2.1不等关系与不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕不等关系与不等式展开，以购买火车票的情景导入，引出“不超过”“超过”等现实不等关系，进而讲解不等式定义、作差比较法的基本事实，通过例题、训练及实际问题应用，构建从生活到理论再到实践的学习支架。 其亮点在于用火车票、装修工资等生活实例培养数学眼光，通过作差比较法步骤归纳发展数学思维，以钝角三角形、食物营养等问题强化数学语言表达。帮助学生抽象数量关系，提升推理能力，教师可依托清晰结构高效开展教学。

不等关系与不等式（第1课时） 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天我们要学习一个非常有趣的话题——不等关系与不等式。生活中到处都有比较，比如谁的糖果多、谁的个子高，这些其实都藏着数学的秘密哦！让我们一起探索吧。 1 购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m（含1.1m）而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 情景导学 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 2 1.不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点. ①不等符号_______或______. ②所表示的关系是________. 不等关系 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 3 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 4 问题与探究 　比较数或式子的大小 例.已知x＜y＜0，比较（x2＋y2）（x－y）与 （x2－y2）（x＋y）的大小． [解析]　∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴（x2＋y2）（x－y）－（x2－y2）（x＋y）＝－2xy（x－y）＞0， ∴（x2＋y2）（x－y）＞（x2－y2）（x＋y）． 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 5 比较两个实数（或代数式）大小的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差； （2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）； （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 归纳总结 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 6 跟踪训练 1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 （　　） A.M>N　　　　　B.M＝N C.M<N D.与x有关 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 7 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 8 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 9 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 10 [解析]　2. x2＋y2＋1－2(x＋y－1) ＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0， ∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 11 当堂达标 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x（x≥0）人，瓦工y（y≥0）人，则关于工资x，y满足的不等关系是（　　） A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 答案：D 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 12 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 13 3.已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x，y所满足的不等关系. 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 14 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 15 4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系. 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 16 5.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 17 1.不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点. ①不等符号_______或______. ②所表示的关系是________. 不等关系 课堂小结 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 18 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 今天这节课我们主要分三个部分来学习。首先，我们要从生活中发现不等关系，看看数学怎么描述'多'和'少'；然后学习一个重要的方法——作差法，这是比较两个数大小的好帮手；最后我们会探究不等式的基本性质。准备好了吗？我们开始吧！ 19 谢谢大家！ 今天的课就到这里啦！希望大家回去以后多观察生活中的不等关系，比如买东西比较价格、运动时比较时间，试着用今天学的数学知识去描述它们。数学就在我们身边，而且很有趣对吧？下节课我们继续探索一元二次函数的奥秘，再见！ 20 2.基本事实 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对． 依据 a>b⇔________； a＝b⇔________； a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的__与__的大小 [解析]　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0， ∴M>N，故选A． 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4). ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 3.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小: (1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1. 解析(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0, 所以2x2+3>x+2. (2)(a+2)-.由于a2+a+1=>0, 所以当a>1时,>0,即a+2>; 当a<1时,<0,即a+2<. 故当a>1时,a+2>;当a<1时,a+2<. 4.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小； 2.京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． [解]　设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1、v2的关系：2v1＋100≤v2， v1、v3的关系：v1＞3v3. 食　物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 解析：由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位, 则有 解析：各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形, 还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所 对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2, 故x应满足的不等关系为 [解析]　提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： (8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20. 2.基本事实 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对． 依据 a>b⇔________； a＝b⇔________； a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的__与__的大小 $