27.1 反比例函数的概念课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，涵盖定义、三种表达式、判定方法等核心内容。通过回顾一次函数、正比例函数等已学知识，结合高铁速度、矩形草坪面积等实际问题导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以实际情境引导学生用数学眼光观察变量关系，通过对比正比例函数发展数学思维，用三种等价形式和待定系数法强化数学语言表达。典型例题与易错点总结助力学生掌握，教师使用可提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 27.1 反比例函数的概念 本节是反比例函数章节的入门基础，承接正比例函数、一次函数，是初中三大基础函数之一，重点掌握反比例函数的定义、三种表达式、自变量取值范围以及函数的判定，为后续图像性质、实际应用奠定基础。 一、反比例函数的定义 一般地，形如 $$y=\frac{k}{x}$$（$$k$$ 为常数，且 $$k eq0$$）的函数，叫做反比例函数。其中 $$x$$ 是自变量，$$y$$ 是函数，$$k$$ 叫做比例系数。 核心本质：两个变量 $$x、y$$ 的乘积为定值，即 $$xy=k(k eq0)$$。自变量 $$x$$ 越大，函数值 $$y$$ 越小，二者成反比例变化关系。 二、反比例函数的三种等价形式（必考） 在解题判定中，三种形式可互相转化，只要符合其一即为反比例函数： 1. 分式型（标准式）：$$y=\frac{k}{x}(k eq0)$$，最常用形式，直观体现自变量在分母位置。 2. 乘积型：$$xy=k(k eq0)$$，常用于根据表格数据、数组判断反比例关系。 3. 负指数型：$$y=kx^{-1}(k eq0)$$，用于整式形式的函数判定，区别于一次函数、二次函数。 三、自变量取值范围 1. 数学取值范围：自变量 $$x eq0$$，函数值 $$y eq0$$。因为分母不能为0，$$k eq0$$，因此 $$y$$ 永远不为0。 2. 实际问题取值范围：若结合实际场景（路程、速度、面积、工程问题等），自变量需根据实际意义取正数或正整数，例如时间、长度、速度均大于0。 四、正比例函数与反比例函数区别（易混对比） 1. 正比例函数：形式 $$y=kx(k eq0)$$，比值 $$\frac{y}{x}=k$$ 为定值，变量同向变化。 2. 反比例函数：形式 $$y=\frac{k}{x}(k eq0)$$，乘积 $$xy=k$$ 为定值，变量反向变化。 五、反比例函数判定方法 1. 整理函数解析式，能否化为 $$y=\frac{k}{x}(k eq0)$$ 的形式； 2. 验证两个变量的乘积是否为非零常数； 3. 重点排除：含常数项、自变量在分子、自变量次数不为$$-1$$的函数，均不是反比例函数。 六、典型例题与解析 例1 概念判定 下列函数中，是反比例函数的是（） A. $$y=3x$$ B. $$y=\frac{3}{x}$$ C. $$y=3x+1$$ D. $$y=\frac{3}{x+1}$$ 答案：B 解析：A为正比例函数，C为一次函数，D自变量是 $$x+1$$ 并非 $$x$$，不符合反比例函数定义。 例2 求参数取值 若函数 $$y=(m-2)x^{m^2-5}$$ 是反比例函数，求 $$m$$ 的值。 解析：根据反比例函数定义，需同时满足两个条件： 1. 自变量次数：$$m^2-5=-1$$，解得 $$m=\pm2$$； 2. 比例系数不为0：$$m-2 eq0$$，即 $$m eq2$$； 综上：$$m=-2$$。 七、本节高频易错点 1. 忽略 $$k eq0$$ 的隐含条件，判定函数或求参数时出错； 2. 误将 $$y=\frac{k}{x+a}$$ 型函数判定为反比例函数（自变量必须是单独$$x$$）； 3. 混淆正比例、反比例函数的变量关系，记错表达式； 4. 忽略自变量 $$x eq0$$ 的取值限制。 八、知识点总结 本节核心是一个定义、三种形式、两个限制。牢牢抓住“乘积为定值、系数不为0、自变量不为0”三大核心条件，即可快速完成反比例函数的判定、参数求解，为后续学习反比例函数图像、性质及实际应用打好基础。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 理解并掌握反比例函数的概念. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 探究 从八年级到现在，我们已经认识了函数家族的两位重要成员，它们是谁？我们是按照怎样的顺序研究它们的？ 一次函数 正比例函数 二次函数 已学函数 研究顺序 实际问题抽象 概念生成 图象性质 实际应用 今天我们就从三个具体的生活问题入手，研究反比例函的概念. 情境导入 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (1) 京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化； 在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量 v 随着 t 的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为v = . 探究新知 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m²的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化； 在问题(2)中，有两个变量y与x，当一个量x变化时，另一个量y随着x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为y = . 探究新知 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (3) 李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用完流量的总时间t（单位：天）的变化而变化. 在问题(3)中，有两个变量Q与t，当一个量t变化时，另一个量Q随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，Q都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为Q = . 探究新知 思考：这些解析式有什么共同特点？ v = ，y = ，Q = . 上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数. 探究新知 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数. 注意：在 y = 中，当x=0 时，分式 无意义. 探究新知 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y = ​（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y= 表示 y 与 x2​ 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 辨析 反比例关系与反比例函数的区别和联系 探究新知 下列函数： ① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ （a 为常数）. 其中  是  的反比例函数的有___________________.（填序号） 例1 ①②③⑦⑧ 易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别 反比例函数的常见形式： ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 探究新知 知识点1 反比例函数的定义 1.下列函数中，是 的反比例函数的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.[淮安期中] 已知反比例函数，则 的值不可能是( ) C A. B.0 C.1 D.2 返回 举一反三 12 3.在反比例函数中，系数____，自变量 的取值范围是_____ __. 返回 举一反三 13 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1)当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系； (2)我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km) 与它行驶的时间 t (h) 之间的关系； 解：(1) 依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数. (2) 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数. 例2 探究新知 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (3)当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系； (4)用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系. W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ） 解：(3) 依题意，得 F=，该函数是反比例函数. (4) 依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数. 例2 探究新知 例3 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= . 把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=2 时，y=6， 所以 解得 k = 12. 因此 (2) 把 x=4 代入 y， 得 探究新知 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 实质是代入一对 x，y 的对应值解方程 探究新知 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 探究新知 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，y=－. 跟踪训练 (1)求 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x= -8 时，求 y 的值； (3)当 y=12 时，求 x 的值. 己经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例”时，可直接设函数的解折式为 y 解：(1)设（）. 因为当时，，所以，解得, 所以. (2)当x=-8时，. (3)当y=12时，12，所以. 易错：代入-8时，不要漏掉解析式中原有的负号 探究新知 4.（1）若函数是反比例函数，则 的值为___； （2）若函数是反比例函数，则 的值为___. -1 1 返回 举一反三 20 5.下列哪些关系式中的是的反比例函数？每一个反比例函数相应的 值是多少？ ；;；； ； ；；；为常数 . 解：②④⑧⑨是反比例函数，相应的值分别是，，， . 返回 举一反三 21 知识点2 根据实际问题建立反比例函数模型 6.下列选项中，变量间成反比例关系的是( ) C A.圆的面积与半径 B.速度一定时，行驶路程与时间 C.平行四边形面积一定时，它的底与该底上的高 D.人的身高与年龄 返回 举一反三 22 7.某城市市区人口为 万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥 有绿地平方米，则与 之间的函数解析式为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 8.当三角形的面积为时，它的底边长与该底边上的高 之间的关系式为_ ______. 返回 举一反三 24 9.学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得的图 书本数如下表： 每名学生分得的图书本数 2 3 4 学生人数 300 200 150 用表示学生人数，表示每名学生分得的图书本数，用式子表示与 的关系为________，与 成____比例关系. 反 返回 举一反三 25 知识点3 确定反比例函数解析式 10.［教材例题变式］已知与成反比例，且当时， . （1）求关于 的函数解析式； 解：设关于的函数解析式为 ， 将，代入，得 ， 解得 ， 所以关于的函数解析式为 . 举一反三 26 （2）当时，求 的值； 解：将代入，得 . （3）当时，求 的值. 解：将代入，得，解得 . 返回 举一反三 27 11.某工厂计划生产零件个，生产天数为，每日生产量为 个，则在 下列三个结论中，正确的是( ) B ①当一定时，是 的反比例函数； ②当一定时，是 的反比例函数； ③当一定时，是 的反比例函数. A.① B.② C.③ D.①②③ 返回 举一反三 28 12. 已知函数是反比例函数，则 的值为( ) A A.1 B. C. D. 返回 举一反三 29 13.如图是用绳子围成的矩形，记矩形相邻的两边长 分别为， . （1）若绳子长为，则与 的关系式为______ ________，是 的______函数； 一次 （2）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与 的关系式为 _______________，是 的______函数； （3）若矩形的面积是，则与的关系式为_______，是 的 ________函数. 二次 反比例 返回 举一反三 30 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数 ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 三种形式 概念 确定解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式 设、代、解、写 反比例函数 实际问题 抽象 课堂小结 谢谢观看 THANKS $