2.2 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕“基本不等式”展开，以赵爽弦图创设情景，通过观察图形面积关系引出重要不等式，再经替换推导基本不等式，搭建从几何直观到代数抽象的学习支架，帮助学生理清公式形成脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，借助赵爽弦图和几何解释培养几何直观（数学眼光），通过作差法、分析法等多种证明训练逻辑推理（数学思维），例题强调“一正二定三相等”强化模型意识（数学语言）。学生能提升运算与推理能力，教师可依托系统探究流程提升教学效果。

2.2基本不等式 一、情景创设 导入课题 赵爽弦图 问： 1 、 正方形的边长为 2 、 正方形ABCD的面积S = a2 + b2 3 、 四个直角三角形的面积和S ,=_2ab_ 4 、S 与 S , 的大小关系如何？S S, 即 a2 + b2 2ab D D a=b b E(FGH) a A A 已知直角三角形的两条直角边边长是a， b， 问题1：右图中有哪些相等关系和不等关系？ 二、自主探究 推导公式 当且仅当a=b时， 等号成立 a2 + b2 C C B B 问题2：a2 + b2 ≥ 2ab对任意的实数都成立吗？怎么证明？ 证明：（作差法） a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 ≥ 0 所以a2 + b2 ≥ 2ab 当且仅当a=b时等号成立. 二、自主探究 推导公式 b E(FGH) a 知识点一 重要不等式 重要不等式： 一般地， 对于任意实数a 、 b， 有 二、自主探究 推导公式 当且仅当a=b时， 等号成立。 α2+b2 ≥2ab D b a G H F E C C A A D B B 替换后得到： a+b 即： 当且仅当a=b时，等号成立. 问题3：如果a>0,b>0,我们用 a, b分别代替a ，b ，可得到什么结论？ 二、自主探究 推导公式 其中， ab叫做正数a，b的几何平均数 叫做正数a，b的算 数平均数. 代数意义： 两个正数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数. 基本不等式： 如果a>0,b>0, 可得 二、自主探究 推导公式 当且仅当a=b 时， 等号成立. 知识点二 基本不等式 问题4：还有没有其他证明基本不等式的方法？ 证明： （作差法） ∵ a + b — 2 ab = ( : 当且仅当a = b时，等号成立. 二、自主探究 推导公式 证明：（分析法） 要证 只要证 2 ab ≤ a + b 要证② , 只要证 a + b − 2 ab ≥ 0 要证③ ,只要证 ( − b)2 ≥ 0 ④ 式显然成立，当且仅当a=b时，④中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出不等式了. 二、自主探究 推导公式 ① ② ③ ④ 在直径AB上取一点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB的弦DE ，连接AD ，DB. 易证Rt△ACD ∞ Rt△DCB ，则CD2＝CA·CB ， a+b 即CD ＝ ab .这个圆的半径为 2 ,显然它大于 或等于CD ，即 a 2 ， 当且仅当点C与圆心 问题5：可以根据下述图形得到基本不等式的几何解释吗？ 如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆， 二、自主探究 推导公式 O重合，即 a＝b ，等号成立. 几何意义： 半弦长小于或等于半径. A B b≤ a+b a C b O D E 知识点二 基本不等式 基本不等式： 如果a>0,b>0, 可得 当且仅当 a=b 时， 等号成立. 其中， ab叫做正数a，b的几何平均数 叫做正数a，b的算 数平均数. 代数意义： 两个正数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数； 几何意义： 半弦长小于或等于半径. 二、自主探究 推导公式 基本不等式： 如果a>0,b>0, 可得 ab ≤ , 当且仅当 a=b ① a+b≥2 ab ②ab≤( )2 二、自主探究 推导公式 知识点二 基本不等式 ab ≤ 时， 等号成立. 变形 例1 已知x>0,求函数y=x 的最小值 解： ∵x>0 ， ∴ x+ ≥ ,当且仅当 x 即 x2= 1,x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2. 使用条件：①各项皆为正数； 取值条件：②和或积为定值； 取等条件：③注意等号成立的条件. 用基本不等式求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 三、例题讲解 深度剖析 变式训练1 已知x>1 ，求函数y=x+ 的最小值. 解： 当x>1时，x－1>0，f 当且仅当x－1 ＝ 1 (x>1) 即x ＝2时等号成立 所以当x ＝2时 y取得最小值3. 三、例题讲解 深度剖析 x— 1 ， ， ， 在利用基本不等式证明的过程中，常需要 把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 三、例题讲解 深度剖析 反思与感悟 (1)当积xy等于定值P 时， ≥ P,所以x+y≥2 P， 当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y 时，和x+y有最小值2 P. (2)当和x+y等于定值S时， 所以xy≤ S2 当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y 时，积xy有最大值 S2 . 最值定理：两个正数，和定积最大，积定和最小. 例2 若x、y都是正数，求证： 如果积xy等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y有最小值2 P； 如果和x+y等于定值S ，那么当x=y 时，积xy有最大值 S2 .证明：因为x、y都是正数，所以 . 三、例题讲解 深度剖析 解： (1)因为x>0，y>0 ，且xy=100 ，所以x+y 当且仅当x=y= 10时等号成立. 故答案为20, 10, 10. (2)因为x>0，y>0 ，且x+y= 10 ，所以xy≤ 当且仅当x=y=5时等号成立. 故答案为25, 5, 5. 变式训练2 (1)已知x>0，y>0 ，且xy= 100 ，则x+y的最小值是 20 ，此时x= 10 ，y = 10 ； (2)已知x>0，y>0 ，且x+y= 10 ，则xy的最大值是 25 ，此时x= 5 ，y= 5 . 三、例题讲解 深度剖析 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式” ，这 便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用最值定理解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a＞0 ，b＞0 ，同时注意能否取等号. 三、例题讲解 深度剖析 反思与感悟 数学抽象 特殊到一般 D b G aF A E B C 直观想象 数形结合 四、自我反思 课堂小结 注意： 一正二定三相等 和定积最大， 积定和最小。 数学运算 最值定理 化归与转化 ab ≤ 分析法 作差法 a+b≥2 ab 数形结合 直观想象 逻辑推理 代 换 H 1.(2021·滨州三校联考)若函数f(x)＝x＋ — (x>2)在x ＝a处取最小值，则a等于( ） A. 1＋ 2 B. 1＋ 3 C.3 D.4 2.(2019兰陵县期末)若x>0，y>0,且满足x+y ＝2 ，则xy的最大值 ． 五、直击真题 综合提升 真题再现 1 、答案：C 解析： 当x>2时，x－2>0，f ＋2≥2＋2 ＝4 ，当且仅当x－2 ＝ — (x>2) ，即x ＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x ＝3 ，即a ＝3 ，故选C. 2 、答案 1 解析:解：x>0，y>0满足x+y ＝2 ，则xy ，当且仅当x＝y = 1时取等号，此时取得最大值1． 故答案为：1 五、直击真题 综合提升 真题解析 课本习题2.2 全体同学：第1 ，2 ，4 ，5题, 学有余力的同学：第1, 2, 3, 4, 5题. 六、布置作业 课后小练 感谢配合 $