13.2 与三角形有关的线段课后巩固2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕三角形线段核心知识点，通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、稳定性、三线概念|单选1（三边范围）、填空11（稳定性应用）、解答16（三线作图），直接对应课标基础要求| |中档|中线与周长计算、面积与高的关系|单选4（中线分周长）、填空14（高的计算）、解答17（中线分面积），整合多个知识点| |拔高|动态几何与实际问题|单选5（面积比推理）、解答19（等腰三角形钢管选型），培养推理与模型意识|

13.2 与三角形有关的线段 课后巩固卷2026-2027学年 人教版八年级数学上册 一、单选题 1．今有三木，其二长分别为三寸、四寸，欲构为三角形．试问下列何者可为第三木？翻译成现代文：现有三根木棍，其中两根长度分别为3寸和4寸，想要与第三根木棍拼成一个三角形．请问下列哪个长度可以作为第三根木棍的长度？（   ） A．1寸 B．6寸 C．7寸 D．8寸 2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 3．现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 4．在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 5．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 6．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 7．如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 9．如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 10．下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 二、填空题 11．如图，工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是________． 12．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形__________的交点．    13．如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 14．在中，，，分别是，，的对边，将这三条边上的高依次记为，，． （1）当，，时，______． （2）当，时，的取值范围是______． 15．若的边长分别为，且，则一定是___________三角形． 三、解答题 16．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 17．嘉淇同学秋游时，发现一位农民伯伯正在浇地，这块地的外形如图所示的，其中边在一条水渠上，这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠，把水引到顶点A处，且水渠把地块平分成面积相等的两部分．    (1)这条水渠是的______（填“中线”、“角平分线”或“高”）． (2)请在图中画出水渠的位置，并说明水渠把三角形地块平分成面积相等的两部分的理由． 18．同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题： (1)如图（1），以为底，为高，可得三角形的面积为______；也可以以（提示：长为）为底，为高，可得三角形的面积为______． (2)根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中的长（提示：长为）． 19．某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D C A D B B 1．【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，通过这个关系确定第三边的取值范围，再对照选项选出符合条件的长度. 【详解】解：设第三根木棍的长度为寸， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 对照选项，只有6寸在的范围内， 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 3．【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了构成三角形的条件，理解题意是解决本题的关键． 需从长度1至的木棍中选三根围成三角形，要求最长边为，且另两边长度差大于．通过三角形两边之和大于第三边及差的条件，列举所有可能组合进行判断即可． 【详解】解：设另两边为a、，需满足且， ∵a、b从1至6中取不同整数， ∴满足的有：， 其中的只有：差，差． ∴共有2个三角形：和． 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、构造二元一次方程组求解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程求解，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设，， 是中线， ， 中线将这个三角形的周长分为15和21两部分， 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 综上可知，的长为16或8， 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，， 点是边的中点，点在边上，， ，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， 点在边上，， ， ， 整理得：， ， ． 6．【答案】C 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念．三角形的重心是三角形的三条中线的交点． 【详解】解：∵质地均匀的三角形木板的重心是其几何中心，即三条中线的交点； ∴悬挂在重心时，木板才能保持水平； ∵选项C为三条中线的交点； ∴挂钩应设在C处． 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】利用角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解： ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为 故选A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是是解题的关键． 8．【答案】D 【知识点】画三角形的高、三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 9．【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，作于点，等面积法得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，作于点， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的值不变， 四边形的面积，的值均随着点的变化而变化， 故选B． 10．【答案】B 【知识点】重心的概念、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假、构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用反例对A进行判断，利用三角形三边关系对B进行判断，根据平行线的性质对C进行判断，三角形的重心的性质对D进行判断． 【详解】解：A、两个锐角之和不一定为钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 11．【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12．【答案】三条中线 【知识点】重心的概念 【分析】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 【详解】解：因为三角形卡片质地均匀 所以小明支起的这个点是三角形的重心，即三角形三条中线的交点 故答案为：三条中线 【点睛】本题考查重心的定义．掌握相关结论是解题关键． 13．【答案】2 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 14．【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的三边关系； （1）根据等面积法即可求解； （2）根据三角形的三边关系得出两个不等式，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； 故答案为：． （2）∵，设， ∴ 即 ∵， ∴，即， ∵，同理可得 ∴，即 ∴ 故答案为：． 15．【答案】等腰 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，由等式可得或，结合三角形三边关系，排除，故，即，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵的三边长分别为a，b，c， ∴，即， ∴不成立， 因此，即， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰． 16．【答案】见详解 【知识点】三角形的识别与有关概念、画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 17．【答案】(1)中线 (2)图见解析，理由见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据中线的性质解答即可； （2）作于点D，然后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）由中线的性质可知，这条水渠是的中线． 故答案为：中线； （2）如图，为水渠，即边的中线为，作于点D， ∵边的中线为， ∴． ∵ ∴， ∴三角形的中线把三角形地块平分成面积相等的两部分．    【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 18．【答案】(1)6，6 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】题目主要考查与三角形高的计算及直角三角形的性质，熟练掌握等面积法是解题关键． （1）根据三角形面积的计算方法进行计算即可得出答案； （2）根据（1）条件可知两次计算面积相等，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：6，6； （2）根据题意得：， 即， 解得：． 19．【答案】(1)有三种规格的钢管可供选择 (2)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，有理数四则混合运算的应用，熟记：“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系即可求解； （2）根据等腰三角形定义以及三角形三边关系求出第三边长，进而可求解． 【详解】（1）解：已经购买的两根钢管的长度是和，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ，即， 有三种规格的钢管可供选择； （2）三角形底座为等腰三角形， （不符合题意，舍去），， 总费用为（元）． 学科网（北京）股份有限公司 $