第一章集合与常用逻辑用语单元检测卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 集合与逻辑单元检测卷，以基础概念为根基，融入生活情境（如运动会参赛人数统计）与数学史素材（伽罗瓦群论），通过新定义题型（偏序关系、等差集）考查数学抽象与逻辑推理，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合概念、逻辑命题、充分条件|第2题结合校园生活考Venn图，第8题以群论定义考数学抽象| |多选题|3题18分|集合关系、参数取值|第11题引入偏序关系新定义，考查信息迁移能力| |填空题|3题15分|子集性质、集合运算|第14题通过子集乘积综合考集合与代数运算| |解答题|5题77分|集合运算、命题否定、创新证明|第19题定义“等差集”，结合反证法考逻辑推理与创新应用|

第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷 2026-2027学年 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 2．已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（   ） A．25 B．30 C．24 D．23 3．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，若，则实数（    ） A．-1或2 B．1 C． D．2 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） A． B． C． D． 7．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 二、多选题（共18分） 9．已知集合，集合，，则可能的取值是（   ）. A． B． C． D． 10．已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 11．（多选）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系” 三、填空题（共15分） 12．任何一个集合都是它本身的___________；空集是_________的子集. 13．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______. 14．集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 四、解答题（共77分） 15．设全集，，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值集合． 16．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； (2)，． 17．已知集合． (1)若，求的值； (2)若集合至多有两个子集，求的取值范围． 18．已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围． 19．设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． (1)若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”． 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章集合与常用逻辑用语 单元检测卷 2026-2027学年》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B C B D AB ABC 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案. 【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 2．A 【分析】根据题意画出Venn图，再进行求解即可． 【详解】根据题意，画出Venn图如下：    所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：A. 3．A 【分析】根据可得出，利用集合的包含关系可求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则， 又因为集合，，则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．D 【分析】由交集的结果，计算元素的值并检验. 【详解】因为，则， 若，解得，此时， 根据集合中元素的互异性，不合题意； 若，即， 解得或，若，此时， 不合题意；当时成立. 故选：D. 5．B 【分析】由不等式性质求出集合，再由集合的交集运算求解． 【详解】， ， ， . 故选：B 6．C 【分析】根据集合中的元素，即可判断选项. 【详解】，另外三个集合都是. 故选：C. 7．B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 8．D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 9．AB 【分析】求出集合，由已知条件可得，根据集合的包含关系即可求得. 【详解】由集合，解得，因为，所以，由集合可知， 当时，解得，则，解得，与前提矛盾； 当时，不等式的解集为，则由可知，，解得， 故的可能取值为或. 故选：AB 10．ABC 【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出. 【详解】若，则，得，故A正确； 若，则，则，得，故B正确； 若，则， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，，，得， 综上，，故C正确； 若，则，，且，由C选项可知，， 假设，则，得，故， 综上，，故D错误； 故选：ABC 11．BCD 【分析】根据“偏序关系”的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误， 对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合满足①②③④， 所以是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确， 对于C，由②可知集合B中必须含有， 由③可知与，与，与不能同时出现， 所以再从，，，，，中取一个，共6个， 即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确， 对于D，满足①②， 因为，所以满足③， 因为，所以，所以，满足④， 所以是实数集的一个“偏序关系”，所以D正确， 故选：BCD. 12． 子集 任何一个集合 【分析】略 【详解】略 13． 【分析】先由条件求出，，得到或，若，则，不合题意；若时，则，由中各元素的和为256，且得到，，从而求出集合. 【详解】由，且， 得到只可能，即或， 由知，当时，， 而，则，故舍去， 则，∴，且， ∴或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，，所以. 故答案为：. 14． 【分析】将的所有非空子集进行分类，含0的，不含0却含，既不含0，也不含，只含的，进而求出答案. 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 15．（1），或；（2）. 【分析】（1）将带入，进而就可以求，； （2）由得，再分和讨论，列不等式求解. 【详解】解：（1）若，则， 又或， 则，或； （2），则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综合得实数的取值集合为. 【点睛】本题考查集合的交并补的计算，考查集合的包含关系，注意不要忽略的情况，是一道中档题. 16．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）将存在量词命题否定为全称量词命题即可，举例判断命题的真假. 【详解】（1）命题的否定：所有的素数都不是偶数． 由于2是素数也是偶数， 因此命题的否定为假命题． （2）命题的否定：，． 因为当时，， 所以此命题的否定为假命题． 17．(1) (2)或 【分析】（1）由，代入得，再求解即可； （2）分集合为或有且仅有一个元素两种情况进行求解，其中当集合有且仅有一个元素时，注意对方程的二次项系数分和两种情况进行分别求解即可． 【详解】（1）由于，所以是的实数根， 故，故； （2）由已知可得中最多有一个元素，故中可能无任何元素，或者只有一个元素， 当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素， 中最多有一个元素，或． 18．(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知是真命题，解不等式即可求解； （2）先求出是真命题时，实数的取值范围，再分为真命题且为假命题，为真命题且为假命题两种情况求解. 【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题. 所以，解得， 所以实数的取值范围； （2）若是真命题，设方程有两个不相等的正实数根，， 所以，，，解得， 若为真命题且为假命题，则， 解得或； 若为真命题且为假命题，则，此时无解； 综上，实数的取值范围是或． 19．(1) 或或 (2) (3)证明:假设是“等差集”， 则存在,成立， 化简可得, 因为,所以, 所以与集合的互异性矛盾， 所以不是“等差集”． 【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可； （2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可； （3）应用反证法证明集合不是等差集. 【详解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得， 则或或. （2）因为集合是“等差集”， 所以或或, 计算可得或或或， 又因为正整数,所以. （3）略. 【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明. 答案第4页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $