15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 作业 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学15.3.2第2课时同步练，含单选5题、填空4题、解答7题，分层梯度清晰，从性质直接应用到综合实践，强化几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质应用|如单选题1直接求30°角对边，填空题6用性质求最小边| |中档|性质与其他知识结合|如解答题10结合等腰三角形，12结合垂直平分线| |综合|实际应用与动态问题|如解答题14闸机宽度计算，16动点平行四边形面积|

15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 作业 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共5题) 1．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则AC的长是(   ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 2．如图,一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵树在折断前的高为(   ) A. 4米 B. 8米 C. 12米 D. 6米 3．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC 于点E,BE=6,则AC的长为(   ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4．如图，已知某山峰的海拔高度为 米，一位登山者到达海拔高度为 米的点 处.测得山峰顶端 的仰角为 .则 ， 两点之间的距离为（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC=2km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　） A. 2km B. 3km C. km D. 4km 二、填空题(共4题) 6．在Rt△ABC中,一锐角度数为另一锐角度数的2倍,最大边长是8 cm,则最小边的长是       .  7．如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=24,点D在BA的延长线上,CA=CD,BD=15,则AD的长为    .  8．如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8 cm,则BD的长为       ,BE的长为       .  9．如图， 是等边三角形， ， 于 交 于点P，下列说法：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其正确的有    ． 三、解答题(共7题) 10．如图,这是某房屋顶框架的示意图,其中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠BAC=120°,AD=3.5 m,求∠B,∠C,∠BAD的度数和AB的长度. 11．如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P是BC上一点,且∠BAP=90°. (1)求证:PA=PC. (2)若CP=10,求BP的长. 12．如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,BC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E. (1)求证:AE=DE. (2)若AE=6,求CE的长. 13．如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD与BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1. (1)求证:AD=BE. (2)求AD的长. 14．图1所示的是某超市入口的双翼闸门,图2是它的示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面的夹角∠PCA=∠BDQ=30°,求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度. 15． 如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,求CD的长. 16．如图，在 中， ， ， 动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿 匀速向终点 运动，同时点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿 匀速向终点 运动，以 、 为邻边构造平行四边形 ，当点 到达点 时，点 也随之停止运动．设点 的运动时间为 秒． 求线段 的长； 当 与 的边平行或垂直时，求 的值； 设平行四边形 与 重叠部分图形的面积为 ，求 用含 的式子表示 试卷答案 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 【解析】由题意得，四边形 是矩形， ， .由题意得， , ， ， ，即 , 两点之间的距离为 米.故选 . 5．【答案】D 【解析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． 解：∵∠A=60°，∠C=90°，AC=2km, ∴∠B=30°， ∴AB=2AC=4（km）． 故选：D． 6．【答案】4 cm 7．【答案】6 8．【答案】4 cm　 2 cm 9．【答案】①③④ 【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中 所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明 ，即可得到①正确；根据直角三角形中 所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明 ，以及 ． 解： 是等边三角形， ， 在 和 中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明 ，以及 ，故②和⑤错误. 10．【答案】∠B=∠C=30°,∠BAD=60°，AB=7 m. 【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠BAC=60°. ∵AD⊥BC,∠B=30°,∴AB=2AD=7 m. 11．【答案】(1)证明见解析. (2)20. 【解析】(1)证明:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°. ∵∠BAP=90°, ∴∠PAC=∠BAC-∠BAP=120°-90°=30°, ∴∠PAC=∠C=30°, ∴PA=PC. (2)∵CP=10, ∴由(1)可知PA=CP=10. 在Rt△APB中,∠B=30°, ∴BP=2AP=20. 12．【答案】(1)证明见解析. (2)12. 【解析】(1)证明:如图,连接BE. ∵∠A=90°,∠ABC=60°, ∴∠C=30°. ∵BC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E. ∴BE=CE, ∴∠C=∠EBC=30°, ∴∠ABE=30°, ∴AE=BE,DE=BE, ∴AE=DE. (2)∵∠A=90°,AE=6,∠ABE=30°, ∴BE=2AE=12, ∴CE=BE=12. 13．【答案】(1)证明见解析. (2)7. 【解析】(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC. ∵AE=CD, ∴△ABE≌△CAD(SAS), ∴BE=AD. (2)∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,∴∠PBQ=30°. 又∵BQ⊥PQ,∴PB=2PQ=6, ∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7. 14．【答案】64 cm. 【解析】如图,过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F. 在Rt△ACE中,∠ACE=30°,∴AE=AC=×54=27 cm, 同理可得BF=27 cm. 又∵点A与B之间的距离为10 cm, ∴可以通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64 cm. 答:当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为64 cm. 15．【答案】2. 【解析】如图,延长AD,BC交于点E. ∵∠A=30°,∠B=90°, ∴∠E=60°. ∵∠ADC=120°, ∴∠EDC=60°, ∴△EDC是等边三角形. 设CD=CE=DE=x. ∵AD=4,BC=1, ∴2(1+x)=x+4, 解得x=2,∴CD=2. 16．【答案】详情见解析 【解析】 由含 角的直角三角形的性质即可得出答案； 当 时，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，则 ；当 时，由直角三角形的性质得出 ，得出 ，则 ； 分两种情况，由平行四边形及梯形的面积可得出答案． 本题考查了正方形的性质、含 角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $