4.2 认识一次函数 课前预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦一次函数概念建构与初步应用，通过基础巩固-能力提升-综合应用三层设计，实现从定义识别到实际建模的递进，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正比例/一次函数定义、简单解析式|单选1-5直接考查概念辨析，填空10强化定义表述，夯实抽象基础| |提升层|参数求解、图像性质应用|单选6-8结合坐标与方程综合分析，填空11-13融入距离计算与代数式求值，提升推理能力| |综合层|实际问题建模、函数关系综合|解答题14-18通过情境问题（如购买优惠、几何求值）构建函数模型，体现数学与现实世界的联系，发展模型意识|

4.2 认识一次函数 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．函数是一次函数，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 5．下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（    ） A．圆的周长随半径的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．正方形的面积S随边长的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，汽车每行驶1千米耗油，那么行驶过程中油箱的剩余油量与行驶路程之间的关系 6．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．我们研究一次函数的图象和性质，可以利用数形结合的思想直观感知一些函数性质，当自变量从开始逐渐增大时，下列函数中函数值先到达的应该是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若函数是关于的正比例函数，且图象过点，则________． 10．若两个变量x，y间的对应关系可以表示成__________的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的__________函数，即y＝kx（k≠0）． 11．如图，在平面直角坐标系中，P为直线上一点，点P 的横坐标为， 则的长是_______． 12．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 13．在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为_____． 三、解答题 14．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． (3)当时，求的值． 15．分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 16．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 17．下表中，是的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表． －3 －2 －1 0 1 6 4 18．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D A D C D 1．【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．根据正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为，对各选项进行判断即可得解． 【详解】解：正比例函数需满足的形式， A、，有常数项，不是正比例函数，不符合题意； B、，是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； C、，符合形式，且是正比例函数，符合题意； D、，是二次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 3．【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 4．【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数关系的判断． 判断每个选项中的关系是否符合正比例函数定义（k为常数，）即可． 【详解】解：A：，其中为常数，C与r成正比例关系； B：由矩形周长固定为，得，即，不是形式； C：，不是形式； D：，不是形式． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查的知识点是根据一次函数的定义求参数，解题关键是利用分类讨论思想求解． 分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，推导得出的值． 【详解】解：设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 、得， 值相等， ，，三点共线，符合题意； 设，，三点共线， 代入一次函数中可得， 将分别代入、可解得， 值不相等， ，，三点不共线，不符合题意； 综上，，，三点共线，此时， 则， 即， ． 故选：． 7．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数自变量的值，分别求出各函数中函数值为时对应的自变量的值，再进行比较，的值越小则函数值先到达，据此即可判断求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； ∵， ∴ 选项对应的最小，即函数值先到达， 故选：． 8．【答案】D 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 9．【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求正比例函数解析式，根据正比例函数的定义，常数项，求出；再将点代入函数求，最后计算． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以，解得． 此时函数为． 将点代入，得，即， 解得．所以． 故答案为：． 10．【答案】 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 正比例 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【解析】略 11．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理求两点间的距离，先求出点的坐标，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵P为直线上一点，点P 的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 13．【答案】 8 【知识点】运用平方差公式进行运算、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征和代数式求值。通过代入点坐标求得 ，再利用平方差公式计算即可。 【详解】解：∵点 在函数 的图像上， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故答案为：8. 14．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】（1）根据题意可设，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可； （3）把代入（1）中解析式求解即可． 本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数关系式，以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解： 根据题意可设， ∵当时， ∴， 解得， ∴． （2）当时，， 解得． （3）当时，． 15．【答案】(1)，不是一次函数，不是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 (3)，是一次函数，也是正比例函数 【知识点】识别一次函数 【分析】（1）根据题意列出关系式，再判断即可； （2）根据题意列出关系式，再判断即可； （3）根据题意列出关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：由，可得，不是一次函数，不是正比例函数； （2）由，可得，是一次函数，不是正比例函数； （3），是一次函数，也是正比例函数． 【点睛】本题考查的是函数关系式的确定与判定属于哪一种函数的问题，解决本题的关键是熟记函数的定义，掌握函数解析式的含义，以及一些常见的公式． 16．【答案】(1) (2)1400元 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 17．【答案】，3个空依次填写2，0，－2． 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】因为y是x的一次函数，可设y=kx+b，由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4，然后可得到关于k、b的方程组，进而可求出解析式；把x=-1，0，1代入求出相应的y值． 【详解】解：∵y是x的一次函数， ∴设y=kx+b， 又∵由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4 ∴ 解得： ∴所求的一次函数的解析式为y=-2x； ∴当x=-1时，y=-2×（-1）=2； 当x=0时，y=-2×0=0； 当x=1时，y=-2×1=-2； ∴一次函数的解析式为y=-2x，三个空依次填写2，0，－2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18．【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $