第二十六章 二次函数【章末复习】课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学二次函数单元复习课件系统梳理了二次函数的定义、三种解析式、图像性质、平移对称、与方程不等式关系及实际应用，通过知识框架图将实际问题到理论应用的逻辑链条串联，结合表格对比不同解析式适用条件和图像性质，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于聚焦高频易错点诊断和分层真题训练，如通过“忽略a≠0”等易错点培养严谨思维，设计基础解析式求解、综合最值应用、轨迹建模等分层题型，渗透数形结合和分类讨论思想，提升数学建模与推理能力。这种设计既巩固知识又适配不同学生，助力教师精准复习教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 章末小结 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 第二十六章 二次函数 章末复习 本章是初中函数知识的核心内容，承接一次函数、反比例函数，是中考重点必考模块，侧重考查二次函数的图像性质、解析式求解、最值应用、图像与方程不等式关系以及实际建模问题。本次章末复习整合全章核心知识点、重难点、易错点及典型真题题型，帮助系统梳理知识、突破考点。 一、本章知识框架 实际问题→二次函数定义→三种解析式形式→图像与性质→图像平移与对称→与一元二次方程、不等式的关系→最值问题、实际应用（抛物线实物、运动轨迹） 二、核心知识点梳理 （一）二次函数的定义 一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$为常数，且$$a eq0$$）的函数，叫做二次函数。其中$$x$$是自变量，$$a$$决定函数开口方向和开口大小，$$b、c$$决定图像位置。 关键注意：自变量最高次数为2，二次项系数$$a$$绝对不能为0。 （二）二次函数三种解析式（必考） 1. 一般式：$$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$，适用于已知图像上任意三个点坐标，代入列三元一次方程组求解。 2. 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k(a eq0)$$，顶点坐标$$(h,k)$$，对称轴直线$$x=h$$，适用于已知顶点、最值、对称轴等条件，是实际应用题首选解析式。 3. 交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a eq0)$$，$$x_1、x_2$$为抛物线与x轴交点横坐标，适用于已知抛物线与x轴两个交点坐标的题型。 （三）图像与核心性质 1. 开口方向：$$a>0$$开口向上，函数有最小值；$$a<0$$开口向下，函数有最大值；$$|a|$$越大，抛物线开口越窄。 2. 对称轴：一般式对称轴$$x=-\frac{b}{2a}$$，顶点式对称轴$$x=h$$。 3. 顶点坐标：一般式$$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$$，顶点式$$(h,k)$$，顶点是函数最值点。 4. 增减性：$$a>0$$时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；$$a<0$$时，增减性相反。 （四）图像平移与对称规律 1. 平移规律：顶点式遵循“左加右减、上加下减”，仅针对$$x$$和常数项变化，$$a$$值保持不变，开口大小、方向不变。 2. 对称规律：关于x轴对称，$$a$$变号，顶点横标不变、纵标变号；关于y轴对称，$$a$$不变，顶点横标、对称轴变号。 （五）二次函数与方程、不等式的关系 1. 抛物线与x轴交点个数由判别式$$\Delta=b^2-4ac$$决定：$$\Delta>0$$两个交点，$$\Delta=0$$一个交点（顶点在x轴），$$\Delta<0$$无交点。 2. $$y=0$$时，二次函数转化为一元二次方程，方程的根即为抛物线与x轴交点横坐标。 3. 函数不等式：$$y>0$$对应图像在x轴上方的x取值范围，$$y<0$$对应图像在x轴下方的x取值范围。 （六）实际应用核心考点 主要分为最值类问题和抛物线轨迹问题：1. 销售利润、面积最值问题，利用顶点坐标求最大、最小值；2. 拱桥、喷泉、投篮、抛球等抛物线实物与运动轨迹问题，核心为建系—转坐标—求解析式—代值求解四步建模法，需舍去不符合实际的解。 三、高频易错点总结 1. 忽略二次项系数$$a eq0$$的隐含条件，判断二次函数时出错； 2. 平移规律混淆，对“左加右减”适用对象理解错误，误对整体x加减； 3. 求最值时忽略自变量实际取值范围，机械套用顶点最值； 4. 实际应用题求解后，未舍去负数、超出范围等无实际意义的解； 5. 混淆二次函数增减性，未结合对称轴判断区间变化规律。 四、章末典型真题精练 1. 基础题型（解析式求解） 已知二次函数图像顶点为$$(2,-3)$$，且过点$$(3,1)$$，求该二次函数解析式。 解析：设顶点式$$y=a(x-2)^2-3$$，代入$$(3,1)$$得$$a-3=1$$，$$a=4$$，解析式为$$y=4(x-2)^2-3$$，整理得$$y=4x^2-16x+13$$。 2. 性质题型（图像判断） 已知二次函数$$y=-2x^2+4x+1$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴为直线$$x=-1$$ C. 最大值为3 D. 当$$x>1$$时，y随x增大而增大 答案：C 解析：$$a=-2<0$$开口向下，对称轴$$x=1$$，顶点纵坐标为3，函数最大值为3，$$x>1$$时y随x增大而减小。 3. 综合应用题（最值问题） 某商店销售进价为20元的商品，售价为x元时，每天销量为$$(100-2x)$$件，求每天销售利润的最大值及对应售价。 解析：设利润为y元，$$y=(x-20)(100-2x)=-2x^2+140x-2000$$，$$a=-2<0$$，对称轴$$x=35$$，代入得最大利润$$y=450$$元。即售价35元时，日利润最大为450元。 4. 轨迹建模题（真题高频） 抛物线型拱桥，水面宽6m时，拱顶离水面3m，水面上涨1m后，求此时水面宽度。 解析：以拱顶为原点，对称轴为y轴建系，设解析式$$y=ax^2$$，代入点$$(3,-3)$$得$$a=-\frac{1}{3}$$，解析式$$y=-\frac{1}{3}x^2$$。水面上涨1m，此时$$y=-2$$，代入解得$$x=\pm\sqrt{6}$$，水面宽度为$$2\sqrt{6}\text{m}$$。 五、本章复习总结 二次函数的学习核心是数形结合，所有性质、计算、应用均围绕图像展开。解题时优先根据题干条件选择合适的解析式，熟练掌握对称轴、顶点、增减性、最值等核心性质，区分纯函数计算与实际应用的差异，尤其注意实际问题中自变量的取值限制。本章难点为图像综合判断、动态最值问题和抛物线建模应用，通过专项训练可熟练掌握解题套路，攻克中考核心考点。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 实际问题 二次函数 y=ax2+bx+c 图象 性质 归纳抽象 实际问题 的答案 利用二次函数的图象和性质求解 目标 2 知识点1 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 例1 已知 y=(m²+m)xm²-2m-1+(m-3)x+m2-11 是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：(1)由题意，得 解得 m=3. (2)由（1）知，二次函数解析式为y=12x2-2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是-2. 知识点1 二次函数的概念 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=a(x-h)2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0. 当 x=h 时，y最大值​=0. 知识点2 二次函数的图象和性质 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 知识点1 XXX 知识点2 二次函数的图象和性质 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (​) 对称轴 直线 x= 增减性 当 x< 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>时，y 随 x 的增大而增大. 当 x< 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=时，y最小值​= 当 x=时，y最大值​=. 一、核心考点巩固 考点1 二次函数的定义 1.下列函数中，一定是 的二次函数的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 10 2.若是关于 的二次函数，则该函数的 最小值为_ ____. 返回 考试考法 11 考点2 二次函数的图象与性质 3.已知二次函数 ，下列说法正确的是( ) C A.图象的对称轴为直线 B.图象的顶点坐标为 C.函数的最大值是 D.函数的最小值是 返回 考试考法 12 4.在平面直角坐标系中，将抛物线 先向右平移2个单位 长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 13 5.[杭州模拟] 抛物线经过，， 三 点，则，， 的大小关系正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 14 6.二次函数 的图象如图所示，对称 轴是直线，则过点 和点 的直线一定不经过( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 考试考法 15 7.如图，已知二次函数的图象与轴交于 ， 两点. （1）____， ___； 2 考试考法 16 （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标. 解：由（1）知二次函数的解析式为， ， ， ， 设点的纵坐标为，则，， ， 当 时，方程无解，不符合题意，舍去； 当时，解得 ， . 点的坐标为或 . 返回 考试考法 17 8.已知二次函数 . （1）当时，的最小值为，求 的值； 解：易得该函数图象的对称轴为直线.若，则当 时， 最小，即，解得 ， ， ； 若，则当时， 最小， 即，解得（不合题意，舍去）.综上所述， . 考试考法 18 （2）若，， 都在这个二次函数的图象上，且 ，求 的取值范围. 解：易知，关于对称轴对称， ，即 ，且在对称轴左侧， 在对称轴右侧. 抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线 ， 此交点关于对称轴对称的点为且 ， ，解得 . 考试考法 19 当， 都在对称轴左边时， ，，解得 ； 当， 分别在对称轴两侧时， ，到对称轴的距离大于 到对称轴的距离， ，解得， . 综上所述，的取值范围为或 . 返回 考试考法 考点3 二次函数与方程、不等式的关系 （第9题） 9.如图是二次函数 的部分图 象，该函数图象的对称轴是直线，图象与 轴交 点的纵坐标是2，则下列结论： ； ②方程一定有一个根在和 之间； ③方程 一定有两个不相等的实数 考试考法 21 根； . 其中，正确结论的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 返回 考试考法 10.如图，抛物线与直线 的两个交点坐标分别为 ，，则关于的不等式 的解集为______ ___________. 或 （第10题） 返回 考试考法 23 考点4 二次函数的应用 11.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量 （件）与销售单价 （元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. 考试考法 24 （1）求这段时间内与 之间的函数解析式. 解：设这段时间内与之间的函数解析式为 ， 由图象可知，函数图象经过点， ， 解得 这段时间内与之间的函数解析式为 . 考试考法 25 （2）在这段时间内，销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于 220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大 利润是多少？ 解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务， ， ， 即 解得 ， 设获得的利润为 元，则 考试考法 26 ， ， 二次函数的图象开口向下， 当时，随 的增大而增大， 当时， 有最大值，即当销售单价为116元时，商场获得的利 润最大，最大利润是 （元）. 返回 考试考法 12.［教材复习题 变式］[南通中考] 综合与实践：学校数学兴趣 小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙 （墙的长度不限），其余部分用总长为 的栅栏围成，兴趣小组设 计了以下两种方案：#1 考试考法 28 方案一 方案二 如图①，围成一个面积 为 的矩形花圃. __________________________________________________________________ 如图②，围成矩形花圃，用栅栏（栅栏宽度 忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区 域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留 一个宽为 的进出口（此处不用栅栏）. ________________________________________________________________ 考试考法 29 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； 解：设与墙垂直的边的长度为 ，则与墙平行的边的长度为 ， 根据题意得 ， 解得 . 答：与墙垂直的边的长度为 . 考试考法 30 （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 解：设与墙平行的边的长度为，花圃的面积为 ， 根据题意得 ， . ， 当时， 有最大值，为363. 答：当与墙平行的边的长度为 时，花圃的面积最大. 返回 考试考法 31 13.如图，一小球从斜坡 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛 物线刻画，斜坡可以用直线 刻画，小球飞 行的水平距离（米）与小球飞行的高度 （米）的变化规律如下表： 考试考法 32 米 0 1 2 4 5 6 7 … 米 0 6 8 … （1）①___， ___； 3 6 考试考法 33 ②小球的落点是，求点 的坐标. 解：将,；,分别代入 ,得 解得 . 联立 考试考法 34 解得或 点的坐标是 . 考试考法 （2）小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系： . ①小球飞行的最大高度为___米； 8 ②求 的值. [答案] ， 则，解得 （负值已舍去）. 返回 考试考法 36 二、思想方法演练 思想1 数形结合思想 14.函数的图象如图所示，关于 的 一元二次方程 的根的情况是( ) A A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.以上都不对 返回 考试考法 37 思想2 分类讨论思想 15.[济宁期末] 已知二次函数，若当 时， 的最大值是3，则 的值为_______. 3或 返回 考试考法 38 谢谢观看 THANKS $