第一章集合单元试卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合综合培优单元卷，覆盖集合概念、运算及创新应用，适配高中数学集合单元复习，提升数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、子集关系、元素个数|第8题结合运动会参赛人数，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3题15分|集合性质、参数范围、对称点|第14题以对称点构建集合，考查数学思维严谨性| |解答题|5题77分|新定义、证明与推理|第19题引入闭集合概念，要求论证集合关系，培养创新意识与数学语言表达能力|

集合综合测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东·模拟预测）设全集，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由韦恩图可知，阴影部分为，根据并集运算求出，再根据补集运算，即可求出结果. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为， 由题意，或， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素. 【详解】集合，集合， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上. 故选：C 【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题. 3．（25-26高三上·黑龙江双鸭山·开学考试）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（    ） A． B．0或 C．1 D．0或1 【答案】B 【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了. 【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解； （1）当时，方程化为，只有一个解； （2）当时，若只有一个解，只需，即； 综上所述，可知的值为或. 故选：B 【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 5．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【分析】根据题意，求得集合，结合集合真子集的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 6．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 7．（2026高三下·四川内江·专题练习）已知集合，，则使的实数的取值范围可是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为，可得， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围. 故选：B. 8．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合是否为空集分类讨论，结合列不等式，求得的取值范围逐一判断即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 11．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则下列说法正确的是（   ） A．可能为 B．不可能有4个元素 C．若中有3个元素，则不同的集合有15个 D．符合题意的不同的集合有44个 【答案】BCD 【分析】由，则可判断A；反证法可判断B；若中有3个元素，则，，可得集合的所有可能情况判断C；由中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素，据此计算可判断D. 【详解】若，则，中的元素个数6是中的元素，不符合题意，故A错误. 若中有4个元素，则中也有4个元素，则4不在集合中，不符合题意， 故B正确. 若中有3个元素，则，，共有个不同的集合，故C正确. 依题意，中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素， 若中只有1个元素时，则中有7个元素，故，， 所以对应的不同集合分别有1个、 以此类推，可得中只有2个、3个、5个、6个、7个元素时， 对应的不同集合分别有6个、15个、15个、6个、1个， 所以符合题意的不同集合有44个，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据，分是空集和不是空集分别列不等式计算求参数. 【详解】因为集合，，且， 当是空集时，，所以； 当不是空集时，集合中是非负数， 所以，无解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，非空集合，若在平面直角坐标系中，对S中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在S中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数． 其中正确命题的序号为______． 【答案】① 【分析】对于①，根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；对于②，若，则S中至少有4个元素，故错误；对于③，若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数； 【详解】S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称， 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，能确定4个或8个， 所以若，则S中元素的个数一定为偶数，故③错误； 综上：①正确． 故答案为：①． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【分析】根据，可得A中，解出的值即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 16．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 17．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)254 (2){m|m≤3} (3){m|m<2或m>4} 【分析】（1）直接求出集合A，即可得到非空真子集的个数； （2）判断出B⊆A，分B＝∅或B≠∅列不等式组，即可求出实数m的范围； （3）分B＝∅或B≠∅列不等式组，即可求出实数m的范围； 【详解】（1）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254. （2）（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合； 当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}. （3）（3）当B＝∅时，由（1）知m<2； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得m>4. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}. 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 19．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【答案】(1)不是闭集合；为闭集合，理由如下： 因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. (2)不一定，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. (3)证明： 不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 【分析】（1）根据“闭集合”的定义对集合进行判断. （2）通过举反例的方法说明不一定是闭集合. （3）利用反证法，结合“闭集合”的定义证得. 【详解】（1）不是闭集合；为闭集合，理由略； （2）不一定，理由略； （3）略. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合综合测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东·模拟预测）设全集，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江双鸭山·开学考试）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（    ） A． B．0或 C．1 D．0或1 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 6．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三下·四川内江·专题练习）已知集合，，则使的实数的取值范围可是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 10．（26-27高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·湖北·期中）已知集合，满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则下列说法正确的是（   ） A．可能为 B．不可能有4个元素 C．若中有3个元素，则不同的集合有15个 D．符合题意的不同的集合有44个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 13．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 14．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，非空集合，若在平面直角坐标系中，对S中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在S中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数． 其中正确命题的序号为______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 16．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 19．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $