27.3（第1课时）实际问题与反比例函数（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，以茶吧机水温变化为情境引入，先分析加热阶段一次函数关系，再过渡到降温阶段反比例函数，搭建从一次函数到反比例函数的学习支架。 其亮点在于通过生活化情境（如茶吧机、行程问题等），结合分段函数分析培养抽象能力与模型意识，典例规范解答步骤强化推理能力，练习覆盖多领域提升应用意识。帮助学生建立数学与现实联系，教师可借助结构化内容高效教学。

人教版(新教材) 九年级上册 27.3(第1课时) 实际问题与反比例函数 第二十七章 反比例函数 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确吗？ 解：我们先求解不同阶段的函数解析式.升温速率20℃/min，初始温度20℃， 设加热阶段解析式：y=20x+20， 令y=100，20x+20=100，解得x=4，即加热4分钟达到100℃． 设反比例函数，代入(4,100)得，，k=400， 故降温阶段：．令y=20，20=，x=20，即一个完整周期为20 min． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 水温从20℃加热到80℃，需要3 min. 1 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 2 水温从20℃加热到80℃，需要3min加热段y=20x+20， 令y=80，20x+20=80，解得x=3，用时3分钟，因此该说法正确. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是，因此该说法正确. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 接通电源后，16 min时，水温为25℃. 3 在一个周期内水温不低于40℃的时间为8 min 4 分两段计算对应的范围： 加热段(0≤x≤4)：20x+20，解得x1,加热段符合条件时长：4−1=3min． 降温段(4≤x≤20)：，解得x≤10，降温段符合条件时长：10−4=6min．总时长：3+6=9 min，因此该说法错误． x=16>4，处于降温阶段，代入：=25，水温25℃，因此该说法正确. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v（单位：t/h）与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量;再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到v关于t的函数解析式. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：(1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t)，所以v关于t的函数解析式为 . (2)把t=6代人 (t/h) 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数,当>0时，越小，越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 果果爸爸家离工作单位的距离为12000 米，他每天开车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若果果爸爸到单位用 15 分钟，那么他开车的平均速度是多少？ (1) 解： (2) 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他开车的平均速度是 800 米/分. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3) 如果果果爸爸开车的速度最快为 1000 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：把 v =1000 代入函数解析式得： 解得：t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某垃圾清运公司承担了约3000 t的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量y(t)关于完成任务所需的时间x(h)的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过20 t，至少需要多长时间完成运送工作？ (2)解：令 ，则 ，解得 ， 根据反比例函数的性质，当x>0时， y随x的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过20 t时，至少需要150 h完成运送工作. (1)解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量y(t)关于完成任务所需的时间x(h)的函数表达式为： ； 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v单位：km/h）与行驶全程所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中60≤t≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围; 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系. 由图可知，当t=2时，v=120，于是有 . 当v=60时，t=4.因为60≤v≤120，并且平均速度v随看行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2h，代入①，可得v=90（km/h）；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代入①，可得v=80（km/h）.因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是80≤v≤90. 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度 y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为80mm时，求该龙须面的面条的平均横截面积． 解：设反比例函数的表达式为，将P点代入得： ， ，∴反比例函数的表达式为 ， 当 时， ，解得： ， ∴当该面团拉出的龙须面的面条长度为80mm时，该龙须面的面条的平均横截面积约为1.6mm2． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (1)解：设 时，y与x之间的函数关系式是 ， 图象过 ，则 ，解得 ，所以 ， 当 时，y与x之间的函数关系式是 ， 图象过 ，则 ，解得 ， 综上，y与x之间的函数关系式是 ； 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)当x≥20时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始？ (2)当 时， ，解得： ， 体内抗体浓度不高于140微克/ml是从注射药物第40天开始． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 实际问题中的 反比例函数 注意 分析实际情境→建立函数模型 →明确数学问题 步骤 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：∵△ABC的面积为2，一边长为x，这边上的高为y， ∴ ，∴ ， ∵x表示三角形的边长，∴x>0， ∴该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支，只有C选项符合． 面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：∵x是购买练习本的数量，∴x是正整数， ∵y是练习本的单价， ，即 ， ∴关于练习本的单价y（元）与购买数量x（本）的函数图象是第一象限双曲线上 有限个离散的点．∴选项D正确． 某同学恰好用元钱买练习本，则关于练习本的单价y（元）与购买数量x（本）的函数图象的说法正确的是（     ） A．图象是在第一、三象限内的双曲线 B．图象是在第一象限内的双曲线上的一段 C．图象是在第一象限内的双曲线 D．图象是在第一象限内的双曲线上的有限个点 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：设反比例函数解析式为 ， 将 ， 代入解析式得： ， 解得： ， 因此与之间的函数关系式为 ． 已知近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距x（cm）的反比例函数，当近视眼镜的度数是400度时，镜片的焦距为25cm，那么近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（cm）之间的函数关系式为________． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：大齿轮每分钟转过的总齿数为： ， 小齿轮每分钟转过的总齿数为y， 根据题意得： ， 整理得 ， 由齿数的实际意义可知 ， 因此，关于的函数表达式为 ． 在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为80，每分钟转20圈，如果小齿轮的齿数为x，每分钟转y圈，那么y关于x的函数表达式为________． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 解：设反比例函数解析式为 ，把h=10,t=60，代入得 ， ∴ ，∴反比例函数解析式为 ， 由题意得 ，∴ ， 解得 ， ∴潜水深度最大为40米． 潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间t（分钟）是潜水深度h（米）的反比例函数．当潜水深度为10米时，气瓶可用时间为60分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于15分钟，则潜水深度最大为______米． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 在敷设国防电缆的某工程中，某工程队施工所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x(m/天) y(天) O 解：设函数关系式为 将（24,50）带入得， 解得k=1200,因此函数表达式为 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2) 若该工程队有 2 台施工设备，每台设备每天能够敷设电缆 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ (2) 解：由图象可知共需敷设电缆 24×50=1200 (m)， 2 台设备需要 1200÷(2×15)=40 (天). (3) 如果为了国防工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？ (3) 解：1200÷30=40 (m)， 故每天至少要完成40 m． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 李老师外出培训期间租得一间公寓，现在知道：按每天用6度电计算，五周(按25天计算) 刚好用完. 若每天的耗电量为 x 度，那么这些电能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：电的总量为：6×25=150 (度)， 根据题意有 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (2) 画出函数的图象； (2) 解：如图所示. 50 150 1 x y O 3 (3) 若每天节约 1 度，则这些电能维持多少天？ (3)解：∵ 每天节约 1 度电， ∴ 每天的用电量为 6－1=5 (度)， ∴ 这些电能维持 30 天． 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 某高铁从宜昌开往杭州，列车运行平均速度220千米/时，用 4.8 小时达到杭州. (1) 宜昌和杭州两地相距多少千米？ (1) 解：220×4.8=1056 (千米) 答：宜昌和杭州两地相距1056 千米. (2) 当王老师乘坐高铁按原路原速匀速返回时，高铁的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ (2) 解：由题意得 vt=1056， 整理得 27.3-1 实际问题与反比例函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单 位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： (1) (2) 如果漏斗的深为1 dm，那么漏斗口的面积为多少 dm2？ (2) 把 d =1 代入解析式，得 S =3.所以漏斗口的面积为 3 dm2. (3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少? (3) 60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 27.3-1 实际问题与反比例函数 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示．(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分) (1)开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ 解：设线段AB所在的直线的表达式为 y1＝k1x＋20(k1≠0)， 把B(10，40)的坐标代入得，k1＝2， ∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 解：设线段AB所在的直线的表达式为y1＝k1x＋20(k1≠0)， 把B(10，40)的坐标代入得，k1＝2，∴y1＝2x＋20(0≤x≤10)． 设C，D所在双曲线的表达式为y2＝(k2≠0)， 把C(25，40)的坐标代入得，k2＝1 000， ∴y2＝(25≤x≤40)． 当x＝5时，y1＝2×5＋20＝30，当x＝30时，y2＝＝， ∴y1＜y2. ∴第30分钟时注意力更集中． (2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：令y1＝36，∵36＝2x1＋20，∴x1＝8. 令y2＝36，∵36＝，∴x2＝≈27.8. ∴27.8－8＝19.8(分钟)>19(分钟)， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需 的状态下讲解完这道题目． $