25.3 【一元二次方程的实际应用】专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“知识梳理-典例分析-综合训练”为框架，系统构建一元二次方程实际应用的方法体系与问题解决逻辑，突出模型意识与应用能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4模块|总结解应用题步骤（审设列解验）及6类问题等量关系|从方程概念、解法到应用步骤，形成“概念-解法-应用”逻辑链| |典例分析|6题型（1例+变式）|各题型方法点拨（如增长率公式、面积平移法）|题型与方法对应，以题载法，强化解题策略迁移| |综合训练|16题（基础10+能力4+拓展2）|分层巩固，融合实际情境|从基础应用到综合探究，培养运算能力与模型意识|

九年级上册一元二次方程的实际应用专题练习 第一部分 知识梳理 一、一元二次方程的标准形式 一元二次方程的一般形式为： 其中，为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 二、一元二次方程的解法 1.直接开平方法：适用于型方程，直接开平方得. 2.配方法：将方程化为的形式，再开平方求解. 3.公式法：对于，判别式： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根. 4.因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为零求解. 三、列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容 说明 审 审清题意 明确已知量与未知量，找出等量关系 设 设未知数 可直接设元，也可间接设元 列 列方程 根据等量关系列出方程 解 解方程 选择适当方法求解 验 检验作答 检验根是否符合方程和实际意义 四、实际应用中的常见类型与等量关系 类型 核心等量关系 增长率/降低率问题 两次增长（或降低）后的量为或 利润问题 利润=单件利润×销售量；总利润=总收入-总成本 面积问题 几何图形面积公式，常涉及平移、割补法 传播问题 初始1人每轮传播人，轮后总人数为 握手/比赛问题 单循环：=总场次；双循环：=总场次 动点问题 利用勾股定理或面积公式建立方程 第二部分 典例分析与变式训练 题型一：增长率与降低率问题 方法点拨：此类问题常涉及“两次增长（或降低）”，设初始值为，平均增长（降低）率为，则两次增长后为（或）.注意结果要检验是否符合实际意义. 例1 某工厂今年1月份的产值为50万元，3月份的产值上升到72万元.若这两个月产值的月平均增长率相同，求月平均增长率. 解：设月平均增长率为. 由题意，1月到3月经过了两次增长，根据增长率公式： 解得，（负数，不符合实际，舍去）. 答：月平均增长率为. 变式1 云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．2025年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设2023年该企业光伏产品全年销量为150万台，2025年该企业光伏产品全年销量为216万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．150（1+2x）＝216 B．150（1+2x）2＝216 C．150（1+x）2＝216 D．150（1+x2）＝216 变式2 某光伏企业的生产线经过两次技术升级，使得同规格光伏板的成本价从每块625元，下降到每块400元，若每次升级后成本下降的百分率相同，求每次降价的百分率. 题型二：利润问题 方法点拨：利润问题常涉及“涨价”或“降价”对销售量的影响.关键量包括：进价、售价、单件利润、销售量、总利润.通常设涨价（或降价）元，根据“总利润=单件利润×销售量”列方程，注意取值范围. 例2 某商场以每件40元的价格购进一批衬衫，以每件60元出售，每天可售出100件.经市场调查发现，每件衬衫每降价1元，每天可多售出5件.若商场希望每天获得1875元的利润，则每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价元，则售价为元，单件利润为元，销售量为件. 由题意得： 展开得： 或（舍去） 经检验，符合题意，且，满足条件. 答：每件衬衫应降价5元. 变式3 昆明市公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 题型三：面积问题 方法点拨：面积问题通常利用几何图形的面积公式建立方程，常见形式有：修路（小径）问题、围栏问题、边框问题等.常用方法是将图形平移、分割或补全，转化为规则图形面积计算. 例3 如图，在一块长为30米、宽为18米的矩形空地上，修建三条同样宽的道路（两条纵向、一条横向，且横向与纵向互相垂直），剩余部分种植草坪.若草坪面积为416平方米，求道路的宽度. 解：设道路的宽度为米.将三条道路平移至边缘，剩余草坪可看作一个矩形，其长为米，宽为米. 由题意得： （舍去，大于原宽）， 经检验，米符合题意. 答：道路的宽度为2米. 变式4 实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 变式5 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制作一个矩形工艺品，该工艺品的长为120cm，宽为80cm．若该工艺品中间风景画的面积为7700cm2，求白色画框的宽度是多少？ 题型四：传播问题 方法点拨：传播问题的核心是“每轮传播中，每个感染者会传染给一定数量的人”.设初始有1人，每轮每人传染人，则： 第1轮后总人数为 第2轮后总人数为 第轮后总人数为 例4 某种流感病毒传播速度极快，开始有1人感染，经过两轮传播后，共有121人感染.求每轮传播中平均一个人传染了多少人？ 解：设每轮传播中平均一个人传染了人. 第一轮后感染者总数为人 第二轮后，总感染者数为人 由题意得： 经检验，符合题意. 答：每轮传播中平均一个人传染了10人. 变式6 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝36 B．1+x（x+1）＝36 C．x+x2＝36 D．1+x+x（x+1）＝36 题型五：握手（比赛）问题 方法点拨： 单循环赛：每两队之间赛一场，个队的总场次为 双循环赛：每两队之间赛两场（主客场），个队的总场次为 握手问题：个人每两人握手一次，总握手次数为 例5 某校九年级举行篮球单循环赛（每两队之间比赛一场），共进行了28场比赛.求有多少支球队参赛？ 解：设有支球队参赛.单循环赛场次为，由题意得： 经检验，符合题意. 答：有8支球队参赛. 变式7 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（　　） A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182 C． D． 题型六：动点问题 方法点拨：动点问题通常设运动时间为，用含的代数式表示各线段的长度，再根据面积公式、勾股定理或线段和差关系列方程.注意的取值范围（且不超过运动总时间）. 例6 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的. 解：∵AC＝8cm，BC＝4cm，∠C＝90°， ∴， 依题意，CP＝t，CQ＝AC﹣2t＝8﹣2t， ∴． ∵△PCQ的面积是△ABC面积的， ∴， 解得t1＝t2＝2． 答：当t＝2s时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 变式8 如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，求运动时间． 第三部分 综合训练 一、基础训练 1．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，则平均每次下降的百分率是（　　） A．20% B．25% C．30% D．40% 2．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”以恒定速度完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为24km/h，经过两次速度调整后，速度提升至48.4km/h．设这两次调整中，速度的平均增长率为x．根据题意列出方程，正确的是（　　） A．24（1+x2）＝48.4 B．48.4（1+x）2＝24 C．24（1+x）+24（1+x）2＝48.4 D．24（1+x）2＝48.4 3．一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 4．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，则下列方程正确的是（　　） A．20（32﹣x）＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）＝540 C．32（20﹣x）＝540 D．（32﹣2x）（20﹣2x）＝540 二、能力提升 5．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．60（1+x）2＝285 B．60（1﹣x）2＝285 C．60（1+x）+60（1+x）2＝285 D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 6．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”题目大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？设矩形门宽为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+（x﹣6.8）2＝102 B．x2+（x+6.8）2＝102 C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝102 7．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（　　） A．（40﹣x）（70﹣x）＝700 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2100 C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝700 D．（40﹣x）（70﹣x）＝2100 8．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（　　） A．1+x+x（1+x）＝21 B．1+x+（1+x）2＝21 C．1+x+x2＝21 D．1+（1+x）+（1+x）2＝21 9．如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形纸板的四角剪去四个边长相等的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，做成一个无盖纸盒．若矩形ABCD的面积为150cm2，设剪去的小正方形边长为xcm，则列方程为（　　） A．（15﹣2 x）（20﹣x）＝150 B．（15﹣x）（20﹣x）＝150 C．（15﹣x）（20﹣2 x）＝150 D．（15﹣2 x）（20﹣2 x）＝150 10．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 11．如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）． （1）用含x的代数式表示BC的长． （2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长． 12．2026年，某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件．四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率； （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加40件，当商品降价多少元时，商场月获利6240元？ 13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 14．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数表达式； （2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元． 三、拓展探究 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）当△PBQ的面积为4cm2时，求t的值； （2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 16．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 声明：题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/14 20:58:42；用户：1818374378；邮箱：18183704378；学号：43037871 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 题型一：增长率与降低率问题 变式1 解：由题意可得， 150（1+x）2＝216， 故选：C． 变式2 解：设每次降价的百分率为x， ∵原价为每块625元，两次降价后价格为每块400元，每次降价百分率相同， ∴列方程得：625（1﹣x）2＝400， 整理得 ， ∵降价后1﹣x＞0， ∴开方得 ， 解得 x＝0.2＝20%， 答：每次降价的百分率为20%. 题型二：利润问题 变式3 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得： 500（1+x）2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意可得： （y﹣40）[500﹣10（y﹣50）]＝8000， 整理得y2﹣140y+4800＝0， 解得y1＝60，y2＝80， 根据题意舍去y＝80， 所以y＝60， 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 题型三：面积问题 变式4 解：可以，理由如下： 设AB＝x米， ∴x（32﹣2x）＝120， ∴x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，32﹣2x＝32﹣12＝20＞18，不符合题意，舍去， ∴x＝10，即AB＝10米． 变式5 解：设画框的宽度为xcm， 根据题意列一元二次方程可知， （120﹣2x）（80﹣2x）＝7700． 解得x1＝5，x2＝95． ∵120﹣2x＞0，且80﹣2x＞0，即0＜x＜40， ∴x＝5．x＝95舍去，不符合题意， 答：画框的宽度是5cm． 题型四：传播问题 变式6 解：根据题意，可列方程得： 1+x+x（x+1）＝36． 故选：D． 题型五：握手（比赛）问题 变式7 解：由题意得：x（x﹣1）＝182， 故选：B． 题型六：动点问题 变式8 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 答：当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 一、基础训练 1．解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：25（1﹣x）2＝9， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不合题意，舍去）． 故选：D． 2．解：由题意可得， 24（1+x）2＝48.4， 故选：D． 3．解：由题意，h＝125m，g＝10m/s2，代入公式得， ， 化简得125＝5t2， 整理得t2＝25， ∵时间t为正数， ∴t＝5， 答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒， 故选：C． 4．解：在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为540m2． 由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m， 则可列方程为（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故选：B． 二、能力提升 5．解：根据题意可得方程60+60（1+x）+60（1+x）2＝285， 故选：D． 6．解：由勾股定理得：x2+（x+6.8）2＝102， 故选：B． 7．解：根据题意得：， 整理得（40﹣2x）（70﹣3x）＝2100． 故选：B． 8．解：设主干长出x支支干， 由题意得：1+x+x2＝21， 故选：C． 9．解：根据题意得：（15﹣2 x）（20﹣2 x）＝150， 故选：D． 10．解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 11．解：（1）（32﹣4x）m． （2）由题意，得x（32﹣4x）＝3×16． 解得x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，32﹣4x＝24＞8，不合题意，舍去． 当x＝6时，32﹣4x＝8． 答：AB的长是6m． 12．解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， （1+x）2， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率为25%； （2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销量为（400+40m）件，根据题意可得： （40﹣m﹣25）（400+40m）＝6240， 整理得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m1＝2，m2＝3， 答：当商品降价2或3元时，商场获利6240元． 13．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8＝729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 14．解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b， 把（30，40），（40，30）代入得：， 解得：， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+70； （2）由题意得：（x﹣20）（﹣x+70）＝525， 整理得：x2﹣90x+1925＝0， 解得：x1＝35，x2＝55， ∵尽可能的让利于顾客， ∴x2＝55不符合题意，舍去， 答：该款文创产品每件的售价为35元． 三、拓展探究 15．解：（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm， 根据题意得：2t（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4．答：t的值为1或4； （2）连接DP，如图所示， 当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm， 根据题意得：DP2＝PQ2+DQ2， 即122+t2＝[（5﹣t）2+（2t）2]+[52+（12﹣2t）2]， 整理得：4t2﹣29t+25＝0， 解得：t1（不符合题意，舍去），t2＝1． 答：当PQ⊥DQ时，t的值为1． 16．解：如图， ①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②当面积等于5时，•（6﹣t）•t＝5． t2﹣6t+10＝0． ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 所以△PBQ的面积不能等于5cm2， 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $