25.2 一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系 专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根的判别式与韦达定理两大核心考点，通过精选中考真题与变式题构建从基础到综合的训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据根的情况求参数|4例+4变式|选择/填空，考查根的个数与参数范围（含二次项系数限制）|以判别式为核心，构建“根的情况→Δ取值→参数范围”的推理链条| |根与系数的关系|6例+6变式|选择/填空/解答，考查韦达定理的直接应用与代数变形|以韦达定理为基础，形成“方程→根与系数关系→代数式求值/方程构造”的应用逻辑|

一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系专项训练 一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 根据一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程根与系数的关系 考点一 根据一元二次方程根的情况求参数 例1．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 例2．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东广州·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 例4．（2026·贵州黔西南·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 变式1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 变式4．（2026·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 例1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则________________． 例4．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 例5．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 例6．（25-26九年级上·广东东莞·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 变式3．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 变式4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 变式5．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 变式6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系专项训练 一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 根据一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程根与系数的关系 考点一 根据一元二次方程根的情况求参数 例1．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 例2．（2026·山东济南·中考真题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 例3．（2026·广东广州·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 例4．（2026·贵州黔西南·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 变式1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 变式4．（2026·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 例1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 例2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 例3．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则________________． 【答案】 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积与系数的关系是解题的关键． 根据倒数的定义得到两根乘积为，再利用一元二次方程根与系数的关系建立关于的方程，得到的值． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由题意，两个根互为倒数，因此． 根据一元二次方程根与系数的关系，得 因此，解得． 当时，方程为：， 整理得：． ，符合题意． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 例5．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 例6．（25-26九年级上·广东东莞·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在， 理由如下： ，， ， ， 解得． ， 不存在实数，使得． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，解答的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别的关系：①，则方程有两个不相等的实数根；②，则方程有两个相等的实数根；③，则方程没有实数根． （1）根据题意可得，再解关于k的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于k的方程，整理后即可解出k的值，再结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的取值范围为． （2）略 变式1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 变式3．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 变式4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 变式5．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ． 变式6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)65 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据，是方程的两个根，得到，，根据多项式的乘法得到，即，求解即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴k的值为； （2）解：原式， 当时，原式， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $