13.3 三角形的内角与外角 课后巩固卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形内角与外角，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到综合推理的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|内角和定理、外角性质|单选题3直接考查内角和，填空题9应用外角性质，夯实概念理解| |中档|角平分线、平行线结合|单选题4结合角平分线与平行线求角度，填空题12通过旋转动态情境提升应用能力| |提升|折叠、旋转、综合证明|解答题17折叠问题探究角度关系，18题五角星角度多种证法，培养创新意识与推理能力|

13.3 三角形的内角与外角 课后巩固卷2026-2027学年 人教版八年级数学上册 一、单选题 1．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，属于假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．三角形的内角和是 D．两点之间，线段最短 4．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（    ） A．134° B．124° C．114° D．104° 5．如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列三个条件：①的三个内角的度数之比是；②在中，；③的三个外角的度数之比是；其中能确定是直角三角形的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 8．下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 9．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 10．如图，有一块含30°的直角三角板，两个顶点放在一张长方形纸片的对边上．若，则的度数为______． 11．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 12．两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为_____． 13．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为___________度．    三、解答题 14．学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以 ________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 15．如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 16．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 17．如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 18．用三种不同的方法求图中五角星形的度数． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B C D C C 1．【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先根据折叠可知，再结合平角的定义可得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据折叠可知， ∵，且， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【详解】解：由三角形的外角的性质可知，． 3．【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、对顶角相等、判断命题真假、三角形内角和定理的应用 【详解】解：∵对顶角相等是对顶角的基本性质，∴A是真命题； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，本选项未说明两条直线平行，∴B是假命题； ∵三角形内角和定理表明三角形的内角和为180°，∴C是真命题； ∵两点之间线段最短是几何基本事实，∴D是真命题． 4．【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可； 【详解】∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE=34° ∵ED∥AC ∴∠CAE+∠DEA=180° ∴∠DEA=180°-34°=146° ∵∠AED+∠AEB+∠BED=360° ∴∠BED=360°-146°-90°=124°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，三角形内角和定理的应用是解题的关键．根据是的角平分线，所以，由，得，故，在中，由，即可得出答案． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， 即， 又，， ， 即， ， 故选：． 6．【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 利用三角形内角和定理和外角和定理，分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在角，从而确定是否为直角三角形． 【详解】解：①的三个内角的度数之比是，， 是直角三角形，符合题意； ②由，得， ， ， ，是直角三角形，符合题意； ③三角形外角和为，设外角为，，，则，解得，外角为、、，对应内角为、、，是直角三角形，符合题意． ①②③符合条件， 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查直角三角形的判定、三角形内角和定理（）和外角和定理（）等知识点，求得各选项三角形中的最大角是解题的关键． 分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在90°角即可解答． 【详解】①设，则， ∴，解得， ∴，不是直角三角形； ②设内角为，则，解得：， ∴内角为，是直角三角形； ③∵，且， ∴， ∴，即，是直角三角形； ④设外角为，则，解得， ∴外角为，对应内角为，是直角三角形． ∴②③④符合条件． 故选C． 9．【答案】/65度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．【答案】29° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质求出∠AGF，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵AB∥CD，∠1=31°， ∴∠AGF=∠1=31°， ∵∠E=90°，∠EFG=30°， ∴∠2=180°-∠E-∠EFG-∠AGF=180°-90°-30°-31°=29°， 故答案为：29°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠AGF的度数，注意：两直线平行，内错角相等． 11．【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．【答案】9或15/15或9 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，分类讨论思想，掌握角度的计算，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，根据分类讨论：第一种情况：；第二种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 依题意得：，（）， ∴有以下两种情况： 第一种情况：如图所示，， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15． 故答案为：9或15． 13．【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 14．【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 15．【答案】的度数为． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 17．【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； 解法一：如图①，证明，．结合，即可得到答案； 解法二：如图②，作射线，同理可得：，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； 解法三：如图③，连接，证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解法一：如图①， ，分别是，的外角， ，． 在中，， ． 即．   解法二：如图②，作射线， 同理可得：， ∵， ∴， 又， ．   解法三：如图③，连接， 在中，， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $