25.3 一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题 讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程应用，系统梳理增长率问题（含基本概念、核心公式、关键要素）、营销问题（核心数量关系、变化规律）、图形面积问题（面积公式、高频题型），知识点层层递进，构建完整学习支架。 资料以真实情境例题（如新能源汽车销售、共享单车租车量）培养数学眼光，通过“定基数—设未知数—列方程”等步骤引导发展数学思维，用方程解决实际问题（求增长率、售价、路宽）强化数学语言。课中助教师系统授课，课后变式训练助学生查漏补缺。

一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题讲义 一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题讲义 考点目录 增长率问题 营销问题 图形面积问题 考点一 增长率问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本概念 增长率是增长的量与起始基数的比值，反映增长幅度；若连续多期增长且每期增长的百分率相同，称为平均增长率。下降率同理，指下降的量与基数的比值，对应平均下降率。 1. 核心公式 · 单次增长： · 平均增长率（连续 次增长）：设起始基数为 ，平均增长率为 ，经过 期增长后现期量为 ，则 · 平均下降率（连续 次下降）： · 其中 为平均下降率，满足 。 1. 关键要素 基数（起始量）、增长/下降次数 、平均变化率 、现期量，四个量中知三求一。初中阶段高频考查 的情形，对应一元二次方程。 1. 常见场景 产值产量、人口数量、营业额、存款本息、病毒传播等增长或下降类问题。 二、解题思路 1. 定基数：明确起始的基础量 ，区分“第1年”“第 年”“经过 年”的表述，准确确定增长/下降次数 。 1. 设未知数：通常设平均增长率（或平均下降率）为 。 1. 找等量列方程：根据最终现期量 ，套用平均增长/下降公式，列出一元二次方程。 1. 解方程：优先用直接开平方法求解，也可用公式法、因式分解法。 1. 验实际意义： · 增长率问题：舍去负根，增长率 ； · 下降率问题：舍去负根和大于1的根，保证 。 三、高频易错点 1. 增长次数数错：如“两年后”对应 ，易误算为 ；混淆“第 年”与“经过 年”。 1. 基数混淆：误将现期量当作基数代入公式，导致方程列反。 1. 下降率忽略上限：下降率不能超过100%，解出 时未舍去。 1. 连续增长的基数是上一期的量，而非固定为初始基数，错误理解为固定增量。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）市某出口公司今年计划每月盈利125万元，由于原料成本上升，二月份比计划盈利减少，从三月份开始，公司采用新技术，盈利不断上升，四月份盈利达到121万元． (1)二月份实际盈利 万； (2)求二月份到四月份盈利的月平均增长率． 例2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 变式2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）为了应对气候变化，某科技公司研发了一种人工装置“碳捕集树”，该装置能像超级树木一样高效吸收大气中的二氧化碳．2022年投入使用，单台设备年均捕集量为吨二氧化碳，该设备经过技术升级后，到年单台设备年均捕集量达到吨，且从年到年，该设备年均捕集量的平均增长率都相同． (1)求该设备每年年均捕集量的平均增长率； (2)该科技公司在年初引入人工智能算法实时优化捕集过程，使得单台设备年均捕集量的平均增长率提高到原来的倍，按照这个平均增长率，预计年该设备单台年均捕集量将达到多少吨？ 考点二 营销问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心数量关系 · 单个利润 = 售价 - 进价（成本） · 总利润 = 单个利润 销售量 · 总销售额 = 售价 销售量 1. 核心变化规律 售价与销量反向变化：售价上涨，销售量下降；售价下降，销售量上升。题目通常给出标准对应关系，如“每涨价1元，销量减少 件”“每降价1元，销量增加 件”。 1. 常见设问方向 已知总利润目标，求售价、涨价/降价幅度、对应销量；或结合库存要求选择最优方案。 二、解题思路 1. 梳理已知量：明确商品的进价、原售价、原销量，以及价格变动与销量变动的对应比例。 1. 设未知数：通常设每件涨价 元（或降价 元），也可设实际售价为 元。 1. 表示相关量 · 涨价场景：实际售价 = 原售价 ，单个利润 = 原售价 进价； 实际销量 = 原销量 每涨1元减少的销量 · 降价场景：实际售价 = 原售价 ，单个利润 = 原售价 进价； 实际销量 = 原销量 每降1元增加的销量 1. 列方程：根据“总利润 = 单个利润 销售量”，代入表达式得到一元二次方程。 1. 求解与取舍：解出未知数后，结合实际约束检验：售价必须高于进价、销量不能为负；若有“尽快减少库存”“获利最大”等要求，优先选择对应降价更多、销量更大的解。 三、高频易错点 1. 价格与销量的变化关系写反：涨价对应销量减少、降价对应销量增加，易混淆符号。 1. 总利润公式误用：用总销售额直接当作总利润，或错误用进价乘销量计算总成本。 1. 忽略实际限制：解出后未验证销量非负、售价高于成本，保留不符合实际的根。 1. 设问偏差：将“涨价多少元”与“售价多少元”混淆，答非所问。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 例2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）某水果店销售赣南脐橙，原售价为每千克7.5元，连续两次降价后现在的售价为每千克4.8元，若每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，现在每千克赣南脐橙可盈利1元，且每天可售出500千克，水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克脐橙每涨价0.5元，日销售量将减少50千克．现该水果店要保证每天盈利800元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 例3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以50元/个的进价购进一批坦克模型，第一周销售400个，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到576个． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率； (2)经市场预测，当该坦克模型售价为60元/个时，每周的销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则周销售量将减少10个，为使周销售利润达到10000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该坦克模型的实际售价应定为多少元/个？ 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； (2)小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． (1)该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ (2)每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 考点三 图形面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 问题本质 利用几何图形的面积公式，结合边长变化、图形分割、区域重叠、围栏限制等关系，建立一元二次方程，求解边长、宽度、半径等几何量。 1. 基础面积公式 矩形面积 = 长 宽；正方形面积 = 边长； 三角形面积 = 底 高；梯形面积 = 上底 下底 高。 1. 高频题型 · 围栏问题：靠墙围矩形，或矩形中间加隔栏，已知围栏总长度，求边长使面积满足要求。 · 道路问题：矩形草坪/场地内修建横向、纵向等宽道路，求路宽或剩余绿化面积。 · 拼接折叠问题：图形折叠、裁剪拼接后形成新图形，根据面积关系列方程。 · 阴影面积问题：通过割补、平移表示阴影部分面积，建立方程求解。 二、解题思路 1. 分析图形结构：明确图形形状、已知边长、固定边界（如墙）、面积等量关系，标注公共边、重叠区域。 1. 设未知数：通常设未知边长、路宽、半径等为 。 1. 表示相关边长 · 围栏问题：靠墙一侧不需要围栏，总围栏长度不包含靠墙边；中间有隔栏时，总长度需包含隔栏长度。 · 道路问题：优先用平移法，将道路平移至图形边缘，剩余部分形成新矩形，长和宽分别减去对应路宽，避免重复计算交叉重叠部分。 1. 列方程：根据面积公式或题目给出的面积条件，列出一元二次方程。 1. 几何检验：长度、宽度必须为正数，且不能超过原图形的边界长度，舍去所有不符合几何意义的解。 三、高频易错点 1. 围栏问题边数算错：靠墙时多算一条边，或中间有隔栏时漏算隔栏长度。 1. 道路问题忽略重叠：横向与纵向道路交叉处被重复减去，未用平移法修正或加回重叠面积。 1. 未舍去负根：几何长度不能为负，解出负值直接舍去。 1. 单位不统一：题目中长度、面积单位不一致时，未先统一单位就列方程，导致结果数量级错误。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度． 例2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）根据以下素材，探究完成任务： 背景 动画电影“疯狂动物城2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送 素材1 某影院11月26日的票房收入费用为7万元，随着观影人数的不断增多，11月28日的票房收入达到10.08万元 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“疯狂动物城”里角色的手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为 问题解决 任务1 根据素材1，求从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题讲义 一元二次方程：增长率问题、营销问题、图形面积问题讲义 考点目录 增长率问题 营销问题 图形面积问题 考点一 增长率问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本概念 增长率是增长的量与起始基数的比值，反映增长幅度；若连续多期增长且每期增长的百分率相同，称为平均增长率。下降率同理，指下降的量与基数的比值，对应平均下降率。 1. 核心公式 · 单次增长： · 平均增长率（连续 次增长）：设起始基数为 ，平均增长率为 ，经过 期增长后现期量为 ，则 · 平均下降率（连续 次下降）： · 其中 为平均下降率，满足 。 1. 关键要素 基数（起始量）、增长/下降次数 、平均变化率 、现期量，四个量中知三求一。初中阶段高频考查 的情形，对应一元二次方程。 1. 常见场景 产值产量、人口数量、营业额、存款本息、病毒传播等增长或下降类问题。 二、解题思路 1. 定基数：明确起始的基础量 ，区分“第1年”“第 年”“经过 年”的表述，准确确定增长/下降次数 。 1. 设未知数：通常设平均增长率（或平均下降率）为 。 1. 找等量列方程：根据最终现期量 ，套用平均增长/下降公式，列出一元二次方程。 1. 解方程：优先用直接开平方法求解，也可用公式法、因式分解法。 1. 验实际意义： · 增长率问题：舍去负根，增长率 ； · 下降率问题：舍去负根和大于1的根，保证 。 三、高频易错点 1. 增长次数数错：如“两年后”对应 ，易误算为 ；混淆“第 年”与“经过 年”。 1. 基数混淆：误将现期量当作基数代入公式，导致方程列反。 1. 下降率忽略上限：下降率不能超过100%，解出 时未舍去。 1. 连续增长的基数是上一期的量，而非固定为初始基数，错误理解为固定增量。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）市某出口公司今年计划每月盈利125万元，由于原料成本上升，二月份比计划盈利减少，从三月份开始，公司采用新技术，盈利不断上升，四月份盈利达到121万元． (1)二月份实际盈利 万； (2)求二月份到四月份盈利的月平均增长率． 【答案】(1) 100 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，百分数的应用，理解增长率的意义是解题的关键． （1）把计划盈利看作单位“1”，则二月份的实际盈利是计划盈利的，二月份的实际盈利为万元； （2）设二月份到四月份盈利的月平均增长率为x，三月份的盈利是万元，四月份的盈利为万元，根据四月份盈利121万元列方程即可求解． 【详解】（1）解：（万元）； 故答案为：100； （2）解：设二月份到四月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得(不合题意，舍去）， 答：二月份到四月份盈利的月平均增长率为． 例2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1) (2)万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是关键． （1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程求解即可． （2）通过1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程得： ， ∴或（舍）， 答：月平均增长率为． （2）∵该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同， ∴4月份该品牌新能源汽车的销售量为（万辆）， 答：4月份该品牌新能源汽车的销售量大约为万辆． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2025年7月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，9月份租车量达9360人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用增长率模型求解，其中为初始值，为最终值，为平均每月增长率． 【详解】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， ， 或（舍去）， ， 答：平均每个月的增长率为． 变式2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）为了应对气候变化，某科技公司研发了一种人工装置“碳捕集树”，该装置能像超级树木一样高效吸收大气中的二氧化碳．2022年投入使用，单台设备年均捕集量为吨二氧化碳，该设备经过技术升级后，到年单台设备年均捕集量达到吨，且从年到年，该设备年均捕集量的平均增长率都相同． (1)求该设备每年年均捕集量的平均增长率； (2)该科技公司在年初引入人工智能算法实时优化捕集过程，使得单台设备年均捕集量的平均增长率提高到原来的倍，按照这个平均增长率，预计年该设备单台年均捕集量将达到多少吨？ 【答案】(1) (2)吨 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设该设备每年年均捕集量的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程并检验即可求解． （2）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：设该设备每年年均捕集量的平均增长率为，根据题意得 解得：（舍去） 答：该设备每年年均捕集量的平均增长率． （2）解： 答：预计年该设备单台年均捕集量将达到吨． 考点二 营销问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心数量关系 · 单个利润 = 售价 - 进价（成本） · 总利润 = 单个利润 销售量 · 总销售额 = 售价 销售量 1. 核心变化规律 售价与销量反向变化：售价上涨，销售量下降；售价下降，销售量上升。题目通常给出标准对应关系，如“每涨价1元，销量减少 件”“每降价1元，销量增加 件”。 1. 常见设问方向 已知总利润目标，求售价、涨价/降价幅度、对应销量；或结合库存要求选择最优方案。 二、解题思路 1. 梳理已知量：明确商品的进价、原售价、原销量，以及价格变动与销量变动的对应比例。 1. 设未知数：通常设每件涨价 元（或降价 元），也可设实际售价为 元。 1. 表示相关量 · 涨价场景：实际售价 = 原售价 ，单个利润 = 原售价 进价； 实际销量 = 原销量 每涨1元减少的销量 · 降价场景：实际售价 = 原售价 ，单个利润 = 原售价 进价； 实际销量 = 原销量 每降1元增加的销量 1. 列方程：根据“总利润 = 单个利润 销售量”，代入表达式得到一元二次方程。 1. 求解与取舍：解出未知数后，结合实际约束检验：售价必须高于进价、销量不能为负；若有“尽快减少库存”“获利最大”等要求，优先选择对应降价更多、销量更大的解。 三、高频易错点 1. 价格与销量的变化关系写反：涨价对应销量减少、降价对应销量增加，易混淆符号。 1. 总利润公式误用：用总销售额直接当作总利润，或错误用进价乘销量计算总成本。 1. 忽略实际限制：解出后未验证销量非负、售价高于成本，保留不符合实际的根。 1. 设问偏差：将“涨价多少元”与“售价多少元”混淆，答非所问。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 例2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）某水果店销售赣南脐橙，原售价为每千克7.5元，连续两次降价后现在的售价为每千克4.8元，若每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，现在每千克赣南脐橙可盈利1元，且每天可售出500千克，水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克脐橙每涨价0.5元，日销售量将减少50千克．现该水果店要保证每天盈利800元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率为20%； (2)每千克应涨价元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出，解方程即可求解； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要尽快减少库存， ， 答：每千克应涨价元． 例3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力．某商场以50元/个的进价购进一批坦克模型，第一周销售400个，第二、三周该坦克模型十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到576个． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率； (2)经市场预测，当该坦克模型售价为60元/个时，每周的销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则周销售量将减少10个，为使周销售利润达到10000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该坦克模型的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为 (2)该坦克模型的实际售价应定为70元/个 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用． （1）设第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为x，根据题意列出方程求解x的值即可； （2）设该坦克模型每个的售价上涨m元，根据题意列出方程求解出m的值，要尽可能让顾客得到实惠，所求m的值为最小值，从而求得实际售价． 【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为x， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 即第二、三周该坦克模型销售量的周均增长率为． （2）解：设该坦克模型每个的售价上涨m元， 由题意，得， 整理得，解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴， 即该坦克模型的实际售价应定为70元/个． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； (2)小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】(1)32 (2)每件T恤衫的销售价应该定为80元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价金额计算销售量的增加量，从而求得总销售量； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【详解】（1）解：降价6元， 每天多卖12件， 每天的销售量为件， 故答案为：32； （2）解：设每件T恤衫降价元， 由题意可得：， 解得：或， 又∵尽可能让利于顾客， ， ∴每件T恤衫的销售价应该定为80元． 变式2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用月销售量（售价，即可用含的代数式表示出月销售量； （2）利用月销售利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：当售价为元个时，月销售量为个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． (1)该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ (2)每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 【答案】(1)A型充电器售价200元，B型充电器售价240元． (2)每台B型充电器应降价30元． 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用． （1）通过设A型售价为x元，B型售价为元，根据购买数量相等列分式方程求解； （2）设每台B型降价m元，根据利润目标列一元二次方程，并选择符合减少库存条件的解． 【详解】（1）解：设A型充电器售价为x元，则B型充电器售价为元． 根据题意，得 ． 解得． 检验：当时，，且符合题意， 故原方程的解为． ∴B型充电器售价为元． 答：A型充电器售价200元，B型充电器售价240元； （2）解：设每台B型充电器降价m元．降价后每台利润为元． 降价后每月售出台数为台． 根据题意，得． 整理得，． 解得，． ∵要尽快减少库存， ∴选择降价较多的． 答：每台B型充电器应降价30元． 考点三 图形面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 问题本质 利用几何图形的面积公式，结合边长变化、图形分割、区域重叠、围栏限制等关系，建立一元二次方程，求解边长、宽度、半径等几何量。 1. 基础面积公式 矩形面积 = 长 宽；正方形面积 = 边长； 三角形面积 = 底 高；梯形面积 = 上底 下底 高。 1. 高频题型 · 围栏问题：靠墙围矩形，或矩形中间加隔栏，已知围栏总长度，求边长使面积满足要求。 · 道路问题：矩形草坪/场地内修建横向、纵向等宽道路，求路宽或剩余绿化面积。 · 拼接折叠问题：图形折叠、裁剪拼接后形成新图形，根据面积关系列方程。 · 阴影面积问题：通过割补、平移表示阴影部分面积，建立方程求解。 二、解题思路 1. 分析图形结构：明确图形形状、已知边长、固定边界（如墙）、面积等量关系，标注公共边、重叠区域。 1. 设未知数：通常设未知边长、路宽、半径等为 。 1. 表示相关边长 · 围栏问题：靠墙一侧不需要围栏，总围栏长度不包含靠墙边；中间有隔栏时，总长度需包含隔栏长度。 · 道路问题：优先用平移法，将道路平移至图形边缘，剩余部分形成新矩形，长和宽分别减去对应路宽，避免重复计算交叉重叠部分。 1. 列方程：根据面积公式或题目给出的面积条件，列出一元二次方程。 1. 几何检验：长度、宽度必须为正数，且不能超过原图形的边界长度，舍去所有不符合几何意义的解。 三、高频易错点 1. 围栏问题边数算错：靠墙时多算一条边，或中间有隔栏时漏算隔栏长度。 1. 道路问题忽略重叠：横向与纵向道路交叉处被重复减去，未用平移法修正或加回重叠面积。 1. 未舍去负根：几何长度不能为负，解出负值直接舍去。 1. 单位不统一：题目中长度、面积单位不一致时，未先统一单位就列方程，导致结果数量级错误。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为2米 【分析】设道路的宽度为，根据种花的面积列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为， 则， 即 ， ，（不符合，舍去） 答：道路的宽度为2米． 例2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 例3．（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【答案】装裱成品的长与宽分别为， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． (1)若围成的矩形花圃的面积为，求的长． (2)围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)5米 (2) 不能，理由如下， 假设面积可以为 ，则， 整理得即 ， ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为 ． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； （2）略 变式2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）根据以下素材，探究完成任务： 背景 动画电影“疯狂动物城2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送 素材1 某影院11月26日的票房收入费用为7万元，随着观影人数的不断增多，11月28日的票房收入达到10.08万元 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“疯狂动物城”里角色的手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长、宽分别为 问题解决 任务1 根据素材1，求从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率 任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长 【答案】任务1：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为；任务2：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． 任务一：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的天平均增长率为x，根据11月26日的票房收入费用为7万元，11月28日的票房收入达到10.08万元，列出方程，解方程即可； 任务二：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，根据底面面积是列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：任务1：设从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：从11月26日到11月28日该影院票房收入的日平均增长率为； 任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 由题意，得， 整理，得， 解得（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】问题1：小路宽度应为； 问题2：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 问题1：设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． 问题2：根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】解：问题1：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为． 问题2：略 2 学科网（北京）股份有限公司 $