13.2.1三角形的边 同步练习　2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学《三角形的边》同步练习，以三角形三边关系为核心，通过基础判断、分类讨论到综合应用的三阶分层设计，强化推理意识与应用能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三边关系基本判断、简单计算|选择1-2、填空9-12，直接应用概念，强化抽象能力| |进阶层|等腰分类、整数边枚举、多条件综合|选择3-8、填空13-14、解答15-17，涉及分类讨论与参数分析，培养推理意识| |提高层|代数化三边关系综合应用|解答18，结合不等式与周长限制，发展创新意识与应用能力|

八年级上册数学 · 13.2.1 三角形的边 八年级上册数学 13.2.1《三角形的边》同步练习 人教版 · 满分 100 分 · 建议用时 45 分钟 核心：三角形三边关系 · 整数边与周长 · 等腰分类讨论 · 三边关系的综合应用 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．下列各组长度中，能组成三角形的是（　　） A．3 cm，4 cm，7 cm B．4 cm，5 cm，9 cm C．5 cm，7 cm，10 cm D．2 cm，6 cm，9 cm 2．若 a，b，c 是三角形的三边长，且 a≥b，则 |a+b−c|+|a−b−c| 的值为（　　） A．2a B．2b C．2c D．a+b−c 3．在△ABC 内部有一点 P，AB＝13，BC＝14，CA＝15。分别在△APB、△BPC、△CPA 中应用三角形两边之和大于第三边，并把所得三个不等式相加后整理，所得不等式是（　　） A．PA+PB+PC＞20 B．PA+PB+PC＞21 C．PA+PB+PC＞22 D．PA+PB+PC＞42 4．等腰三角形有两边长分别为 4 cm 和 9 cm，则它的周长是（　　） A．17 cm B．22 cm C．17 cm 或 22 cm D．无法确定 5．一个三角形的周长为 25 cm，其中一边长为 12 cm，另外两边的长度之差为 3 cm，则三边长为（　　） A．4 cm，9 cm，12 cm B．5 cm，8 cm，12 cm C．6 cm，7 cm，12 cm D．5 cm，9 cm，11 cm 6．三边长均为正整数的三角形周长为 16，其中一边长为 7。若不计三边的排列顺序，这样的三角形共有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 7．若 x 为正整数，且 x+1、x+3、8 能组成三角形，则 x 的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．一个三角形的最短边长为 4，最长边长为 10，第三边长 x 为整数，且三边互不相等，则 x 有（　　）个可能值 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 9．三角形两边长分别为 6 cm 和 10 cm，若第三边 x 为正整数，则 x 共有________个可能值。 10．三角形三边长为 4，9，x，其中 x 为正整数，且三角形周长为偶数，则 x 的所有可能值为________。 11．一个等腰三角形的周长为 26 cm，其中一边长为 10 cm，则它的腰长可能为________cm。 12．若 a，b，c 是三角形的三边长，且 b 是最长边，则 |a+c−b|+|a−c+b|＝________。 13．现有 4 cm、6 cm、9 cm、11 cm 四根木条，任选三根首尾顺次相接，共有________种选法可以组成三角形。 14．若三角形三边长为 a、b、c，且 a+b＝11，b+c＝13，c+a＝14，则这个三角形的周长为________。 三、解答题（共 58 分） 15．（10分）已知 a、b、c 是一个三角形的三边长。证明：|a−b|＜c＜a+b。 16．（14分）一个等腰三角形的周长为 32 cm，其中一边长为 14 cm。求这个等腰三角形的三边长。要求分类讨论，并逐一检验三角形三边关系。 17．（16分）一根 28 cm 长的木条被截成三段，其中一段长 8 cm，另外两段分别为 x cm 和 (20−x) cm。已知 x 为正整数且 x≤20−x，三段木条恰好能围成三角形。 （1）求 x 的取值范围； （2）写出所有可能的三边长； （3）其中有几个等腰三角形？分别写出三边长。 18．（18分）【提高】一个三角形的三边长分别为 x+2、2x−1、3x−5（单位：cm），其中 x 为正整数。 （1）求能组成三角形时 x 的取值范围； （2）若三角形周长不超过 30 cm，求 x 的所有可能值； （3）在（2）的条件下，分别写出三边长，并判断哪些是等腰三角形。 参考答案与详细解答 一、选择题 1．答案：C 判断三条线段能否组成三角形，只需比较较短两边之和与最长边。A：3+4=7，等于最长边 7，不能组成三角形；B：4+5=9，等于最长边 9，不能；C：5+7=12>10，能；D：2+6=8<9，不能。因此选 C。 2．答案：B 因为 a、b、c 是三角形的三边，所以 a+b>c，故 a+b−c>0；又由 a<b+c，得 a−b−c<0。因此 |a+b−c|+|a−b−c|=(a+b−c)+(b+c−a)=2b。 3．答案：B 在△APB、△BPC、△CPA 中分别有 PA+PB>AB=13，PB+PC>BC=14，PC+PA>CA=15。三式相加得 2(PA+PB+PC)>42，两边除以 2，直接得到 PA+PB+PC>21。因此选 B。注意：本题问的是“把这三个不等式相加、整理后直接得到”的结论，避免把“实际还能否证明更强下界”与本题步骤混淆。 4．答案：B 分两种可能。若 4 cm 为腰，则三边为 4、4、9，但 4+4=8<9，不能组成三角形；所以 4 cm 只能作底边，9 cm 为腰，三边为 9、9、4，周长为 22 cm。 5．答案：B 设另外两边为 m、n，且 m>n。由周长得 m+n=13，由长度之差得 m−n=3。解得 m=8，n=5。检验：5+8=13>12，能组成三角形，所以三边为 5 cm、8 cm、12 cm。 6．答案：B 设另外两边为 a≤b，则 a+b=9，且已知另一边为 7。逐一考虑正整数对：(1,8) 给出 1、7、8，因 1+7=8，不能；(2,7) 得 2、7、7，能；(3,6) 得 3、6、7，能；(4,5) 得 4、5、7，能。共 3 个。 7．答案：C 三边为 x+1、x+3、8。三个不等式中，(x+1)+(x+3)>8 给出 2x+4>8，即 x>2；(x+1)+8>x+3 与 (x+3)+8>x+1 对正整数 x 恒成立。因此 x 的最小正整数值为 3。 8．答案：B 因为最短边是 4、最长边是 10，所以 4<x<10；同时三角形必须满足 4+x>10，即 x>6。又 x 为整数且三边互不相等，所以 x=7、8、9，共 3 个可能值。 二、填空题 9．答案：11 由 |10−6|<x<10+6，得 4<x<16。正整数 x 可取 5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，共 11 个。 10．答案：7，9，11 由 |9−4|<x<9+4，得 5<x<13，所以整数 x=6、7、8、9、10、11、12。周长为 4+9+x=13+x，要使周长为偶数，x 必须为奇数，因此 x=7、9、11。 11．答案：8 或 10 若 10 cm 是腰，则两腰都是 10 cm，底边为 26−20=6 cm，三边 10、10、6，可组成三角形；若 10 cm 是底边，则两腰均为 (26−10)÷2=8 cm，三边 8、8、10，也可组成三角形。因此腰长可能为 8 cm 或 10 cm。 12．答案：2a 因为 b 是最长边且 a、b、c 能组成三角形，所以 a+c>b，故 a+c−b>0；又有 a+b>c，故 a−c+b>0。因此原式=(a+c−b)+(a−c+b)=2a。 13．答案：3 四组选法为 (4,6,9)、(4,6,11)、(4,9,11)、(6,9,11)。依次检验较短两边之和：4+6>9，可行；4+6<11，不行；4+9>11，可行；6+9>11，可行。因此共有 3 种。 14．答案：19 将三个等式相加： (a+b)+(b+c)+(c+a)=11+13+14=38。 左边等于 2(a+b+c)，所以 2(a+b+c)=38，得 a+b+c=19。 因此这个三角形的周长为 19。 三、解答题 15．解： 因为 a、b、c 是三角形的三边长，所以由三角形两边之和大于第三边，有 c<a+b。 另一方面，由 a+c>b，得 c>b−a；由 b+c>a，得 c>a−b。 因此 c 同时大于 a−b 和 b−a，也就是 c>|a−b|。 综上，|a−b|<c<a+b。 16．解： 已知周长为 32 cm，且有一边长为 14 cm，需要讨论 14 cm 是腰还是底边。 ① 若 14 cm 是腰，则另一腰也是 14 cm，底边=32−14−14=4 cm。三边为 14、14、4。检验：14+4>14，成立，所以可以组成三角形。 ② 若 14 cm 是底边，则两腰相等，每腰=(32−14)÷2=9 cm。三边为 9、9、14。检验：9+9=18>14，成立，所以也可以组成三角形。 答：这个等腰三角形的三边长可能为 14 cm、14 cm、4 cm，或 9 cm、9 cm、14 cm。 17．解： 三边分别为 8、x、20−x，且 x 为正整数，x≤20−x。 （1）由 x≤20−x，得 x≤10。三角形三边关系给出： 8+x>20−x，得 2x>12，即 x>6； 8+(20−x)>x，得 28>2x，即 x<14； x+(20−x)>8，即 20>8，恒成立。 综合得 6<x≤10。 （2）x 为正整数，所以 x=7、8、9、10。对应三边分别为： x=7：7、8、13；x=8：8、8、12；x=9：8、9、11；x=10：8、10、10。 以上各组均满足较短两边之和大于最长边。 （3）等腰三角形共有 2 个，分别是 8、8、12 和 8、10、10。 18．解： 三边为 x+2、2x−1、3x−5。 （1）先保证边长为正：3x−5>0，得 x>5/3。再检验三角形三边关系： (x+2)+(2x−1)>3x−5，化简得 1>−5，恒成立； (x+2)+(3x−5)>2x−1，得 2x>2，即 x>1； (2x−1)+(3x−5)>x+2，得 4x>8，即 x>2。 综合得 x>2。由于 x 为正整数，所以 x≥3。 （2）周长 P=(x+2)+(2x−1)+(3x−5)=6x−4。由 P≤30，得 6x≤34，即 x≤17/3。结合 x 为正整数且 x≥3，得到 x=3、4、5。 （3）x=3 时，三边为 5、5、4，是等腰三角形；x=4 时，三边为 6、7、7，是等腰三角形；x=5 时，三边为 7、9、10，是三边互不相等的三角形。 同步练习 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $