13.3.1 三角形的内角（课时1） 教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形内角和定理，从小学度量、剪拼旧知切入，通过分析实验误差与局限性，引出逻辑证明必要性，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此设计以剪拼实验培养几何直观，通过过顶点、延长边作平行线等多种证法发展推理能力，结合方位角实际问题渗透模型意识，采用动手操作与探究法，提升学生探究与转化思想，为教师提供分层教学与规范证明示范。

13.3.1 三角形的内角（课时1）教学设计 课题 13.3.1 三角形的内角（课时1） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.经历剪拼实验、推理证明的过程，掌握三角形内角和定理的标准证明方法，理解证明过程中平行线转化角的推理逻辑。 2.能规范运用三角形内角和定理进行三角形内角度数计算，结合生活情境建立几何模型，解决相关实际角度问题。 3.依托剪拼实验带来的直观启发，自主探索三角形内角和定理的多种证明思路，体会几何转化思想，提升几何推理与一题多证的探究能力。 教学重点 三角形内角和定理的推理证明方法；利用三角形内角和定理计算角度、解决基础几何与实际问题。 教学难点 借助平行线实现角的等量代换，理解定理证明的转化思路；自主探究、梳理定理的多种不同证法，灵活结合图形进行角度综合计算。 教学方法 讲授法、探究法、动手操作 教学准备 多媒体课件、三角形纸片、量角器 课后练习 课本练习及习题13.3 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 1. 复习回顾，提出问题 教师提问：我们在小学已经学习过三角形的内角和，谁还记得三角形的内角和是多少度？ 学生回答：。 2. 引发思考，导入新课 教师追问：我们是怎么知道这个结论的？当时我们用了什么方法？ 学生回忆：度量法、剪拼法。 教师演示：用量角器测量两个不同三角形的内角，计算内角和。（展示度量法） 提出问题：度量法得到的结果一定准确吗？为什么？ 学生思考后回答：测量有误差，不一定完全准确。 教师引导：由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证。因此，我们需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°。 教师揭示课题：今天我们就来学习三角形内角和定理的证明和应用。 回忆三角形内角和是180°，说出度量法、剪拼法，思考度量法的局限。 从学生已有的知识经验出发，找准学习起点，实现新旧知识的自然衔接。通过度量法的演示和对误差的分析，引发认知冲突，让学生体会实验验证的局限性，认识到逻辑证明的必要性，激发探究欲望，自然导入新课。 二、新知探究 （一）拼图实验 探究：三角形内角和定理 1. 拼图实验，启发思路 教师活动：请同学们拿出准备好的三角形纸片，将三个内角剪下来，拼在一起，观察能得到什么结论。 【学生活动】动手操作，剪拼三角形的三个内角，观察发现三个角拼在一起形成一个平角。 教师展示拼合过程：将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。 提出问题：想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？ 【学生活动】观察图形，思考讨论，尝试说出证明思路。 教师引导：直线l与BC平行，因为内错角相等。我们可以通过作平行线，把三个内角转移到一起，组成一个平角。 动手剪拼三个内角，观察拼成平角；思考直线l与BC的关系，尝试说出证明思路。 通过动手拼图实验，让学生直观感受三角形三个内角可以拼成一个平角，为证明提供思路和直观基础。让学生经历观察—猜想—验证的过程，培养观察能力和动手操作能力。通过设问引导学生思考直线与BC的关系，自然过渡到辅助线的添加。 （二）定理证明 2. 推理证明，得出定理 证法一：过顶点作平行线 已知：△ABC。 求证：。 证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC。 ∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）。 ∵ 组成平角， ∴ （平角定义）。 ∴ （等量代换）。 教师强调：我们作的直线l叫辅助线，辅助线通常画成虚线。添加辅助线是几何证明中常用的方法，它可以把分散的条件集中起来，帮助我们解决问题。 证法二：延长边作平行线 提出问题：还有其他证明方法吗？如果我们从另一个顶点出发呢？ 【学生活动】思考讨论，尝试用不同的方法证明。 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥BA。 ∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）。 ∵ （平角定义）， ∴ （等量代换）。 引导学生思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 核心思路：添加平行线（辅助线）→ 利用平行线的性质转移角 → 依据平角定义，得到180°。 本质思想：转化思想，将三角形的三个内角转化为一个平角。 跟随教师规范书写证明过程；思考更有其他证法，尝试用不同方法证明；总结多种证法的核心思路。 通过两种不同的证明方法，让学生体会证明思路的多样性，培养发散思维和创新能力。教师规范板书证明过程，为学生起到示范作用，培养学生规范的证明书写习惯。引导学生总结多种证明方法的核心，帮助学生把握证明的本质，体会转化思想。 （三）归纳定理 3. 归纳定理，拓展性质 教师总结并板书： 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 符号语言：在中，。 思考讨论：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，最多有几个锐角？最少有几个锐角？最多有几个钝角或直角？三角形中最大的内角至少是多少度？ 【学生活动】小组讨论，得出结论。 教师总结三角形内角的性质： （1）三角形的三个内角中最多有三个锐角（锐角三角形）； （2）至少有两个锐角； （3）最多有一个钝角或直角； （4）三角形中最大的内角不小于60°。 小组讨论三角形内角的个数特点，得出内角的性质结论。 在得出定理的基础上，引导学生进一步思考三角形内角的性质，深化对定理的理解和应用。通过小组讨论，培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力。 三、典例精讲 【典例精讲】 例 1：如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线。求∠ADB的度数。 教师引导：AD是角平分线，先利用角平分线定义求出∠BAD，再在△ABD中利用内角和定理求∠ADB。 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得： 。 在△ABD中， 。 所以∠ADB的度数为85°。 【讲评要点】 角平分线把角分成两个相等的角；在三角形中，已知两个角即可利用内角和定理求出第三个角。 例 2：下图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 教师点拨：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角。如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。 解： 。 由，得。 ， 。 在△ABC中， ， 。 答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°。 【方法拓展】 1. 若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形的内角和定理求解； 2. 若已知一个角的度数及另外两个角之间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据“三角形的内角和是180°”这个等量关系列方程（或方程组）求解。 跟随教师分析例题，理解角平分线、平行线、内角和定理的综合运用；总结内角和定理的应用方法。 两道例题分层递进：例1夯实角平分线、三角形内角和定理的基础计算与规范书写；例2结合方位角实际情境，融合平行线性质与内角和综合推理，提升几何建模与综合解题能力。通过方法拓展，帮助学生掌握内角和定理的应用策略。 四、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°，可以通过剪拼实验获得直观启发，再借助平行线的性质完成严谨推理证明。 2. 定理证明思路：通过作平行线实现角的平移、等量代换，把三角形三个内角拼接成平角，以此推导内角和为180°，掌握多种不同的证法思路。 回顾本节课所学知识，总结归纳，畅谈收获。 梳理知识，形成体系，帮助学生建立完整的知识结构。 五、作业布置 必做： 课本练习及习题13.3基础题，规范书写三角形内角和的计算过程。 选做： 尝试用第三种方法（如过三角形内一点作平行线）证明三角形内角和定理。 记录作业内容。 分层作业，必做题巩固基础，选做题拓展提升。 板书设计 13.3.1 三角形的内角（课时1） 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 符号：∠A+∠B+∠C=180° 证明思路（转化思想） 剪拼实验 → 拼成平角 作平行线转移角 → 平角定义 辅助线：虚线 三角形内角的性质 至少有两个锐角 最多有一个钝角或直角 最大内角不小于60° 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $