4.2 认识一次函数同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“认识一次函数”同步练习，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，实现从概念识别到实际应用的知识进阶，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正比例函数与一次函数的概念定义|以单选、填空为主，如判断正比例函数（题1-2）、填写一次函数定义（题10），强化概念辨析| |中档应用|解析式与简单实际应用|结合生活情境，如电阻与温度关系（题6）、闪送工资计算（题13），培养模型意识| |综合探究|综合情境与动态问题|含动点几何（题17）、函数交点探究（题16），发展推理能力与创新意识|

4.2 认识一次函数 同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（   ） A．圆的周长C随半径r的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的面积S随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 3．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（    ） A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数 5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 6．一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（    ） A．. B． C． D． 7．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若函数是正比例函数，则________． 10．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成__________的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的__________函数，即y＝kx（k≠0）． 11．在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是______． 12．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 13．“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 三、解答题 14．兴平辣椒在漫长的栽种过程中，经过不断选择培育，形成了色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多的特征．一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 15．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 16．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 17．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 18．用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A A B A C 1．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，C与r成正比，故选项符合题意； B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C. ，S与a不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意． 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 4．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：根据题意，，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 5．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键. 由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值. 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴. ∴. 故选：A. 6．【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】温度每增加1℃，电阻增加欧，那么温度从℃到t℃，电阻增加欧，进而可得答案. 【详解】解：∵一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧， ∴电阻欧表示为温度t℃的函数关系为； 故选：B. 【点睛】本题考查了列出实际问题中的一次函数关系式，正确理解题意、弄清函数关系是解题的关键. 7．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 8．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数y随x的增大而增大，可知，分别将点M和各选项代入，求出k的值，即可确定． 【详解】解：∵一次函数过 ∴把代入得，即 又∵随的增大而增大 ∴ A、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 B、将代入得，把代入得，化简得，不满足且，舍去 C、将代入得，把代入得，化简得，解得，满足条件 D、将代入得，把代入得，化简得，解得，不满足，舍去 故选：C． 9．【答案】3 【知识点】利用平方根解方程、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据形如是正比例函数，可得答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得：， 故答案为：3． 10．【答案】 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 正比例 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【解析】略 11．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；根据加密函数，然后把，，，分别代入函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： 当时，则有，解得：，对应字母n； 当时，则有，解得：，对应字母i； 当时，则有，解得：，对应字母c； 当时，，解得：，对应字母e； 故明文为， 故答案为． 12．【答案】 【知识点】利用平方根解方程、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【详解】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 14．【答案】(1)，是的正比例函数； (2)144． 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合一种兴平辣椒的单价是元，故，即可作答． （2）理解题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． ∴，即是的正比例函数； （2）解：由（1）得， 依题意，当时，， 即的值为144． 15．【答案】 解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】略 16．【答案】 （1）解：选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①证明：由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②当时，；当时，；当时，； ③当时， 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 17．【答案】(1)； (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 18．【答案】（1）； （2）画图如下： 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）由周长定义可得y关于x的函数解析式，求自变量x的取值范围，要注意三角形的特点，两边之和大于第三边． （2）由（1）的结论，在平面直角坐标系中描点，连线即可． 【详解】解：（1）由题意，得2x+y＝8， ， 由，得， 又， ， 故， ； （2）略 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，准确计算是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $