辽宁省鞍山市部分普通高中2026-2027学年高三上学期9月一模学情调研数学试题

2026-2027学年度上学期高三9月一模学情调研 数学试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卡和答题纸． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的虚部为（ ） A． B．1 C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，且与的夹角为，则为（ ） A．7 B． C． D．21 4．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆台下底面的半径为上底面半径的2倍，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 6．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A．54种 B．36种 C．27种 D．18种 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A．0 B．2 C．1 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足，下列说法中正确的有（ ） A． B．是公比为4的等比数列 C．数列是首项为2，公差为4的等差数列 D．对任意正整数，均成立 11．已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（ ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若实数，，3成等比数列且，则的值为            ． 13．已知动点满足，则动点的轨迹是            （从“直线， 圆，椭圆， 双曲线， 抛物线”中选一个作答） 14．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的取值范围是            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16．（15分）如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）2026年大学毕业生预计约1270万人，同比增加48万人，就业压力剧增．甲、乙两名大学生去一家大型国有企业应聘，需通过笔试和面试两个环节才可以顺利签约．已知规则如下：笔试环节共有A、B、C三道题，回答正确两道及以上方可通过笔试，甲、乙两名大学生只有一次机会，已知甲答对A、B、C三道题的概率分别是、、，乙答对A、B、C三道题的概率均为，笔试通过后才可以参加面试．面试要回答D、E两道题，全部答对方可通过面试环节，已知甲、乙两名同学面试环节回答D、E两个问题正确的概率均为（假设每个环节的每个问题回答正确与否是相互独立的）． （1）求甲同学此次应聘顺利签约的概率； （2）设经过此次应聘，甲、乙两名同学最终签约的总人数为，求的分布列和期望． 18．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，，已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 19．（17分）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度下学期高三9月一模学情调研 数学学科 答案及评分细则 一、单选题： 1-5．BBCBC 6-8．DDB 二、多选题： 9．ABC 10．ABD 11．ACD 三、填空题： 12．1 13．直线 14． 四、解答题 15．（本题满分13分） 解：（1）由和正弦定理，可得， 2分 去分母得，即 4分 由余弦定理，可得．又，所以． 6分 （2）由正弦定理，可得 ． 10分 因为三角形为锐角三角形，所以，解得． 11分 则，则，故． 13分 16．（本题满分15分） 解：（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 1分 不妨设，则， 2分 则，，，，， 4分 ，， 5分 则， 6分 所以 7分 （2）在平面中，，， 8分 设平面的法向量为，则， 10分 即，所以，令，则，，所以 12分 13分 故直线与平面所成角的正弦值为 15分 17．（本题满分15分） 解：（1）甲答对2题概率：．2分 甲答对3题概率： 3分 ∴ 甲笔试通过概率 4分 面试通过概率，∴ 甲签约概率． 5分 （2）（10分）乙笔试：每题正确概率，需答对至少2题， 7分 乙面试通过概率，∴ 乙签约概率 8分 记为签约人数，则 9分 10分 11分 分布列为： 0 1 2 13分 期望 15分 18．（本题满分17分） 解：（1）设椭圆的焦距为，则． 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以 2分 ，所以，， 3分 所以椭圆的标准方程为 4分 （2）①设，，联立， 消去得， 5分 ，化简得， 所以，， 7分 又的斜率，的斜率， 所以，化简得 ， 9分 所以．又因为，即，又，所以 11分 ②由①得，直线的方程为，且，， 12分 又，所以．所以 ，．．．．．13分 点到直线的距离， 14分 所以， 15分 当且仅当，即时， 16分 的面积最大，所以，直线的方程为 17分 19．（本题满分17分） 解：（1）当时，，则， 所以，又， 故函数在点处切线方程为． 4分 【小问2详解】（i）因为，恒成立，令，由题知存在两个极值点，，等价于存在两个变号零点，．．．．．．．5分 因为，则当时，，单调递增，此时最多一个零点，不合题意； 6分 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 由题意得，解得， 8分 当时，因为，，由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得，令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，则，所以当时，， 则当时，，所以 ，由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 综上所述，实数的取值范围为． 10分 （ⅱ）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，又，不妨设，显然， 又，且，则，即，所以，则要证，只需证． 12分 因为存在两个变号零点，，所以，得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有，．．．．．14分 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，，且在上单调递减， 则，所以， 又因为在上单调递增，所以， 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $