第二十六章 二次函数 综合复习课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、三种形式（y=ax²、y=a(x-h)²+k、y=ax²+bx+c）的图象与性质、与一元二次方程的关系及实际应用，通过知识结构表、表格对比性质、平移规律口诀等构建知识网络，串联知识点内在逻辑。 其亮点在于题型分层设计（11种题型标注重点难点易错点），结合解题通法（如利润问题公式、平移口诀），如销售利润问题建立函数模型培养模型意识，抛物线型拱桥建模提升应用能力，帮助学生分层巩固，教师精准把握学情，提高复习效率。

第二十六章 二次函数 新教材数学人教版九年级上册 二次函数 y=ax2 图象和性质 y=ax2+bx+c图象和性质 图象与性质 y=a(xh)2+k 图象和性质 实际应用 最大面积问题 抛物线形问题 最大利润问题 二次函数的概念 平移 抛物线与x轴的公共点情况 利用图象法求一元二次方程的近似解 与一元二次方程关系 数形结合 二次函数的概念 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次函数解析式必须同时满足以下三个条件： 1.解析式右边都是整式 2.自变量x的最高次数是 2 3.二次项系数不为0 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (0，0) y轴 x=0时，y最小=0 开口向下 (0，0) y轴 x=0时，y最大=0 对于抛物线y=ax²(a≠0)，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大. 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (0，k) y轴 x=0时，y最小=k 开口向下 (0，k) y轴 x=0时，y最大=k 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 二次函数的图象与性质 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (h，0) 直线x=h x=h时，y最小=0 开口向下 (h，0) 直线x=h x=h时，y最大=0 当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 二次函数的图象与性质 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 (h，k) 直线x=h x=h时，y最小=k 开口向下 (h，k) 直线x=h x=h时，y最大=k 当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大. 当x<h时，y随x的增大而增大； 当x>h时，y随x的增大而减小. 二次函数的图象与性质 二次函数的平移规律 y=ax2 y=a(xh)2k y=a(xh)2 y=ax2k 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位 “上加下减”常数项，“左加右减”自变量 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质 x y O y=ax2+bx+c(a>0) x y O y=ax2+bx+c(a<0) 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质 对于一般形式的二次函数来说，它的最大(小)值在顶点处取得，但在实际问题中，要在自变量的取值范围内寻求其最大(小)值. 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程关系 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数图象与x轴的交点情况)： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值y=0时对应的点的横坐标的值，即二次函数与x轴交点的横坐标. 两个公共点⟺ 两个不相等实数根⟺ Δ>0 一个公共点⟺ 两个相等实数根⟺ Δ=0 没有公共点⟺ 没有实数根⟺ Δ<0 二次函数与一元二次方程 用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值时，根的整数部分可以观察图象得到，根小数部分的探求需用到函数的性质. 当x取x1，x2时，若对应的y1，y2异号，则方程必有一根在x1与x2之间，在x1和x2之间继续等分，逐步逼近，使得到的根的精确度越来越高. 实际问题与二次函数 最大面积问题 将二次函数解析式配方成顶点式y=a(x-h)2+k ，明确自变量取值范围： 若顶点在自变量范围内，a>0时，k是最小值；a<0时，k是最大值. 若顶点不在自变量范围内，计算端点值，结合函数图象性质判断最值. 利用二次函数解决实际生活问题时，要明确自变量的取值范围. 利润最大问题 运用“总利润=单件利润×销售量(总利润=总售价总成本)”公式，建立利润与单价之间的二次函数解析式，结合题干条件明确自变量的取值范围，利用函数图象性质，分析最值并确定自变量的取值(整数). 实际问题与二次函数 抛物线形问题 解题步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系. (2)根据题意找出已知点的坐标. (3)求出抛物线解折式. (4)直接利用图象解决实际问题. 建系原则：优先顶点为原点；简化解析式；对称轴为y轴 题型1 二次函数定义辨析判定 题型2 二次函数y=ax2的图象和性质 题型8 二次函数与一元二次方程综合 题型3 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 题型4 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 题型7 含参区间下二次函数的最小值求解 题型6 抛物线平移变换解析式推导 题型10 抛物线型拱桥实物建模计算 题型9 销售利润二次函数实际应用 题型11 靠墙围栏矩形面积最值与取值范围 题型归纳·内容归纳 D 二次函数定义辨析判定 二次函数定义辨析解题方法总结： 三个硬性判定条件缺一不可： 1.解析式右边都是整式. 2.自变量x的最高次数都是 2. 3.二次项系数不为0. 避坑：只看次数忽略二次项系数为0的情况是高频错误. ∵抛物线的解析式为y=3x2，3<0， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=0，且当x>0时，y随x的增大而减小， ∵点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=3x2上， ∴点A(1，y1)关于对称轴x=0的对称点为(1，y1)， ∵0<1<2，∴y1>y2 .故选：C. C 二次函数y=ax2的图象和性质 D 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 D 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 C 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 D 抛物线平移变换解析式推导 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项(可用顶点式y=a(x-h)2+k变换) 解题流程： 1.统一写成顶点式，找准x和y； 2.左右平移改变x，在x后面左加右减，上下平移改变y，在k后面上加下减； 3.抛物线形状不变，二次项系数a永久不变； 4.逆向题型(已知平移后解析式求原函数)：平移方向逆向运算. 方法提醒：“左加右减”只针对自变量x，找到所有的x，把x单独括起来，在括号里左加右减. 含参区间下二次函数的最小值求解 二次函数与一元二次方程综合 x 1 4 5 -3 -2 -1 O y -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 2 3 x 1 4 5 -3 -2 -1 O y -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 2 3 二次函数与一元二次方程综合 x 1 4 5 -3 -2 -1 O y -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 2 3 二次函数与一元二次方程综合 销售利润二次函数实际应用 销售利润二次函数实际应用 销售利润二次函数实际应用 基础公式：单件利润=单件售价单件成本 总利润=单件利润×销售数量 列式步骤：① 设涨跌价x，表达新售价、销量； ② 套用利润公式列出二次函数； ③ 依据实际意义划定x取值范围； ④ 结合开口、对称轴，在区间内求利润最值. 注意：1.最值不一定在顶点，顶点若不在实际取值区间，最值取区间端点； 2.价格调整类，x的取值一定要符合实际意义(部分题目x会限定为整数) x y O M B A 抛物线型拱桥实物建模计算 x y O M B A 抛物线型拱桥实物建模计算 苗圃园 18米 靠墙围栏矩形面积最值与取值范围 x y O N M x y O N M x y O N P M Q x y O N P M Q x y O C A P D F E B x y O C A P D F E B x y O C A P D F E B y x O C P B A y x O C P B A y x O C P B A E D F y x O C P B A $