27.2.2反比例函数的图象和性质的应用课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的应用，涵盖函数值比较、k的几何意义、与一次函数综合、对称性及实际建模五大考点。课堂导入通过回顾反比例函数的形状、象限分布和增减性，搭建前后知识支架，衔接基础性质与综合应用。 其亮点在于以结构化考点为框架，结合典型例题与变式训练，通过k的几何意义面积计算培养几何直观，比较函数值步骤化解题渗透推理意识，实际问题建模强化模型意识。易错点汇总帮助学生规避误区，系统提升解题能力，也为教师提供清晰教学路径，提高备课效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.2.2反比例函数的图象和性质的应用 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 27.2.2 反比例函数的图象和性质的应用 本节在掌握反比例函数图象、增减性、对称性及k的几何意义基础上，重点讲解函数性质综合应用、点的大小比较、几何面积计算、与一次函数综合、实际问题建模五大必考应用题型。是中考填空、选择、压轴解答题的高频考点，也是反比例函数章节的重难点收官内容。 一、考点一：利用性质比较函数值大小（必考基础） 解题核心：根据 $$k$$ 的正负、点所在象限、增减性三点综合判断，严禁跨象限直接用增减性比较。 1. 解题步骤 第一步：判断 $$k$$ 正负，确定图象象限分布与单象限增减性； 第二步：判断各点横坐标正负，确定点在第几象限； 第三步：同象限利用增减性比较大小，异象限直接根据正负判断（一、二象限y正，三、四象限y负）。 2. 典型例题 已知 $$y=\frac{4}{x}$$，图象上有三点 $$A(-2,y_1)$$、$$B(-1,y_2)$$、$$C(2,y_3)$$，比较 $$y_1、y_2、y_3$$ 大小。 解析：$$k=4>0$$，一、三象限，各象限内y随x增大而减小。A、B在第三象限，y值为负；C在第一象限，y值为正。 由 $$-2<-1$$，得第三象限内 $$y_1>y_2$$，最终大小关系：$$\boldsymbol{y_3>y_1>y_2}$$。 二、考点二：k的几何意义综合应用（面积压轴） 承接上节核心结论：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，矩形面积$$S=|k|$$，直角三角形面积$$S=\frac{1}{2}|k|$$。本节重点拓展变式题型。 1. 常见变式结论 （1）同一反比例函数上任意两点构造的标准矩形、三角形面积恒定相等； （2）若图象在一、三象限，$$k>0$$，面积直接等于$$k$$；若在二、四象限，$$k<0$$，面积取$$|k|$$； （3）过原点直线与双曲线交于两点，两点与坐标轴围成的三角形面积依然满足 $$\frac{1}{2}|k|$$。 2. 例题应用 点P在 $$y=\frac{k}{x}$$ 图象第一象限，作PM⊥x轴、PN⊥y轴，矩形PMON面积为12，求解析式。 解析：$$|k|=12$$，图象在第一象限 $$k>0$$，得 $$k=12$$，解析式为 $$y=\frac{12}{x}$$。 三、考点三：反比例函数与一次函数综合应用 此类题型为中考高频中档综合题，核心考查交点求解、图象位置、不等式取值范围。 1. 核心解题方法 （1）求交点坐标：联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组，得到交点 $$(x_1,y_1)、(x_2,y_2)$$； （2）比较函数大小、求解不等式：观察图象，图象在上的函数值更大； （3）划分区间：以两个交点横坐标为分界，分三段讨论x取值范围。 2. 典型结论 一次函数与反比例函数的两个交点，一定关于原点对称（正比例函数与反比例函数相交时）。 四、考点四：利用对称性求值 1. 中心对称：若 $$A(a,b)$$ 在双曲线上，则对称点 $$A'(-a,-b)$$ 也在图象上； 2. 轴对称：关于直线 $$y=x$$ 对称点 $$(b,a)$$，关于 $$y=-x$$ 对称点$$(-b,-a)$$。 适用题型：已知一点坐标，不求解析式，直接利用对称性求对应点坐标、函数值。 五、考点五：反比例函数实际应用（建模应用题） 现实生活中，两个量乘积为定值时，成反比例函数关系，常见模型：路程速度时间、压力压强面积、工程总量效率时间、矩形面积长与宽等。 1. 建模步骤 （1）分析题意，确定两个变量，判断乘积是否为定值； （2）设反比例解析式 $$y=\frac{k}{x}$$； （3）代入已知数据求出 $$k$$，确定函数关系式； （4）结合实际意义确定自变量取值范围（$$x>0$$）； （5）代入求值、求解最值、范围问题。 2. 常见反比例模型 路程一定：速度与时间成反比；面积一定：矩形长与宽成反比；压力一定：压强与受力面积成反比；工程总量一定：工作效率与工作时间成反比。 3. 实际应用题例题 某工程总量固定，若工作效率为 $$x$$，工作时间 $$y$$ 成反比例关系，已知效率为20时，时间为10天。求效率为25时的工作时间。 解析：设 $$y=\frac{k}{x}$$，代入 $$x=20,y=10$$ 得 $$k=200$$，解析式 $$y=\frac{200}{x}$$。 当 $$x=25$$ 时，$$y=8$$，即工作时间为8天。 六、本节高频易错点汇总 1. 比较函数值大小时，跨象限误用增减性，忽略正负差异； 2. 几何面积计算忘记 $$k$$ 需加绝对值，造成符号错误； 3. 函数综合题中，求不等式范围漏区间、漏正负分段； 4. 实际应用中忘记自变量 $$x>0$$ 的限制，出现无意义解； 5. 混淆正比例、反比例模型，分不清“比值定值”和“乘积定值”。 七、本节知识总结 本节所有应用题型均依托反比例函数两大核心：k的符号定性质、k的绝对值定面积。数值比较看象限、面积计算看|k|、综合题看图象高低、应用题看乘积定值。熟练掌握五类应用模型，可解决反比例函数全章节基础、中档、压轴所有题型，是期末与中考必考核心能力。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 能解决反比例函数与一次函数的综合问题． 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 回顾 1.反比例函数具有什么性质？ 形状 双曲线 所在象限与性质 一、三象限 每象限内， 随 增大而减小 二、四象限 每象限内， 随 增大而增大 本节课我们将运用这些性质解决具体的数学问题，包括如何求反比例函数的解析式、如何判断点是否在函数图象上，以及如何利用增减性比较函数值的大小. 情境导入 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 例1 解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 探究新知 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (2) 点 B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4) 是否在这个函数的图象上？ 例1 解：(2) 设这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 A(-2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 即 4 解得 k =－8. 因此，这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 B，C 的坐标都满足 y，点D的坐标不满足 y， 所以点 B，C 在函数y的图象上，点D不在这个函数的图象上. 探究新知 左边=右边 点的坐标 代入函数解析式 左边≠右边 点在函数图象上 点不在函数图象上 判断点是否在函数图象上的方法 探究新知 跟踪训练 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (1)这个函数的图象位于哪几个象限？在每一个象限内，y随x的增大怎样变化？ (2)点(1，-8)，(-1,8)，(1,8)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(1) ∵ 反比例函数 y= 的图象经过点 (-2，-4)， ∴ k=-2×(-4)=8，∴ ， ∴ 这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内， 随  的增大而减小. (2) 当 x=1 时，y=8，当 x=-1 时，y=-8， ∴ 点 (1，-8)，(-1,8) 不在这个函数的图象上，点(1,8)在这个函数的图象上. 探究新知 跟踪训练 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (3)如果点(a，b)在这个函数的图象上，那么点(-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(3) ∵ 点 (a，b)在这个函数的图象上， ∴ ab=8， ∴ (-a)(-b)=8, ∴ 点 (-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上. 探究新知 知识点1 用待定系数法求反比例函数解析式 1.若反比例函数的图象经过点 ，则反比例函数的解析式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.已知点，都在同一个反比例函数的图象上，则 的值为 ___. 3 返回 举一反三 10 3.［教材例1变式］已知反比例函数的图象经过点 . （1）这个函数的图象位于第________象限，在每个象限内，随 的增 大而______； 二、四 增大 （2）点， 是否在此函数的图象上？ 解：由题意，得 ， ， ， 点在函数图象上，点 不在函数图象上. 返回 举一反三 11 例2 图中的曲线是反比例函数 y= 的图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果 x1>x2，那么 y1和 y2有怎样的大小关系？ 解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于第三象限， 因为这个函数的图象位于第一、第三象限， 所以m-5>0，解得m>5. （2）因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小. 因此当 x1>x2时， y1< y2. 探究新知 知识点2 反比例函数中 的几何意义 （第4题） 4.如图，点是反比例函数 的图象上任 意一点，过点作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，则四边形 的面积为( ) B A.1.5 B.3 C.6 D.9 返回 举一反三 13 5.如图，是反比例函数的图象上一点，轴于点 ， 且 ，则该反比例函数的解析式为________. （第5题） 返回 举一反三 14 6.如图，点，分别是反比例函数和 部分图象上的点， 轴，则 的面积为____. 2.5 （第6题） 返回 举一反三 15 知识点3 反比例函数与一次函数的综合 7.已知正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于 ，两点，点的坐标是，则点 的坐标是_________. 返回 举一反三 16 （第8题） 8.[连云港中考] 如图，正比例函数 的 图象与反比例函数的图象交于， 两 点，点的横坐标为.当时， 的取值范围是 ( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 返回 举一反三 17 9.如图，直线与双曲线交于 ， 两点. （1）求直线与双曲线的解析式； 解：把的坐标分别代入和 ，得 ，，解得， ， 直线的解析式为 ，双曲线的解析式为 . 举一反三 18 （2）过点作轴于点，连接，求点的坐标及 的面积. 解：把的坐标代入，得 ， 点的坐标为 . . 返回 举一反三 19 （第10题） 10.如图，直线轴于点 ，且与反比例函数 及 的图象分别交于点 ，，连接，，已知 的值为8，则 的面积为( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 返回 举一反三 20 反比例函数 函数图象 函数的性质 列表、描点、连线 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 增减性 关于直线y=x 和 y=-x 对称 关于原点中心对称 对称性 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 课堂小结 谢谢观看 THANKS $