式 如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 5-2 变式变式 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 5-3 变式变式 有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 题型 整式的运算中的新定义型问题 6 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 6 例 定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 6-1 变式变式 新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 6-2 变式变式 定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 6-3 变式变式 教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 课 后 练 习 1 练 如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 2 练 若关于的多项式是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或7 3 练 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4 练 现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 5 练 在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 6 练 ，则 ． 7 练 若关于的多项式的计算结果中不含有项，则 ． 8 练 在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有 个． 9 练 对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为 ． 10 练 我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为 ． 11 练 （1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 12 练 如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 13 练 对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 14 练 定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 15 练 【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若，求m，n的值； (2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； (3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 16 练 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 17 练 如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 18 练 对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：________；________：________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论； (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值． 第11讲 整式运算中含参数及新定义型问题 典 型 例 题 题型 利用单项式乘法求字母或代数式的值 1 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 1 例 已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又，故选：． 1-1 变式变式 若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，∴，解得：，∴．故选：C． 1-2 变式变式 设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，， ∵，∴，，解得：，∴ 1-3 变式变式 已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项，∴与是同类项， ∴，∴； （2）解： ， 当时，原式． 题型 利用单项式乘多项式求字母的值 2 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 2 例 若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：，，，故选：． 2-1 变式变式 若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴，故选：C． 2-2 变式变式 已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【详解】解：，∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴，∴故选：B 2-3 变式变式 若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【详解】解：，， ，原式子对任意都成立，，， 解得：，，．故答案为：1． 题型 已知多项式乘积不含某项求字母的值 3 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 3 例 若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【答案】； 【详解】解：原式， 的展开式中不含x的二次项和一次项， ，解得． 3-1 变式变式 已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项，∴，解得：； （2）． 3-2 变式变式 多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6． (1)试确定m和n的值； (2)利用（1）的结果，求的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ∵不含项，且常数项是，∴，解得：； （2）解： ， 当时，原式． 3-3 变式变式 定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【详解】（1）解： ∵，∴，∴； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项，∴，∵， ∴，∴时， ． （3）解：∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 题型 完全平方式中的字母参数问题 4 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 4 例 若式子是一个完全平方式，则k= ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，解得．故答案为：． 4-1 变式变式 若是一个完全平方式，则常数k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是一个完全平方式，∴故答案为：． 4-2 变式变式 如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】或/或 【详解】解：，∴，解得：或， 故答案为：或． 4-3 变式变式 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【详解】解：①∵，∴， ②若中M是多项式的平方，则；故答案为：或． 题型 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 5 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 5 例 如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：，∴解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 5-1 变式变式 如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)大长方形面积：；阴影部分的面积： (3)5 【详解】（1）解：大长方形的长：， 宽：，故答案为：，； （2）大长方形面积：， 阴影部分的面积：； （3）当时， 由（2）得， ∴． 5-2 变式变式 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)165 (3)15 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：，∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵，∴． 5-3 变式变式 有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴，∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴，∵，∴，∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，∴． 题型 整式的运算中的新定义型问题 6 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 6 例 定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：（1） ；故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 6-1 变式变式 新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：． （2）解：．， ∴，∴，． 6-2 变式变式 定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下：， ∵的项数比A的项数多1项，∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2）， ∵B是A的“极好多项式”，∴且，解得．故答案为：3； （3） ，∵B是A的“极好多项式”，∴或，解得或0． ∴的值是或0． 6-3 变式变式 教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：根据新运算， 对于；故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项，∴一次项系数，∴解得； （3），可得：，即， ∴，∵，∴，∴，∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵，∴，， ∵∴，即， ∴ ． 课 后 练 习 1 练 如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【详解】解：由题意可知：，，，，， 故选：C 2 练 若关于的多项式是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或7 【答案】D 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴，∴，则m的值为：或7．故选：D． 3 练 甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】 解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意；综上，只有甲符合题意，故选：A． 4 练 现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知： ，故选：C 5 练 在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为，故选：D． 6 练 ，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， ．故答案为：． 7 练 若关于的多项式的计算结果中不含有项，则 ． 【答案】2 【详解】解：， ∵关于的多项式的计算结果中不含有项，∴，∴，故答案为：2． 8 练 在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有 个． 【答案】 【详解】解：；； 加上的单项式可以是、中任意一个．故答案为：． 9 练 对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，解得：或，即的值为， 故答案为：． 10 练 我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 由（、是整式，为常数）为“完全式”，故，解得， 当时，故，解得，故，故答案为：． 11 练 （1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2）， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，，解得：，∴． 12 练 如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的，∴，化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴，解得，∴阴影部分的面积为． 13 练 对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【详解】（1）解：原式．故答案为：； （2）解：原式，是完全平方公式，或．故答案为：2或； （3）解：原式， ，，，，． 14 练 定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【详解】（1）解： ∵，∴，∴；故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项，∴， ∵，∴，∴时， ； （3）解：∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即，∴ 15 练 【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若，求m，n的值； (2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； (3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：，．，，，，； （2）解：，∵的结果中不含一次项， ，解得：，由得：，； （3）解：，，， ∴． 16 练 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)阴影部分的面积为 (3)该命题为假命题，理由见解析 【详解】（1）解：， ∴根据“智慧数”的定义，除1外的所有奇数是“智慧数”，故答案为：是； （2）解：方法一： ∵ ，∴阴影部分的面积为． 方法二：∵ ，∴阴影部分的面积为． （3）解：方法一： 该命题为假命题，理由如下： ∵若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，∴， ∵、是两个正整数，∴、同为偶数或同为奇数，∴是4的倍数或奇数， 又∵不是4的倍数，也不是奇数，∴不是“智慧数”，∴该命题为假命题． 方法二：（举反例） 该命题为假命题，理由如下： ∵当时，，且， 又∵若6是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，∴， ∵、是两个正整数，∴、同为偶数或同为奇数， 又∵、都是奇数乘偶数，∴6不是“智慧数”，∴该命题为假命题． ∵当时，，而6不是智慧数，∴该命题为假命题． 17 练 如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；(2)①，；②． 【详解】（1）解：； （2）①根据题意得，，，∴， ； ②，， ，， ． 18 练 对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． (1)根据上述运算填空：________；________：________． (2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论； (3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积． (4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值． 【答案】(1)2，3，5 (2) (3)120 (4)1 【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴；∵，∴； 故答案为：； （2）解：∵，，，，，∴， ∴，故答案为：； （3）解：∵，∴由（2）可得，∵，∴， ∵， ∴，∴， ∵正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为； （4）解：∵，∴，， 由图可得：矩形的面积是，， ∴，解得，∴，，∴，， ，∴，，∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $