三角形的边与角（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学西南大学版

该小学数学单元复习讲义通过框架式知识梳理构建三角形知识体系，涵盖基本认识、三边关系、分类、内角和、高与底五大模块，每个模块按“定义-规律-特征”逻辑展开，结合核心易错点集锦，清晰呈现重难点及内在联系。 练习设计注重现实情境，如“创意搭建社团小棒围三角形”问题，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过“较短两边和大于最长边”等快速判断法，提升推理能力，分层练习覆盖基础与提升，助力学生自主复习，为教师提供精准教学支持。

单元复习讲义：专题04 三角形的边与角 知识点复习梳理 一、三角形的基本认识 1. 定义与特征 （1）由三条线段首尾顺次围成的封闭平面图形，叫做三角形。 （2）三角形具有稳定性，不易变形，是重要的几何特性。 2. 组成部分 （1）三角形有三条边、三个顶点、三个内角。 （2）每一条边都可以作为三角形的底，对应一条专属的高。 二、三角形三边关系 1. 核心规律 （1）三角形任意两边的和大于第三边，是围成三角形的必备条件。 （2）三角形任意两边的差小于第三边，可由两边和规律推导得出。 2. 快速判断方法 （1）只需判断较短两条边的和大于最长边，即可围成三角形。 ① 满足该条件，其余两边和大于第三边的关系自动成立。 三、三角形的分类 1. 按角分类 （1）锐角三角形：三个内角都是锐角，均小于90°。 （2）直角三角形：有一个内角是直角，等于90°。 （3）钝角三角形：有一个内角是钝角，大于90°且小于180°。 2. 按边分类 （1）不等边三角形：三条边长度全部不相等。 （2）等腰三角形：有两条边长度相等，两个底角相等。 （3）等边三角形：三条边长度全部相等，三个内角均为60°。 ① 等边三角形是特殊的等腰三角形。 四、三角形内角和 1. 核心结论 （1）任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。 2. 角度推导规律 （1）已知三角形两个内角，可利用内角和求出第三个内角。 （2）一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角。 （3）任意三角形至少有两个锐角。 五、三角形的高与底 1. 高的定义 （1）从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 （2）被垂直的对边叫做三角形的底，底和高相互垂直。 2. 高的数量特征 （1）任意三角形都有三条对应的底和三条高。 （2）锐角三角形三条高都在图形内部。 （3）直角三角形两条直角边互为底和高。 （4）钝角三角形有两条高在图形外部。 六、单元核心易错知识点 1. 三边关系易错点 （1）误认为任意三条线段都能围成三角形，忽略三边关系条件。 （2）判断三边能否围成三角形时，未找最短两边求和对比。 2. 分类易错点 （1）混淆三角形分类标准，混淆按角、按边分类的类型。 （2）误认为等腰三角形一定是等边三角形，概念主次颠倒。 3. 角度易错点 （1）认为三角形越大，内角和越大，忽略内角和固定为180°。 （2）误认为三角形可以有两个直角或两个钝角。 4. 高的易错点 （1）画高时未做到底和高相互垂直，高的画法不规范。 （2）忽略钝角三角形、直角三角形高的特殊位置。 例题讲解 【典例1】 为了落实国家“双减”政策，丰富同学们的校内生活，学校开设多种社团，芳芳参加了“创意搭建”社团，今天她想用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形相框，其中两根小棒的长度分别是12cm和8cm，第三根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 【典例2】 有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 【典例3】 下图中，∠1＝120°，∠2＝∠3，求∠4是多少度？ 【典例4】 三角形是一个直角三角形，其中；三角形是一个等腰三角形，且，求的度数。 聪聪这样想：是等腰三角形的顶角，求顶角应该先求出等腰三角形的底角或的度数，是直角三角形的一个锐角，要求的度数，应看直角三角形另一个锐角的度数，而的度数题中已告知，所以能求出。请按聪聪的想法写一写计算过程。 提升练习 一、填空题 1．有5根小棒，分别是4cm、4cm、5cm、6cm、6cm，从这些小棒中任意取出3根，可以摆成( )种不同的三角形。 2．一个三角形的三条边都是整厘米数，其中的两条边分别是7厘米和10厘米。这个三角形的第三边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 3．一个长方形的内角和是360°，把它剪成4个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 4．这组线段（分别长3cm、3cm、5cm）( )（填“能”或“不能”）围成三角形。 5．一个三角形的两条边分别是7cm和15cm，那么第三条边的长度应该小于( )cm，大于( )cm。 6．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是( )厘米，第三条边的长度有( )种可能。 7．一个三角形的两条边分别是6cm和9cm，另一条边最长( )cm，最短( )cm。（取整厘米数） 8．有一个三角形的三条边都是整厘米数，其中有两条边分别是10厘米和8厘米。那么第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 二、选择题 9．下面是每组三根小棒的长度，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、6cm、6cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、3cm、9cm D．3cm、6cm、9cm 10．下面各组线段（单位：dm）中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3  5  2 B．7  7  7 C．2  5  4 D．3  4  5 11．下面关于三角形的说法，正确的是（    ）。 A．任意长度的三根小棒都可以围成一个三角形。 B．任意三角形的两条短边之和一定大于第三条边。 C．因为三角形的内角和是，所以将一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和都小于。 D．因为三角形的内角和是，所以由两个完全相同的三角形拼成的大三角形的内角和就是。 12．用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别是6厘米和10厘米，这个三角形的周长不可能是（    ）厘米。 A．21 B．25 C．27 D．32 13．一个三角形的两边长分别是4厘米和7厘米那么第三条边长可能是（    ）厘米。 A．11 B．3 C．6 D．15 三、判断题 14．三角形的边长越长，内角和越大。( ) 15．丫丫画了一个三角形，其中最小的一个角是62°。( ) 16．用10倍的放大镜看一个三角形，这时三角形的内角和是3600°。( ) 17．任意三条线段不一定能围成一个三角形。( ) 18．最小的角是46°的三角形一定是钝角三角形。( ) 四、计算题 19．求出下面各个未知角的度数。 五、解答题 20．。求的度数？ 21．下图是正方形折成的，已知∠1＝15°，∠2等于多少度？ 22．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2和∠3分别是多少度？ 23．一根长11厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。隆隆在3厘米处剪了一刀，再在哪个刻度剪一刀就能围成一个三角形？请你先在图中标出剪的位置，再把想法写下来。（边长为整厘米数） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题04 三角形的边与角 知识点复习梳理 一、三角形的基本认识 1. 定义与特征 （1）由三条线段首尾顺次围成的封闭平面图形，叫做三角形。 （2）三角形具有稳定性，不易变形，是重要的几何特性。 2. 组成部分 （1）三角形有三条边、三个顶点、三个内角。 （2）每一条边都可以作为三角形的底，对应一条专属的高。 二、三角形三边关系 1. 核心规律 （1）三角形任意两边的和大于第三边，是围成三角形的必备条件。 （2）三角形任意两边的差小于第三边，可由两边和规律推导得出。 2. 快速判断方法 （1）只需判断较短两条边的和大于最长边，即可围成三角形。 ① 满足该条件，其余两边和大于第三边的关系自动成立。 三、三角形的分类 1. 按角分类 （1）锐角三角形：三个内角都是锐角，均小于90°。 （2）直角三角形：有一个内角是直角，等于90°。 （3）钝角三角形：有一个内角是钝角，大于90°且小于180°。 2. 按边分类 （1）不等边三角形：三条边长度全部不相等。 （2）等腰三角形：有两条边长度相等，两个底角相等。 （3）等边三角形：三条边长度全部相等，三个内角均为60°。 ① 等边三角形是特殊的等腰三角形。 四、三角形内角和 1. 核心结论 （1）任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。 2. 角度推导规律 （1）已知三角形两个内角，可利用内角和求出第三个内角。 （2）一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角。 （3）任意三角形至少有两个锐角。 五、三角形的高与底 1. 高的定义 （1）从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 （2）被垂直的对边叫做三角形的底，底和高相互垂直。 2. 高的数量特征 （1）任意三角形都有三条对应的底和三条高。 （2）锐角三角形三条高都在图形内部。 （3）直角三角形两条直角边互为底和高。 （4）钝角三角形有两条高在图形外部。 六、单元核心易错知识点 1. 三边关系易错点 （1）误认为任意三条线段都能围成三角形，忽略三边关系条件。 （2）判断三边能否围成三角形时，未找最短两边求和对比。 2. 分类易错点 （1）混淆三角形分类标准，混淆按角、按边分类的类型。 （2）误认为等腰三角形一定是等边三角形，概念主次颠倒。 3. 角度易错点 （1）认为三角形越大，内角和越大，忽略内角和固定为180°。 （2）误认为三角形可以有两个直角或两个钝角。 4. 高的易错点 （1）画高时未做到底和高相互垂直，高的画法不规范。 （2）忽略钝角三角形、直角三角形高的特殊位置。 例题讲解 【典例1】 为了落实国家“双减”政策，丰富同学们的校内生活，学校开设多种社团，芳芳参加了“创意搭建”社团，今天她想用三根长度都是整厘米数的小棒围三角形相框，其中两根小棒的长度分别是12cm和8cm，第三根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。 【答案】 19 5 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边是12cm和8cm，先求出两边之和与两边之差，第三边要大于两边的差，小于两边的和；小棒长度为整厘米数，据此找出最长、最短取值。 【详解】12＋8＝20（cm） 12－8＝4（cm） 第三边长度大于4cm，小于20cm。 因为小棒长度是整厘米数， 大于4的最小整数是5，小于20的最大整数是19。 第三根小棒最长是19cm，最短是5cm。 【典例2】 有4根磁力棒，它们的长度分别是4厘米、6厘米、10厘米和12厘米。任意选择3根磁力棒围成一个三角形，围成的三角形周长最短是( )厘米。 【答案】26 【分析】根据三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断。选择能围成三角形的组合中三条磁力棒相加长度最短的组合，求出周长即可。 【详解】（厘米） 所以4厘米、6厘米的磁力棒不能同时出现在一个三角形中，即长度为4厘米、10厘米、12厘米或6厘米、10厘米、12厘米的磁力棒能围成三角形。 周长最短的是4厘米、10厘米、12厘米的磁力棒围成的三角形：（厘米）。 【典例3】 下图中，∠1＝120°，∠2＝∠3，求∠4是多少度？ 【答案】60° 【分析】已知三角形的内角和是180°，∠1和∠2构成1个平角，用180°减去∠1可得∠2的度数，∠2＝∠3，最后用180°减去∠2和∠3的度数可得∠4的度数。 【详解】180°－120°＝60° ∠3＝∠2＝60° 180°－60°－60°＝60° 答：∠4＝60°。 【典例4】 三角形是一个直角三角形，其中；三角形是一个等腰三角形，且，求的度数。 聪聪这样想：是等腰三角形的顶角，求顶角应该先求出等腰三角形的底角或的度数，是直角三角形的一个锐角，要求的度数，应看直角三角形另一个锐角的度数，而的度数题中已告知，所以能求出。请按聪聪的想法写一写计算过程。 【答案】84° 【分析】此题考查了三角形的内角和是180°以及等腰三角形的两个底角相等的性质的综合应用。 【详解】∠1＝180°－∠ABC－∠3＝180°－90°－42°＝90°－42°＝48° ∠2＝∠1＝48° ∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－48°－48°＝132°－48°＝84° 答：∠4的度数为84°。 提升练习 一、填空题 1．有5根小棒，分别是4cm、4cm、5cm、6cm、6cm，从这些小棒中任意取出3根，可以摆成( )种不同的三角形。 【答案】5 【分析】首先要明确现有小棒的长度及数量，然后列举出所有可能选取的3根小棒的长度组合。接着，根据“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，对每种组合进行验证。最后，统计出能组成三角形的不同种类数。注意区分“不同的三角形”是指边长组合不同，而非选取的具体小棒不同。 【详解】现有小棒长度为：、、、、（单位：）。 根据小棒数量，列举所有可能的3根小棒长度组合（按从小到大顺序排列）： 选两根： 组合①：4、4、5。验证：，，能组成三角形。 组合②：4、4、6。验证：，，能组成三角形。 选一根：组合③：4、5、6。验证：，，能组成三角形。 组合④：4、6、6。验证：，，能组成三角形。 不选：组合⑤：5、6、6。验证：，，能组成三角形。 注意：因为只有一根5，无法组成含两根5的组合；因为只有两根6，无法组成三根6的组合。 综上所述，能摆成5种不同的三角形。 2．一个三角形的三条边都是整厘米数，其中的两条边分别是7厘米和10厘米。这个三角形的第三边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 16 4 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，用7加10算出两边之和，第三边的边长比和小，可以确定第三边的最长的长度，两边之差小于第三边，用10减去7可算得两边之差，第三边的边长比差大，可以确定第三边的最短的长度。 【详解】三角形任意两边之和大于第三边 （厘米） 第三边的长度小于17厘米，第三边最长是16厘米。 三角形任意两边之差小于第三边 （厘米） 第三边的长度大于3厘米，第三边最短是4厘米。 3．一个长方形的内角和是360°，把它剪成4个小三角形，每个小三角形的内角和是( )°。 【答案】180 【分析】三角形的内角和是180°，无论什么形状的三角形，内角和一定是180°；由此解答。 【详解】一个四边形的内角和是360°，把它分成4个小三角形，每个小三角形的内角和是180°。 4．这组线段（分别长3cm、3cm、5cm）( )（填“能”或“不能”）围成三角形。 【答案】能 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，只需要较短两条线段的长度和大于最长线段，即可判定可以围成三角形，反之则不能。 【详解】较短的两条线段都是3cm 长度和是3＋3＝6（cm） 最长线段是5cm， 6cm＞5cm，满足三角形的三边要求，所以能围成三角形。 5．一个三角形的两条边分别是7cm和15cm，那么第三条边的长度应该小于( )cm，大于( )cm。 【答案】 22 8 【分析】根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，第三条边的长度范围介于这两条边的差与和之间。 【详解】 第三条边的长度应该小于，大于。 6．一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是( )厘米，第三条边的长度有( )种可能。 【答案】 12 9 【分析】任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 已知两条边是8厘米和5厘米：先算两边之和：8＋5＝13厘米，所以第三边必须小于13厘米； 再算两边之差：8－5＝3厘米，所以第三边必须大于3厘米；因为边长是整厘米数，大于3且小于13的整数里，最大的是12，符合要求的数是4、5、6、7、8、9、10、11、12，一共9种。 【详解】8＋5＝13（厘米） 8－5＝3（厘米） 13－1＝12（厘米） 第三条边一定大于3的差，小于13的和，符合的数有4，5，6，7，8，9，10，11，12。 一个三角形三条边的长度均为整厘米数，其中一条边为8厘米，另一条边为5厘米，那么第三条边的长度最长是12厘米，第三条边的长度有9种可能。 7．一个三角形的两条边分别是6cm和9cm，另一条边最长( )cm，最短( )cm。（取整厘米数） 【答案】 14 4 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围。再结合题目要求取整厘米数，在范围内找出最大的整数和最小的整数即可。 【详解】根据三角形三边的关系可知： 第三边长度＜已知两边之和 第三边长度＞已知两边之差 已知两边分别是6cm和9cm， 两边之和：6＋9＝15（cm） 两边之差：9－6＝3（cm） 所以第三边的长度范围是大于3cm且小于15cm。 因为要求取整厘米数， 最长边：15－1＝14（cm） 最短边：3＋1＝4（cm） 因此另一条边最长14cm，最短4cm。 8．有一个三角形的三条边都是整厘米数，其中有两条边分别是10厘米和8厘米。那么第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 17 3 【分析】三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。已知两条边10厘米、8厘米，先算两边和与差，第三边要大于差，小于和，边长是整厘米数。 【详解】10＋8＝18（厘米） 10－8＝2（厘米） 第三边大于2厘米，小于18厘米。 最长：18－1＝17（厘米） 最短：2＋1＝3（厘米） 二、选择题 9．下面是每组三根小棒的长度，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、6cm、6cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、3cm、9cm D．3cm、6cm、9cm 【答案】A 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根小棒的长度之和大于最长的小棒长度即可，依据是三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】A．3＋6＝9（cm），9＞6，满足要求。 B．3＋3＝6（cm），6＝6，不满足要求。 C．3＋3＝6（cm），6＜9，不满足要求。 D．3＋6＝9（cm），9＝9，不满足要求。 10．下面各组线段（单位：dm）中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3  5  2 B．7  7  7 C．2  5  4 D．3  4  5 【答案】A 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长的线段长度，小于或等于都无法围成三角形。 【详解】A．，两边和等于第三边，不满足三边关系，不能围成三角形。 B．，满足三边关系，能围成三角形。 C．，满足三边关系，能围成三角形。 D．，满足三边关系，能围成三角形。 11．下面关于三角形的说法，正确的是（    ）。 A．任意长度的三根小棒都可以围成一个三角形。 B．任意三角形的两条短边之和一定大于第三条边。 C．因为三角形的内角和是，所以将一个三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和都小于。 D．因为三角形的内角和是，所以由两个完全相同的三角形拼成的大三角形的内角和就是。 【答案】B 【分析】三角形的三边需要满足任意两边之和大于第三边，可以以此为依据判断A、B选项的正误； 任意三角形的内角和都是固定的180°，和三角形的大小、形状无关，可以以此为依据判断C、D选项的正误。 【详解】A．三根小棒需要满足任意两边之和大于第三边才能围成三角形，不是任意长度都可以，错误。 B．三角形任意两边之和大于第三边，两条短边是三角形中较短的两边，它们的和一定大于最长的第三边，正确。 C．任意三角形的内角和都是180°，拆分出的小三角形内角和仍然是180°，错误。 D．两个完全相同的三角形拼成的大三角形仍然是三角形，内角和为180°，不是360°，错误。 12．用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别是6厘米和10厘米，这个三角形的周长不可能是（    ）厘米。 A．21 B．25 C．27 D．32 【答案】D 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 已知两根小棒长6厘米和10厘米，先算出第三根小棒的长度范围，再计算三角形的周长。 【详解】两边之和：6＋10＝16厘米，所以第三根小棒长度必须小于16厘米 两边之差：10－6＝4厘米，所以第三根小棒长度必须大于4厘米 三角形的周长是三根小棒长度之和，也就是6＋10＋第三根小棒的长度，因此周长的范围是： 4＋16＜周长＜16＋16，也就是20厘米＜周长＜32厘米 A．20厘米＜21厘米＜32厘米，可能是这个三角形的周长。 B．20厘米＜25厘米＜32厘米，可能是这个三角形的周长。 C．20厘米＜27厘米＜32厘米，可能是这个三角形的周长。 D．32厘米＝32厘米，不可能是这个三角形的周长。 13．一个三角形的两边长分别是4厘米和7厘米那么第三条边长可能是（    ）厘米。 A．11 B．3 C．6 D．15 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断即可。 【详解】（厘米） （厘米） 3厘米＜第三条边长＜11厘米 A．，不符合要求； B．，不符合要求； C．，符合要求； D．，不符合要求。 三、判断题 14．三角形的边长越长，内角和越大。( ) 【答案】× 【分析】三角形内角和是固定的，和边长长度没有关系。 【详解】根据分析可知：任意三角形的内角和都是，不会随边长的增长发生变化，原题说法错误。 故答案为：× 15．丫丫画了一个三角形，其中最小的一个角是62°。( ) 【答案】× 【分析】三角形最小内角是62°，则另外两个内角都大于或等于62°，算出三个内角的最小和，再和三角形内角和180°比较即可判断。 【详解】假设三个内角都是62°，62°×3＝186°，三角形内角和为180°，186°＞180°，因此三角形最小的内角不可能是62°，题干说法错误。 故答案为：× 16．用10倍的放大镜看一个三角形，这时三角形的内角和是3600°。( ) 【答案】 × 【分析】三角形的内角和固定为180°，放大镜只会放大三角形的边长，不会改变角的大小，内角和也不会发生变化。 【详解】三角形的内角和始终为180°，用10倍放大镜看三角形时，边的长度被放大，各个内角的度数没有改变，因此内角和还是。 故答案为：× 17．任意三条线段不一定能围成一个三角形。( ) 【答案】 √ 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边的特性，可知要围成三角形，三条线段中较短的两条线段的长度和应大于最长线段的长度。可举例验证。 【详解】例如：长度为1cm、2cm、4cm的三条线段； 1＋2＝3（cm） 3cm＜4cm 这三条线段无法围成三角形； 长度为2cm、3cm、4cm的三条线段； 2＋3＝5（cm） 5cm＞4cm 这三条线段可以围成三角形。 因此，任意三条线段不一定能围成一个三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 18．最小的角是46°的三角形一定是钝角三角形。( ) 【答案】 × 【分析】三角形内角和为，根据最小角是的条件推导其余角的范围，判断是否可能为钝角三角形。 【详解】另外两个角的和为：， 若该三角形是钝角三角形，则有一个角大于，，剩余的一个角的度数小于， ，与是最小内角矛盾，因此该三角形不可能是钝角三角形。原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．求出下面各个未知角的度数。 【答案】64° 15° 138° 【分析】对于第一个直角三角形：因为三角形内角和为，已知一个直角和一个的角，所以用内角和减去两个已知角的度数即可得到未知角。 对于第二个图形：先根据平角为 求出和相邻的三角形内角的度数，再因为三角形内角和为，减去该角与角的度数，得到未知角。 对于第三个四边形：因为四边形内角和为，已知两个直角和一个的角，所以用内角和减去三个已知角的度数即可得到未知角。 识别图形中的直角，计算时不要遗漏的角。 第二个图形中的角不是三角形的内角，需要先求它的相邻的角的度数再参与计算。 四边形内角和是∘，不要误用三角形内角和公式。 【详解】第一个直角三角形的未知角：三角形内角和是，这个三角形有一个直角（），还知道一个角是： 。 第二个三角形的未知角：先根据平角是，算出三角形里和相邻的内角：； 再用三角形内角和，已知这个三角形另外两个内角是和： 。 第三个图形的未知角:这个是四边形，四边形内角和是，它有两个直角（各），还知道一个角是： 。 五、解答题 20．。求的度数？ 【答案】180° 【分析】∠BOC＝∠DOE，先把∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E算式中的∠A＋∠B＋∠C替换成∠BOC，再替换成∠DOE，变为∠DOE＋∠D＋∠E，那么这三个角在一个三角形中，三角形的内角和是180°，据此解答。 【详解】根据分析，解答如下： ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠BOC＋∠D＋∠E＝∠DOE＋∠D＋∠E＝180° 答：的度数为180°。 21．下图是正方形折成的，已知∠1＝15°，∠2等于多少度？ 【答案】30度 【分析】 如图三角形是正方形折过来的，所以∠1所在的三角形是直角三角形，∠5是直角，∠1＋∠3＋∠5＝180°（三角形内角和是180°），用180°减去∠1的度数与90°可算得∠3的度数，∠3是∠4折过来的，所以∠3 ＝∠4，∠2＋∠3＋∠4＝平角，平角是180°，用180°减去∠3与∠4的度数，就是∠2的度数。 【详解】 ∠3度数： ∠2度数： 答：∠2等于30度。 22．三角形ABD和等腰三角形ADC组成一个直角三角形（如图）。已知∠1＝60°，那么∠2和∠3分别是多少度？ 【答案】∠2是30°；∠3是60° 【分析】根据三角形的内角和等于、等腰三角形的两个底角相等、平角＝解答此题即可，∠1和等腰三角形ADC的顶角组成一个平角，顶角＝－∠1，用减去顶角再除以2求出∠2，在直角三角形中，∠3＝－－∠2，据此解答。 【详解】180°－60°＝120° ∠2＝（180°－120°）÷2 ＝ ＝30° ∠3＝180°－90°－30° ＝ ＝60° 答：∠2是，∠3是。 23．一根长11厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。隆隆在3厘米处剪了一刀，再在哪个刻度剪一刀就能围成一个三角形？请你先在图中标出剪的位置，再把想法写下来。（边长为整厘米数） 【答案】（答案不唯一） 在6厘米处剪一刀就能围成一个三角形。（答案不唯一） 想法：根据三角形两边之和大于第三边判断，当三角形三条边分别为3厘米、3厘米、5厘米，满足两边之和大于第三边，能围成三角形。 【分析】先算出第一刀后剩余铁丝的长度，用总长度减去切掉的长度，再将剩余长度拆分为两段整厘米数的线段，利用三角形两边之和大于第三边的关系筛选出符合条件的分法，最后对应到铁丝的刻度上。 【详解】11－3＝8（厘米），将8厘米拆分为两段整厘米数，逐一判断： 1＋7＝8（厘米），另两条是1厘米和7厘米，3＋1＝4（厘米），4＜7，不能围成三角形。 2＋6＝8（厘米），另两条是2厘米和6厘米，3＋2＝5（厘米），5＜6，不能围成三角形。 3＋5＝8（厘米），另两条是3厘米和5厘米，3＋3＝6（厘米），6＞5，能围成三角形。 4＋4＝8（厘米），另两条是4厘米和4厘米，3＋4＝7（厘米），7＞4，能围成三角形。 在6厘米、7厘米或8厘米处剪一刀就能围成一个三角形。 作图：在铁丝的刻度6、7、8处分别标注剪的标记。 想法：根据三角形两边之和大于第三边判断，当三角形三条边分别为3厘米、3厘米、5厘米或3厘米、4厘米、4厘米时，都能围成三角形。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $