25.3 实际问题与一元二次方程 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，系统梳理“审题→设元→列方程→解方程→检验作答”五步解题流程，涵盖增长率、数字、面积/周长、销售利润、传染、比赛等常见问题类型，搭建从步骤理解到实际应用的学习支架。 资料以分题型典例精析为特色，如面积问题中矩形猪舍建造、销售利润问题中降价促销等实例，引导学生用数学眼光观察现实情境，用数学思维分析等量关系，用数学语言构建方程模型。课中辅助教师分层教学，课后同步练习助力学生巩固应用，有效查漏补缺。

初中数学（RJ）九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】能根据具体问题的实际意义，经历"审题→设元→列方程→解方程→检验作答"五步，用一元二次方程解决增长率（降低率）、数字、面积/周长、勾股等实际问题；体会方程模型刻画现实世界数量关系的作用。 二、知识梳理 知识点 1 　实际问题与一元二次方程的一般步骤 审题：明确已知量、未知量及所求量，理清数量关系。 设元：设直接未知数（一般为所求量），注意单位。 列方程：抓住等量关系，列出一元二次方程。 解方程：选择合适方法（直接开平/配/公式/因式分解）求解。 检验与作答：①检验根是否满足实际意义（正数、整数、是否在定义域内等）；②写出完整答案。 ★ 重点　五步走：①审题（明已知/未知/所求）→ ②设元（设所求量为 x）→ ③列方程（找等量关系）→ ④解方程（配/公式/因式）→ ⑤检验与作答（检验实际意义）。 ⚠ 易错　列方程后未化"一般式"或未把右边化为 0 就用因式分解法；解出根后未代入实际背景检验（负数、超界、非整等）。 ◆ 方法　列方程的关键是找等量关系：把未知量用 x 表示后，其余量用含 x 的代数式表达，再列等式。 知识点2 　常见类型题及公式 常见类型：增长率问题、数字问题、面积/体积问题、销售利润问题、传播/循环问题。 1.面积/体积问题：对应图形相应的面积公式和体积公式。 2.传染问题：传染总数=传染源+第一轮传染+……+最后一轮传染。注意每一轮传染后是所有人作为下一次的传染源（例如：若传染源为1人，每轮传染中1人传染x人，则n轮后患病人） 3.增长率问题：增长率：原量 × (1 + x)ⁿ = 增长后量；两年增长 (1+x)²。降低率：原量 × (1 - x)² = 降低后量。没有具体原量可用单位1。 4.数字问题：两位数=个位数字+十位数字×10；三位数=个位数字+十位数字×10+百位数字×100；以此类推 5.销售利润问题：利润=售价－进价；利润率=利润/进价×100%；售价=进价×（1+利润率） 6.比赛/握手问题：n支队伍（人）共有（双循环）；n支队伍（人）共有（单循环） 三、典例精析 题型 1 　面积/体积问题　 1．（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 【分析】设出垂直住房墙一边长，再利用建造的围墙与门的总长为（32+2）m，用建造的围墙与门的总长减去两条垂直住房墙的边长，最后根据矩形面积公式列式求解． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm， 由题意得x（32﹣2x+2）＝140， 解得x1＝7，x2＝10， 当x＝7时，32﹣2x+2＝20＞18（舍去）， 当x＝10时，32﹣2x+2＝14＜18， 答：所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 2．（2026春•亳州期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为30m，停车场内车道的宽都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为704m2．求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为8m． 【分析】设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可组合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的长方形，根据停车位（图中阴影部分）的占地面积为704m2列出一元二次方程并解方程即可． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可组合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的长方形， 根据题意得：（40﹣x）（30﹣x）＝704， 整理得：x2﹣70x+496＝0， 解得：x1＝8，x2＝62（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为8m． 3．（2026春•乳山市期末）园林部门准备在一块长25米、宽20米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为440平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米． 【分析】设小路的宽度为x米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设小路的宽度为x米， ∴25×20﹣（25﹣5x）x﹣（20﹣5x）x﹣（5x）2＝440． 500﹣25x﹣5x2﹣20x+5x2﹣25x2＝440， 解得x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍）． 答：小路的宽度为1米． 题型 2 　销售利润问题　 1．（2026•盂县模拟）红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元/kg，当购买红薯的质量超过250kg时，每多购买25kg，红薯的单价降低0.2元/kg，但要求红薯的单价不低于2元/kg．已知某零售商购买红薯的质量超过了300kg，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【答案】该零售商购买红薯的质量为350kg． 【分析】设该零售商购买红薯的质量为（250+y）kg，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【解答】解：设该零售商购买红薯的质量为（250+y）kg． ． 解得y1＝25，y2＝100． 当y＝100时，250+y＝350＞300，且． 当y＝25时，250+y＝275＜300，舍去． 答：该零售商购买红薯的质量为350kg． 2．（2026•武威二模）某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【答案】每个玩具应降价12元． 【分析】设出降价金额后，分别表示出降价后单个玩具的利润和每天的销售量，根据总盈利等于单个利润乘以销售量建立方程求解，再结合“尽快减少库存”的要求对所得的解进行取舍即可． 【解答】解：设每个玩具应降价x元，则降价后每个玩具的利润为（70﹣x﹣40）元，平均每天的销售量为个， 得：， 解得：x＝12或x＝6， 由题意可得：x＝12， 答：每个玩具应降价12元． 3．（2025秋•长安区校级期末）2025年是新疆维吾尔自治区成立70周年，某网络经销商销售以成立70周年为主题的文创品，平均每天可售出40件，每天盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价x元，则每件文创的利润为　 　 元，平均每天销售数量为　 　 件；（用含x的代数式表示） （2）若该经销商每天获得利润1200元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）（30﹣x）；（40+2x）．（2）每件商品应降价10元． 【分析】（1）利用每件衬衫的利润＝原利润﹣每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量＝40+4×每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天的销售量； （2）利用该经销商每天销售文创获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件文创的利润为（30﹣x）元，平均每天的销售量为（40+2x）件． 故答案为：（30﹣x）；（40+2x）． （2）依题意得：（30﹣x）（40+2x）＝1200， 解得：x1＝0，x2＝10， 又∵要尽快减少库存、增加盈利， ∴x＝10． 答：每件商品应降价10元． 题型 3 　增长率问题　 1．（2026•太和县模拟）某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率． 【答案】32% 【分析】根据增长后的游客人数＝增长前的游客人数×（1+增长率），设5月、6月游客人数的平均增长率是x，根据今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，据此即可列方程解出即可． 【解答】解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有 （1+x）2＝（1+44%）×（1+21%）， 解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（应舍去）． 答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%． 2．（2025秋•长春期末）随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行.2025年6月，某无人配送站订单量为12万单，通过技术优化与路线调整，8月订单量增长至14.52万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 【答案】10%． 【分析】设该配送站的月平均增长率为x，利用该配送站8月订单量＝该配送站6月订单量×（1+该配送站的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该配送站的月平均增长率为x， 根据题意得：12（1+x）2＝14.52， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该配送站的月平均增长率为10%． 3．（2025秋•梅里斯区期末）某商品经过两次涨价，每件零售价由10元涨为14.4元，求平均每次涨价的百分率． 【答案】20%． 【分析】设平均每次涨价的百分率为x，利用该商品经过两次涨价后的价格＝原售价×（1+平均每次涨价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设平均每次涨价的百分率为x， 根据题意得：10（1+x）2＝14.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：平均每次涨价的百分率为20%． 题型 4 　比赛问题（单双循环）　 1．（2026•曹妃甸区一模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】比赛组织者应邀请10个队参赛． 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为9×5＝45场，再设邀请x个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【解答】解：根据题意总比赛场数为9×5＝45 场，设比赛组织者应邀请x个队参赛， ∵参赛的每两个队之间都要比赛一场， ∴比赛总场数为，由此可得方程：， 解得x1＝10，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）， ∴比赛组织者应邀请10个队参赛． 答：比赛组织者应邀请10个队参赛． 2．（2026春•鼓楼区校级期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】6． 【分析】设应邀请x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），15，求解即可． 【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛， 根据题意得， 解得x1＝6，x2＝﹣5 （舍去）， 答：邀请6支球队参加比赛． 3．（2026•城关区模拟）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，求参加此次比赛的球队数． 【答案】9支． 【分析】设共有x支球队参加此次比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设共有x支球队参加此次比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：共有9支球队参加此次比赛． 题型 5 　传染问题　 1．（2025秋•江北区校级期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝81 B．1+x+x（1+x）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x+x（1+x）＝81 【答案】B 【分析】初始有1人患流感，每轮传染中平均一个人传染x人，经过两轮传染后总人数为81，据此列方程． 【解答】解：设每轮传染中平均一人传染x人． ∵初始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：1+x， 第二轮新增患病人数为：x（1+x）， ∴1+x+x（1+x）＝81．即列方程为1+x+x（1+x）＝81， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 2．（2025秋•宝安区期中）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝121 B．1+x+x（1+x）＝121 C．1+x+x2＝121 D．x+x（1+x）＝121 【答案】B 【分析】根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：1+x+x（1+x）＝121； 故选：B． 3．（2025秋•锡山区校级月考）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等，若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝100 B．x+x（1+x）＝100 C．1+x+x2＝100 D．1+x+x（1+x）＝100 【答案】D 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有x（1+x）个人被感染，根据经过两轮传染后共有100个人患了流感，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有x（1+x）个人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝100． 故选：D． 题型 6 　数字问题 1．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为 　 ，最大的数可用x表示为 　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】（1）x+8；x+16；（2）144． 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案； （2）设最小数为x，最大数为x+16，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7， ∴中间的数可用x表示为x+1+7＝x+8， 最大的数可用x表示为x+2+14＝x+16； 故答案为：x+8；x+16； （2）设最小数为x，最大数为x+16， 根据题意可列一元二次方程：x（x+16）＝192， 解得x＝8或x＝﹣24（不符合题意，舍去）， ∴最小数为8，最大数为8+16＝24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 2．（2025秋•临渭区月考）小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程 ． 【答案】x2＝10（x﹣3）+x． 【分析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，年龄可表示为10（x﹣3）+x，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【解答】解：根据个位数字的平方等于年龄可列方程为：x2＝10（x﹣3）+x； 故答案为：x2＝10（x﹣3）+x． 3．（2026•金平县模拟）“顾曲周郎今已矣，满江南、谁是知音客”．关于周瑜的寿数问题，有诗云“而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”诗歌大意为：周瑜三十岁就当了东吴的大都督，可惜英年早逝，他去世的时候年龄为两位数，这个数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设周瑜逝世时年龄的个位数字为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10x+（x+3）＝x2 C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝x2 【答案】C 【分析】根据这个数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：10（x﹣3）+x＝x2， 故选：C． 四、同步练习 1．（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB＝x，则可列方程为（　　） A．（34﹣3x）x＝96 B．（32﹣3x）x＝96 C．（36﹣3x）x＝96 D． 【答案】D 【分析】设AB＝x米，则BC（36﹣3x）米，根据两个鸡场的总面积为96平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设AB＝x米，则BC（34+2﹣3x）（36﹣3x）米， 根据题意得：（36﹣3x）x＝96． 故选：D． 2．（2026春•陇南月考）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】C 【分析】将已知的下落距离h和重力加速度g代入给定公式，解关于t的方程，结合时间为正数即可得到结果． 【解答】解：由题意，h＝125m，g＝10m/s2，代入公式得， ， 化简得125＝5t2， 整理得t2＝25， ∵时间t为正数， ∴t＝5， 答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒， 故选：C． 3．（2026春•池州期末）随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的81%．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（　　） A．10% B．19% C．20% D．21% 【答案】A 【分析】用一元二次方程求解即可，设第一季度成本为单位1，设下降百分率为x，根据题意列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【解答】解：设每个季度的下降百分率为x，设第一季度制造成本为单位1， ∵从第一季度到第三季度共经过2个季度，且第三季度制造成本为第一季度的81%， ∴（1﹣x）2＝81%， 开方得1﹣x＝±0.9， ∵下降率满足0＜x＜1， ∴取正根得1﹣x＝0.9， 解得x＝0.1＝10%， 故选：A． 4．（2026•湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 【答案】A 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：n（n﹣1）＝136． 故选：A． 5．（2026春•成武县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的（　　） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，求得CP，CQ的长，进而求得S△CPQ，根据△PCQ的面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝4cm，∠C＝90°， ∴， 依题意，CP＝t，CQ＝AC﹣2t＝8﹣2t， ∴． ∵△PCQ的面积是△ABC面积的， ∴， 解得t1＝t2＝2． 答：当t＝2s时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 故选：B． 6．（2026春•岑溪市期末）如表是小明输入某AI软件的对话，AI软件在思考几秒后，给出的正确答案是（　　） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（　　） A．45% B．50% C．55% D．60% 【答案】B 【分析】设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为x，利用该企业2025年芯片销售总额＝该企业2023年芯片销售总额×（1+该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为x， 根据题意得：36（1+x）2＝81， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）， 即该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为50%． 故选：B． 7．（2026春•博山区期末）某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　 ． 【答案】20%． 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为m，根据题意列方程得： 500（1﹣m）2＝320， 解得m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（舍去）， 故答案为：20%． 8．（2025秋•洪洞县月考）为鼓舞学生的学习干劲，班主任要求班上每一位同学要给同小组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了72份留言，则该小组共有学生　 　 人． 【答案】9． 【分析】设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份拼搏进取的留言，根据小明所在的小组共写了72份留言，即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可． 【解答】解：设该小组共有x人，则每人需写（x﹣1）份留言， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 解得：x1＝﹣8（不符合题意），x2＝9， 故答案为：9． 9．（2025秋•鹤山市校级月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则可列方程：　 　 ． 【答案】1+x+x2＝91． 【分析】设每个支干长出x个小分支，则共长出x2个小分支，根据主干、支干、小分支的总数是91，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则共长出x2个小分支， 根据题意得：1+x+x2＝91． 故答案为：1+x+x2＝91． 10．（2026春•沙坪坝区校级期末）某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为　 　 ． 【答案】20%． 【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为50（1+x）万元，三月份的产值为50（1+x）2，进而列出方程求解即可． 【解答】解：设这两个月产值的月平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得，50（1+x）2＝72， 整理得，50x2+100x﹣22＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：x值为20%， 故答案为：20%． 11．（2026春•启东市期末）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　 　 ． 【答案】20%． 【分析】设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原售价×（1﹣降价的百分率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：25（1﹣x）2＝16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为20%， 故答案为：20%． 12．（2026春•相山区校级月考）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人． 【分析】设每轮传染中平均每人传染x人，根据题意列出一元二次方程求解． 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，根据题意得， （x+1）2＝169 解得x1＝12，x2＝﹣14（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有4+4×12＝52（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 13．（2026春•仓山区校级期末）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 【答案】应邀请6支球队参加比赛． 【分析】设应邀请x支球队参加比赛，根据赛制为单循环比赛形式，计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛， 依题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：应邀请6支球队参加比赛． 14．（2026•昂仁县三模）列方程（组）解应用题： 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价50元，售价65元，每天可售出300盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价1元，每天销量将增加10盒，若要实现每天销售利润3500元，则每盒应降价多少元销售？ 【答案】每盒应降价5元销售． 【分析】设每盒降价x元，则每盒利润为（15﹣x）元，每天销量为（300+10x）盒．根据“每天销售利润＝单盒利润×日销量”列方程求解，注意检验解的合理性． 【解答】解：设每盒降价x元，则每盒售价为（65﹣x）元，每盒利润为（65﹣x）﹣50＝（15﹣x）元，每天销量为（300+10x）盒， 由题意得：（15﹣x）（300+10x）＝3500， 解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意舍去）， 答：每盒应降价5元销售． 15．（2025秋•南关区校级期中）我校全方位推进“书香校园”建设，让书香浸润师生心灵，点亮成长之路．我校一楼图书公共阅览区域已正式开放，经统计，截止到今年（2025年）10月，我校共有图书5000册，预计到2027年10月，图书数量将增加到7200册．已知每年图书数量增加的百分率相同，求我校每年图书数量增加的百分率． 【答案】我校每年图书数量增加的百分率为20%． 【分析】设我校每年图书数量增加的百分率为x，根据平均增长率的等量关系a（1+x）2＝b，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设每年图书数量增加的百分率为x，根据题意可得： 5000（1+x）2＝7200， （1+x）2， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）； 答：我校每年图书数量增加的百分率为20%． 16．（2026春•下城区期中）杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的　 　 折出售． 【答案】（1）20%；（2）①1元或9元；②八． 【分析】（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x，利用该专卖店春笋干货5月份的销售量＝该专卖店春笋干货3月份的销售量×（1+该专卖店春笋干货销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干的销售利润为（45﹣25﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克，利用总利润＝每千克春笋干的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论； ②由要尽可能让利于顾客，可确定y的值，再将其代入10中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x， 根据题意得：2500（1+x）2＝3600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20%； （2）①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干的销售利润为（45﹣25﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克， 根据题意得：（45﹣25﹣y）（100+10y）＝2090， 整理得：y2﹣10y+9＝0， 解得：y1＝1，y2＝9． 答：每千克春笋干货应降价1元或9元； ②∵要尽可能让利于顾客， ∴y＝9， ∴1010＝8， ∴应按原售价的八折出售． 故答案为：八． 17．（2026春•瑶海区校级期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【答案】（1）10%；（2）每件应降价36元． 【分析】（1）若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，据此列方程求解即可． （2）设每件应降价y元，则每天可售出（30+2y）件，根据销售额＝售价×总数量列方程求解，由于要回馈顾客并减少库存，降价较多的解即为答案． 【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得100（1﹣x）2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9 （不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%． （2）设每件应降价y元， 依题意，得（81﹣y）（30+2y）＝4590， 解得y1＝36，y2＝30． ∵由题意可得：要尽快减少库存， ∴y＝36， 答：每件应降价36元． 18．（2026春•双流区校级期中）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 【答案】（1）每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 【分析】（1）设每个A种挂件的价格是x元，则每个B种挂件的价格是x元，利用数量＝总价÷单价，结合用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每个A种挂件的价格），再将其代入x中，即可求出每个B种挂件的价格； （2）存在，设当天A种挂件的销售单价为y元/个，则平均每天可售出（60﹣4y）个，利用销售总额＝销售单价×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合销售单价不得低于8元，即可确定结论． 【解答】解：（1）设每个A种挂件的价格是x元，则每个B种挂件的价格是x元， 根据题意得：10， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意， ∴x12＝9（元）． 答：每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在，设当天A种挂件的销售单价为y元/个，则平均每天可售出12+4（12﹣y）＝（60﹣4y）个， 根据题意得：y（60﹣4y）＝216， 整理得：y2﹣15y+54＝0， 解得：y1＝6，y2＝9， ∵销售单价不得低于8元， ∴y＝9． 答：存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 19．（2026春•长武县校级期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）不能围成面积为60平方米的车棚． 【分析】（1）根据题意，求出自行车车棚的长和宽即可； （2）不能围成面积为60平方米的车棚，据此说明理由即可． 【解答】解：（1）解：设AD为x米，则AB为米， 由题可得：， 解得x1＝12，x2＝9， ∵12＞10， ∴x1＝12（舍去）， ∴x＝9，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设AD为x米，则AB为米， 由题可得：， 整理得x2﹣21x+120＝0， ∵Δ＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 20．（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）该品牌头盔的实际售价应定为60元． 【分析】（1）设月增长率为x，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为y元，根据“总利润＝单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得： 500（1+x）2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意可得： （y﹣40）[500﹣10（y﹣50）]＝8000， 整理得y2﹣140y+4800＝0， 解得y1＝60，y2＝80， 根据题意舍去y＝80， 所以y＝60， 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 25.3 实际问题与一元二次方程 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】能根据具体问题的实际意义，经历"审题→设元→列方程→解方程→检验作答"五步，用一元二次方程解决增长率（降低率）、数字、面积/周长、勾股等实际问题；体会方程模型刻画现实世界数量关系的作用。 二、知识梳理 知识点 1 　实际问题与一元二次方程的一般步骤 审题：明确已知量、未知量及所求量，理清数量关系。 设元：设直接未知数（一般为所求量），注意单位。 列方程：抓住等量关系，列出一元二次方程。 解方程：选择合适方法（直接开平/配/公式/因式分解）求解。 检验与作答：①检验根是否满足实际意义（正数、整数、是否在定义域内等）；②写出完整答案。 ★ 重点　五步走：①审题（明已知/未知/所求）→ ②设元（设所求量为 x）→ ③列方程（找等量关系）→ ④解方程（配/公式/因式）→ ⑤检验与作答（检验实际意义）。 ⚠ 易错　列方程后未化"一般式"或未把右边化为 0 就用因式分解法；解出根后未代入实际背景检验（负数、超界、非整等）。 ◆ 方法　列方程的关键是找等量关系：把未知量用 x 表示后，其余量用含 x 的代数式表达，再列等式。 知识点2 　常见类型题及公式 常见类型：增长率问题、数字问题、面积/体积问题、销售利润问题、传播/循环问题。 1.面积/体积问题：对应图形相应的面积公式和体积公式。 2.传染问题：传染总数=传染源+第一轮传染+……+最后一轮传染。注意每一轮传染后是所有人作为下一次的传染源（例如：若传染源为1人，每轮传染中1人传染x人，则n轮后患病人） 3.增长率问题：增长率：原量 × (1 + x)ⁿ = 增长后量；两年增长 (1+x)²。降低率：原量 × (1 - x)² = 降低后量。没有具体原量可用单位1。 4.数字问题：两位数=个位数字+十位数字×10；三位数=个位数字+十位数字×10+百位数字×100；以此类推 5.销售利润问题：利润=售价－进价；利润率=利润/进价×100%；售价=进价×（1+利润率） 6.比赛/握手问题：n支队伍（人）共有（双循环）；n支队伍（人）共有（单循环） 三、典例精析 题型 1 　面积/体积问题　 1．（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 【分析】设出垂直住房墙一边长，再利用建造的围墙与门的总长为（32+2）m，用建造的围墙与门的总长减去两条垂直住房墙的边长，最后根据矩形面积公式列式求解． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm， 由题意得x（32﹣2x+2）＝140， 解得x1＝7，x2＝10， 当x＝7时，32﹣2x+2＝20＞18（舍去）， 当x＝10时，32﹣2x+2＝14＜18， 答：所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 2．（2026春•亳州期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为30m，停车场内车道的宽都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为704m2．求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为8m． 【分析】设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可组合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的长方形，根据停车位（图中阴影部分）的占地面积为704m2列出一元二次方程并解方程即可． 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm，则停车位可组合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的长方形， 根据题意得：（40﹣x）（30﹣x）＝704， 整理得：x2﹣70x+496＝0， 解得：x1＝8，x2＝62（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为8m． 3．（2026春•乳山市期末）园林部门准备在一块长25米、宽20米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为440平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米． 【分析】设小路的宽度为x米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设小路的宽度为x米， ∴25×20﹣（25﹣5x）x﹣（20﹣5x）x﹣（5x）2＝440． 500﹣25x﹣5x2﹣20x+5x2﹣25x2＝440， 解得x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍）． 答：小路的宽度为1米． 题型 2 　销售利润问题　 1．（2026•盂县模拟）红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元/kg，当购买红薯的质量超过250kg时，每多购买25kg，红薯的单价降低0.2元/kg，但要求红薯的单价不低于2元/kg．已知某零售商购买红薯的质量超过了300kg，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【答案】该零售商购买红薯的质量为350kg． 【分析】设该零售商购买红薯的质量为（250+y）kg，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【解答】解：设该零售商购买红薯的质量为（250+y）kg． ． 解得y1＝25，y2＝100． 当y＝100时，250+y＝350＞300，且． 当y＝25时，250+y＝275＜300，舍去． 答：该零售商购买红薯的质量为350kg． 2．（2026•武威二模）某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【答案】每个玩具应降价12元． 【分析】设出降价金额后，分别表示出降价后单个玩具的利润和每天的销售量，根据总盈利等于单个利润乘以销售量建立方程求解，再结合“尽快减少库存”的要求对所得的解进行取舍即可． 【解答】解：设每个玩具应降价x元，则降价后每个玩具的利润为（70﹣x﹣40）元，平均每天的销售量为个， 得：， 解得：x＝12或x＝6， 由题意可得：x＝12， 答：每个玩具应降价12元． 3．（2025秋•长安区校级期末）2025年是新疆维吾尔自治区成立70周年，某网络经销商销售以成立70周年为主题的文创品，平均每天可售出40件，每天盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价x元，则每件文创的利润为　 　 元，平均每天销售数量为　 　 件；（用含x的代数式表示） （2）若该经销商每天获得利润1200元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）（30﹣x）；（40+2x）．（2）每件商品应降价10元． 【分析】（1）利用每件衬衫的利润＝原利润﹣每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后每件衬衫的利润；利用平均每天的销售量＝40+4×每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天的销售量； （2）利用该经销商每天销售文创获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存、增加盈利，即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件文创的利润为（30﹣x）元，平均每天的销售量为（40+2x）件． 故答案为：（30﹣x）；（40+2x）． （2）依题意得：（30﹣x）（40+2x）＝1200， 解得：x1＝0，x2＝10， 又∵要尽快减少库存、增加盈利， ∴x＝10． 答：每件商品应降价10元． 题型 3 　增长率问题　 1．（2026•太和县模拟）某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率． 【答案】32% 【分析】根据增长后的游客人数＝增长前的游客人数×（1+增长率），设5月、6月游客人数的平均增长率是x，根据今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，据此即可列方程解出即可． 【解答】解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有 （1+x）2＝（1+44%）×（1+21%）， 解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（应舍去）． 答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%． 2．（2025秋•长春期末）随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行.2025年6月，某无人配送站订单量为12万单，通过技术优化与路线调整，8月订单量增长至14.52万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 【答案】10%． 【分析】设该配送站的月平均增长率为x，利用该配送站8月订单量＝该配送站6月订单量×（1+该配送站的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该配送站的月平均增长率为x， 根据题意得：12（1+x）2＝14.52， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该配送站的月平均增长率为10%． 3．（2025秋•梅里斯区期末）某商品经过两次涨价，每件零售价由10元涨为14.4元，求平均每次涨价的百分率． 【答案】20%． 【分析】设平均每次涨价的百分率为x，利用该商品经过两次涨价后的价格＝原售价×（1+平均每次涨价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设平均每次涨价的百分率为x， 根据题意得：10（1+x）2＝14.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：平均每次涨价的百分率为20%． 题型 4 　比赛问题（单双循环）　 1．（2026•曹妃甸区一模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】比赛组织者应邀请10个队参赛． 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为9×5＝45场，再设邀请x个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【解答】解：根据题意总比赛场数为9×5＝45 场，设比赛组织者应邀请x个队参赛， ∵参赛的每两个队之间都要比赛一场， ∴比赛总场数为，由此可得方程：， 解得x1＝10，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）， ∴比赛组织者应邀请10个队参赛． 答：比赛组织者应邀请10个队参赛． 2．（2026春•鼓楼区校级期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】6． 【分析】设应邀请x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），15，求解即可． 【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛， 根据题意得， 解得x1＝6，x2＝﹣5 （舍去）， 答：邀请6支球队参加比赛． 3．（2026•城关区模拟）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，求参加此次比赛的球队数． 【答案】9支． 【分析】设共有x支球队参加此次比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设共有x支球队参加此次比赛， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：共有9支球队参加此次比赛． 题型 5 　传染问题　 1．（2025秋•江北区校级期末）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝81 B．1+x+x（1+x）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x+x（1+x）＝81 【答案】B 【分析】初始有1人患流感，每轮传染中平均一个人传染x人，经过两轮传染后总人数为81，据此列方程． 【解答】解：设每轮传染中平均一人传染x人． ∵初始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：1+x， 第二轮新增患病人数为：x（1+x）， ∴1+x+x（1+x）＝81．即列方程为1+x+x（1+x）＝81， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 2．（2025秋•宝安区期中）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝121 B．1+x+x（1+x）＝121 C．1+x+x2＝121 D．x+x（1+x）＝121 【答案】B 【分析】根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：1+x+x（1+x）＝121； 故选：B． 3．（2025秋•锡山区校级月考）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等，若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有100个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　） A．x（1+x）＝100 B．x+x（1+x）＝100 C．1+x+x2＝100 D．1+x+x（1+x）＝100 【答案】D 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有x（1+x）个人被感染，根据经过两轮传染后共有100个人患了流感，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有x（1+x）个人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝100． 故选：D． 题型 6 　数字问题 1．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为 　 ，最大的数可用x表示为 　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】（1）x+8；x+16；（2）144． 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案； （2）设最小数为x，最大数为x+16，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7， ∴中间的数可用x表示为x+1+7＝x+8， 最大的数可用x表示为x+2+14＝x+16； 故答案为：x+8；x+16； （2）设最小数为x，最大数为x+16， 根据题意可列一元二次方程：x（x+16）＝192， 解得x＝8或x＝﹣24（不符合题意，舍去）， ∴最小数为8，最大数为8+16＝24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 2．（2025秋•临渭区月考）小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇•赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程 ． 【答案】x2＝10（x﹣3）+x． 【分析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，年龄可表示为10（x﹣3）+x，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【解答】解：根据个位数字的平方等于年龄可列方程为：x2＝10（x﹣3）+x； 故答案为：x2＝10（x﹣3）+x． 3．（2026•金平县模拟）“顾曲周郎今已矣，满江南、谁是知音客”．关于周瑜的寿数问题，有诗云“而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”诗歌大意为：周瑜三十岁就当了东吴的大都督，可惜英年早逝，他去世的时候年龄为两位数，这个数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设周瑜逝世时年龄的个位数字为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10x+（x+3）＝x2 C．10（x﹣3）+x＝x2 D．10（x+3）+x＝x2 【答案】C 【分析】根据这个数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数，列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：10（x﹣3）+x＝x2， 故选：C． 四、同步练习 1．（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB＝x，则可列方程为（　　） A．（34﹣3x）x＝96 B．（32﹣3x）x＝96 C．（36﹣3x）x＝96 D． 2．（2026春•陇南月考）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 3．（2026春•池州期末）随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的81%．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（　　） A．10% B．19% C．20% D．21% 4．（2026•湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 5．（2026春•成武县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的（　　） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 6．（2026春•岑溪市期末）如表是小明输入某AI软件的对话，AI软件在思考几秒后，给出的正确答案是（　　） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（　　） A．45% B．50% C．55% D．60% 7．（2026春•博山区期末）某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率m的值为　 　 ． 8．（2025秋•洪洞县月考）为鼓舞学生的学习干劲，班主任要求班上每一位同学要给同小组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了72份留言，则该小组共有学生　 　 人． 9．（2025秋•鹤山市校级月考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则可列方程：　 　 ． 10．（2026春•沙坪坝区校级期末）某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为　 　 ． 11．（2026春•启东市期末）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　 　 ． 12．（2026春•相山区校级月考）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 13．（2026春•仓山区校级期末）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 14．（2026•昂仁县三模）列方程（组）解应用题： 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价50元，售价65元，每天可售出300盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价1元，每天销量将增加10盒，若要实现每天销售利润3500元，则每盒应降价多少元销售？ 15．（2025秋•南关区校级期中）我校全方位推进“书香校园”建设，让书香浸润师生心灵，点亮成长之路．我校一楼图书公共阅览区域已正式开放，经统计，截止到今年（2025年）10月，我校共有图书5000册，预计到2027年10月，图书数量将增加到7200册．已知每年图书数量增加的百分率相同，求我校每年图书数量增加的百分率． 16．（2026春•下城区期中）杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的　 　 折出售． 17．（2026春•瑶海区校级期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 18．（2026春•双流区校级期中）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 19．（2026春•长武县校级期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 20．（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $