25.3实际问题与一元二次方程-几何问题 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程的几何应用，通过15道实际情境题构建从图形分析到方程建模的逻辑链，强化模型意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形面积应用|15题|矩形/正方形/多边形面积问题，含分割、围建等情境|从图形要素抽象到代数式表示，依据面积关系建立方程，体现数学建模与运算能力|

1. 列方程解应用题： 如图是一块长为分米，宽为分米的艺术墙矩形区域，初二某同学在设计时想分区域表达自己的创意，于是在该区域内设计了一横二竖的等宽的彩条，要使彩条的面积是艺术墙矩形区域面积的 ，请问彩条的宽应是多少分米？ 2. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．(部分参考数据：，， ) 3. 要在一块长，宽的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图 所示 ，甬道宽度均为 ， 剩余的四 块绿地面积共 平方米 小颖设计的方案如图 所示 ， （ 1 ）求小亮设计方案中甬路的宽度． （ 2 ） 1 学科网（北京）股份有限公司 求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同） 4. 某小区有一块长，宽的长方形土地将要进行绿化，分别种植蝴蝶兰和金盏菊．已知蝴蝶兰和金盏菊的单位面积的费用之比为． （ 1 ）如图，将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴蝶兰，中间的小长方形种植金盏菊． 图 若，则，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为 ，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比为 ．1 怎样划分这块土地（，分别为多少），使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为 ？2 （ 2 ）为了使种植图案更加美观，进行如下设计：如图，土地正中宽度相等的水平小长方形和竖直小长方形（图中阴影部分）种植金盏菊，四角四个相同的小长方形都种植蝴蝶 兰，其余条件不变，当种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为时，四角的每个小长方形面积为 ． 图 5. 某校计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一个长方形花圃． 米米 通道 米 花圃 米 米 米 （ 1 ） 如图，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出此时通道的宽． （ 2 ）在（ ）中修建的长方形花圃中，要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范围． 6. 在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （ 1 ）小芳说，’我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度． 图 （ 2 ）小华说，’我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理 由． 图 图 7. 教育部联合共青团中央、全国少工委印发《关于加强中小学劳动教育的意见》．为了更好的落实文件精神，丰台区某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在基地，学生们进行了翻地整地、菜苗移植、认识蔬菜、制作香皂等活动．在参观牛舍的过程中，同学们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如下图所示，整个小牛舍区域是长 ，宽的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了照顾小牛方便，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路，如果每个小牛舍的面积是，请求出小路的宽．（设小路的宽为） 8. 如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长分米，宽分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． （ 1 ）若无盖方盒的底面积为平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形？ （ 2 ）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为元，底面每平方分米的防锈处理费用为元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费用为多少元？ 9. 回答下列问题： （ 1 ）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是的正方形的边长是，且 ．设，可画出如下示意图．由面积公式，可得． 略去，得方程 ． 解得 ，即 ． （ 2 ）仿照上述方法，利用的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 10. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度向终点做匀速运动，同时，点从点出发，以的速度向终点做匀速运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动． （ 1 ）设运动时间为秒，则，（用含的式子表示）． （ 2 ）经过多长时间，的面积为？ （ 3 ）在运动过程中，的面积能否等于？请说明理由． 11. 如图，中， ，，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动．，两点同时出发，运动时间为． （ 1 ）当为几秒时， 的面积是面积的 ？ （ 2 ） 的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． $ 1. 列方程解应用题： 如图是一块长为分米，宽为分米的艺术墙矩形区域，初二某同学在设计时想分区域表达自己的创意，于是在该区域内设计了一横二竖的等宽的彩条，要使彩条的面积是艺术墙矩形区域面积的 ，请问彩条的宽应是多少分米？彩条的宽应是 分米． 设彩条的宽为 分米，由题意得： ， 整理得： ， 解得 （不合题意，舍去）或 ． 答：彩条的宽应是 分米． 【知识点】一元二次方程的几何问题 2. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．(部分参考数据：，， ) 米． 解法(1)： 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 米，根据题意得： ， 10 学科网（北京）股份有限公司 整理得： 解得： (舍去)， ， ， 答：道路宽为 米． 解法(2)： 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 米， 根据题意得： ， 整理得：解得： ， ， (舍去)， 答：道路宽应是 米． 【知识点】一元二次方程的几何问题 3. 要在一块长，宽的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案． 小亮设计的方案如图 所示 ，甬道宽度均为 ， 剩余的四 块绿地面积共 平方米 小颖设计的方案如图 所示 ， （ 1 ）求小亮设计方案中甬路的宽度． （ 2 ）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同） （ 1 ）小亮设计方案中甬道的宽度为 ． （ 2 ）小颖设计方案中四块绿地的总面积为 平方米． （ 1 ）根据小亮的设计方案列方程得： ， 解得： 或 （舍去）． ∴小亮设计方案中甬道的宽度为 ． （ 2 ）作 ， ，垂足分别为 、 ， ∵ ∴ ∵ ∴四边形 ∴ 由（ ）得 ∴在 ， ， ， ， 为平行四边形， ． ， ． 中， ． ∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为 米． 平方 【知识点】一元二次方程的几何问题 4. 某小区有一块长，宽的长方形土地将要进行绿化，分别种植蝴蝶兰和金盏菊．已知蝴蝶兰和金盏菊的单位面积的费用之比为． （ 1 ）如图，将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴蝶兰，中间的小长方形种植金盏菊． 图 若，则，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为 ，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比为 ．1 怎样划分这块土地（，分别为多少），使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为 ？2 （ 2 ） 为了使种植图案更加美观，进行如下设计：如图，土地正中宽度相等的水平小长方形和竖直小长方形（图中阴影部分）种植金盏菊，四角四个相同的小长方形都种植蝴蝶 兰，其余条件不变，当种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为时，四角的每个小长方形面积为 ． 图 （ 1 ）1 2 （ 2 ） ; ; ， ． （ 1 ）1 因为将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴 蝶兰，中间的小长方形种植金盏菊， 所以 ，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为 ． 种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比 ．故答案为： ， ， ． 2 设 ，则 ，依题意，可列方程： ， 解得： 即 ． ， 为 ，可得： ，使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为 ． （ 2 ）设 ， 解得： 故 ， （舍去）， ， 可得：小长方形面积 ． 故答案为： ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 5. 某校计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一个长方形花圃． 米米 通道 米 花圃 米 米 米 （ 1 ）如图，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出此时通道的宽． （ 2 ）在（ ）中修建的长方形花圃中，要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范围． （ 1 ）（ （ 2 ） ）米． ． （ 1 ）设通道的宽是 米，依题意有： ， 解得 答：通道的宽是（ （ 2 ）∵ ∴圆形区域的半径为 （不合题意）， ）米． ， ，面积最大， ． 设两圆圆形距为 ，当两圆只有一个公共点时， 有最小值，为（ ）米， 当两圆分别与花圃的宽相切时， 有最大值， 米， ∴两个圆心距离的取值范围是 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 6. 在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （ 1 ）小芳说，’我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度． 图 （ 2 ）小华说，’我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理 由． 图 图 （ 1 ）能，宽度为 米． （ 2 ）画图见解析． （ 1 ）设宽度为 米，则 ， ∴ 解得又∵ ∴ ， ， ， ， ， 答：路宽为 米． （ 2 ）如图 ，作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积 矩形面积， 图 如图 ，以矩形两宽的中点连线 为直径，作圆， 图 交两长于 、 ，则得矩形 ，且 四边形 矩形． 【知识点】一元二次方程的几何问题 7. 教育部联合共青团中央、全国少工委印发《关于加强中小学劳动教育的意见》．为了更好的落实文件精神，丰台区某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在基地，学生们进行了翻地整地、菜苗移植、认识蔬菜、制作香皂等活动．在参观牛舍的过程中，同学们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如下图所示，整个小牛舍区域是长 ，宽的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了照顾小牛方便，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路，如果每个小牛舍的面积是，请求出小路的宽．（设小路的宽为） 小路的宽为 ． 根据题意，得 ， 解这个方程，得 ， ， 其中 不合题意，舍去 所以 ． 答：小路的宽为 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 8. 如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长分米，宽分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． （ 1 ）若无盖方盒的底面积为平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形？ （ 2 ）若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面每平方分米的防锈处理费用为元，底面每平方分米的防锈处理费用为元，问铁皮各角切去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费用为多少元？（ 1 ）铁皮各角应切去边长是 分米的正方形． （ 2 ）当铁皮各角切去边长是 分米的正方形时，总费用最低，最低费用为 元． （ 1 ）设铁皮各角应切去边长是 分米的正方形， 答：铁皮各角应切去边长是 分米的正方形． （ 2 ）设铁皮各角切去边长是 分米的正方形，防锈处理所需总费用为 元， 则无盖方盒的底面是长为 分米、宽为 分米的矩形， 由题意得 解得： ， ， ，整理得： ， ∵， ∴， ∴． ∵制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的 倍， ∴ 解得： 根据题意得： ， ， ， ∴ ， ， ∴当 时， 的值随 值的增大而减小， ∴当 时， 取得最小值，最小值为 ． 答：当铁皮各角切去边长是 分米的正方形时，总费用最低，最低费用为 元． 【知识点】一元二次方程的其他实际问题 9. 回答下列问题： （ 1 ）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是的正方形的边长是，且 ．设，可画出如下示意图．由面积公式，可得． 略去，得方程 ． 解得 ，即 ． （ 2 ）仿照上述方法，利用的结论，再探究一次，使求得的的近似值更加准确．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） （ 1 ） （ 2 ） ; ; ; （ 1 ） （ 2 ）∵ ∴ ； ； ； ， ． ∴ ∴ ∴设 ． ． ．示意图如图所示： 由面积公式，可得 略去 ，得方程解得 ． 整理，得 ． ， ．即 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 10. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度向终点做匀速运动，同时，点从点出发，以的速度向终点做匀速运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动． （ 1 ）设运动时间为秒，则，（用含的式子表示）． （ 2 ）经过多长时间，的面积为？ （ 3 ）在运动过程中，的面积能否等于？请说明理由． （ 1 ） ; （ 2 ）经过 秒后， （ 3 ） 不能，证明见解析． 的面积为 ． （ 1 ） ， ． （ 2 ）由（ ）知， ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ， 解得 ∵ ∴ ， ， ， ， 即经过 秒后， （ 3 ）由（ ）知 ∴即 ∴ 的面积为 ． ， ， ， ， ∴方程无实数根， ∴在运动过程中， 的面积不能等于 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 11. 如图，中， ，，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动．，两点同时出发，运动时间为 ． （ 1 ）当为几秒时， 的面积是面积的 ？ （ 2 ） 的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ． 的面积不可能为 面积的一半． （ 1 ）由题意可得： ， ， ∴ ∴ 整理得解得 答：当 （ 2 ）当 整理得 ， ， ， ， ． 时， 的面积是 时， ， 面积的 ． ， ， ∴此方程没有实数根， ∴ 的面积不可能为 面积的一半． 【知识点】一元二次方程的几何问题 $ 1. 一个正方形的边长增加，它的面积就增加，这个正方形的边长是多少？ 2. 如图①：要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为 ，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何实际每个彩条的宽度？设一份儿为，如图②：用含的代数式表示、和矩形的面积，列出方程并完成本题解答． 3. 如图所示，在宽，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 4. 列方程或方程组解应用题： 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地（空白处），求原正方形空地的边长． 5. 一块长方形木板长，宽，在木板中间挖去一个底边长为，高为的形孔，已知剩下的木板面积是原来面积的 ，求挖去的形孔的宽度． 1 学科网（北京）股份有限公司 6. 某小区有一块长米，宽米的矩形空地，如图所示，社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两地绿地之间及四周都留有宽度为米的人行通道，如果这两块绿地的面积之和为平方米，人行通道的宽度应是多少米？ · 米 · 米 7. 在一幅长分米，宽分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是平方分米，求金色纸边的宽． 8. 有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 9. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围一个矩形场地． （ 1 ）怎样围才能使矩形场地的面积为？ （ 2 ）能否使所围矩形场地的面积为？为什么？ 10. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙宽），另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为． （ 1 ）请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到． （ 2 ）你能设计一个面积为的鸡场吗？请说明理由． 11. 如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道宽的门，已知篱笆的总长度为． （ 1 ）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的代数式表示的长． （ 2 ）若整个苗圃园的总面积为，求的长． 12. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙，，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地 ，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长米，已知墙长米，墙长为 米． （ 1 ）设 米，则为 米，四边形 的面积为 平方米． （ 2 ）若长方形 的面积为平方米，问 为多少米． 13. 一张长为，宽的矩形纸片，如图所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为 ，求剪掉的正方形纸片的边长． 图 图 14. 如图，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果 ，那么称线段被点黄金分割． 为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域． 如图，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取）． 15. 一个凸多边形共有条对角线，它是几边形？ （ 1 ）分析题意，先填空： 从五边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．一共有个顶点，可得这个五边形的对角线的总条数为 ． 进而思考：从一个凸边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．可得这个边形的对角线总条数为 ． （ 2 ）结合以上分析，列出方程并完成本题解答． $ 1. 一个正方形的边长增加，它的面积就增加，这个正方形的边长是多少？ ． 设正方形边长为 ， ， ， ， ∴正方形的边长为 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 2. 如图①：要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为 ，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何实际每个彩条的宽度？设一份儿为，如图②：用含的代数式表示、和矩形的面积，列出方程并完成本题解答． ， 彩条的宽度分别为 ， ， ． 的面积 ，每个横，竖 根据题意得 ， ， 整理得 解方程得 则 ， ， （舍）， ， ， 答：每个横，竖彩条的宽度分别为 ， ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 10 学科网（北京）股份有限公司 3. 如图所示，在宽，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？ 道路宽为 ． 设道路宽为 ， 由题意 解得 ∵ ∴ ， ， ， ， ， ∴道路宽为 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 4. 列方程或方程组解应用题： 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地（空白处），求原正方形空地的边长．原正方形的边长 ． 设原正方形的边长为 ，根据题意，得 ， 解得： ， ， 经检验， 不符合题意，舍去，答：原正方形的边长 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 5. 一块长方形木板长，宽，在木板中间挖去一个底边长为，高为的形孔，已知剩下的木板面积是原来面积的 ，求挖去的形孔的宽度． ． 根据题意，设 形孔的宽度为根据题意， ， ， 即 解得 ∴宽度应为 ， ， （此时 ，占去了模板的全部宽度，不合题意舍去）， ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 6. 某小区有一块长米，宽米的矩形空地，如图所示，社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两地绿地之间及四周都留有宽度为米的人行通道，如果这两块绿地的面积之和为平方米，人行通道的宽度应是多少米？ · 米 · 米 人行通道的宽度应是 米． ， ， ∵ ， ∴ （米）． 答：人行通道的宽度应是 米． 【知识点】一元二次方程的几何问题 7. 在一幅长分米，宽分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是平方分米，求金色纸边的宽． 金色纸边的宽为 分米． 设金色纸边的宽为 分米． 根据题意，得 ． 解得： ， （不合题意，舍去）．答：金色纸边的宽为 分米． 【知识点】一元二次方程的几何问题 8. 有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中． 设长方形信封的长为 ，宽为 ． 由题意得： ， 解得： ， 所以长方形信封的宽为： ． ∵ ， ∴正方形贺卡的边长为 ． ∵ ∴ ，而 ， ． 答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中． 【知识点】一元二次方程的几何问题 9. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围一个矩形场地． （ 1 ）怎样围才能使矩形场地的面积为？ （ 2 ）能否使所围矩形场地的面积为？为什么？ （ 1 ）长 为 米，则宽 为 米． （ 2 ）不能． （ 1 ）设所围矩形 再列方程求解， ∵墙的长度不超过 的长 为 米，则宽 为 米， ， ， ． ， ∴ 答：长 （ 2 ）由 ∵ ∴ ∴不能． 符合题意， ． 为 米，则宽 为 米． 得 ． ， 无实数根， 【知识点】一元二次方程的几何问题 10. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙宽），另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为． （ 1 ）请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到． （ 2 ）你能设计一个面积为的鸡场吗？请说明理由． （ 1 ）鸡场宽 、长 ． （ 2 ）鸡场面积不能达到 ． （ 1 ）设鸡场宽为 ， ， ， ， ， 时时 故鸡场宽 ， ， ， 、长 ． （ 2 ） ， ， ， 故鸡场面积不能达到 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 11. 如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道宽的门，已知篱笆的总长度为． （ 1 ）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的代数式表示的长． （ 2 ）若整个苗圃园的总面积为，求的长． （ 1 ） （ 2 ）当 米时，可使总面积为 ． （ 1 ） ． （ 2 ） ， ， 当 时， （舍去） 当 时， 符合题意 答：当 米时，可使总面积为 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 12. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙，，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地 ，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长米，已知墙长米，墙长为 米． （ 1 ）设米，则为 米，四边形的面积为 平方米． （ 2 ）若长方形的面积为平方米，问为多少米． （ 1 ） （ 2 ） ; 米． （ 1 ）∵ ，铁栅栏总长 米， ∴ 为 ， （ 2 ） 四边形 ∵ ，解得 的面积为 ，解得 ， ． 或 ， ∴ ， ∴ 长为 米． 【知识点】一元二次方程的几何问题 13. 一张长为，宽的矩形纸片，如图所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为 ，求剪掉的正方形纸片的边长． 图 图 剪掉的正方形纸片的边长为 ． 设剪掉的正方形纸片的边工为 ．由题意，得 ． 整理，得 ． 解方程，得 ， （不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形纸片的边长为 ． 【知识点】一元二次方程的几何问题 14. 如图，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，如果 ，那么称线段被点黄金分割． 为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域． 如图，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取）． 太和门到太和殿的距离为 丈．设太和门到太和殿的距离为 丈， 由题意可得， ， ， （舍）， ． 答：太和门到太和殿的距离为 丈． 【知识点】黄金分割 15. 一个凸多边形共有条对角线，它是几边形？ （ 1 ）分析题意，先填空： 从五边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．一共有个顶点，可得这个五边形的对角线的总条数为 ． 进而思考：从一个凸边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．可得这个边形的对角线总条数为 ． （ 2 ）结合以上分析，列出方程并完成本题解答． （ 1 ） ; ; ; （ 2 ） 它是 边形． （ 1 ）从五边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．一共有 个顶点，可得这个五边形的对角线的总条数为 ． 从一个凸 边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．可得这个 边形的对角线 总条数为 （ 2 ）设它是 边形， 根据题意得： ． ， ， ∴ ， ， （不合题意，舍去）． 答：它是 边形． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 【知识点】一元二次方程的几何问题 【知识点】求多边形边或对角线的数量 【知识点】数列找规律-其他数列规律 $