1.3勾股定理的应用课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，先通过复习勾股定理及其逆定理巩固基础，再以装修工人用卷尺或刻度尺检测瓷砖边垂直的实际问题导入新知，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于结合生活情境（如装修检测）、经典算题（《九章算术》葭生池中）及空间展开问题（正方体爬行路径），培养学生的几何直观、空间观念与推理能力。课堂小结提炼解决实际问题四步法，帮助学生形成模型意识，教师可借此提升教学效率。

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 问题1：什么是勾股定理？ 复习回顾 问题2：什么是勾股定理的逆定理？ 如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 新知探究 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ 用卷尺分别测量AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则∠A＝90°，即AD⊥AB. A B C D （2）李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm. 边AD垂直于边AB吗? ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500， ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB 新知探究 A B C D 能检验. 在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? E F 新知探究 设 DF = x cm， 则 CF = EF = (8 - x) cm， 在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2， 则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3. ∴DF 的长为 3 cm. 思考：如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F. 你能求出DF的长吗? 解：∵点 E 是边 AD 的中点， ∴ DE = AD = 4 cm. x 4cm 8-x 8-x 8cm 完成课内学案P9例3 典例分析 例1、如图，在长方形ABCD中，已知AB＝8cm，BC＝10cm。在CD上取一点E，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处，求CE的长。 解：如图，∵四边形ABCD是长方形， ∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝10cm，∠D＝90°。 由折叠的性质，得△AFE≌△ADE。 ∴∠AFE＝∠D＝90°， AF＝AD＝10cm，EF＝DE。 设CE＝xcm，则EF＝DE＝CD－CE＝（8－x）cm。 在Rt△ABF中，∠B＝90°， AB2＋BF2＝AF2，即82＋BF2＝102。 ∴BF＝6cm（负值舍去）。 ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4（cm）。 在Rt△ECF中，∠C＝90°， EF2＝CE2＋CF2，即（8－x）2＝x2＋42， 解得x＝3。故CE的长为3cm。 例2、今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？(选自《九章算术》) D A B C 典例分析 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺. 在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2， 即 52+x2=(x+1)2， 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x=24， ∴ x=12，x+1=13. 答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. 典例分析 5尺 1尺 x x+1 典例分析 变式：一个滑梯的示意图如图所示，若将滑道AC水平放置，刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE＝3.6m，CD＝1.2m，求滑道AC的长度。 解：设滑道AC的长度为xm， 解：设滑道AC的长度为xm， 则AB＝xm，AE＝（x－1.2）m。 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°， 由勾股定理，得AE2＋CE2＝AC2， 即（x－1.2）2＋3.62＝x2，解得x＝6。 即滑道AC的长度为6m。故答案为6。 B 例3、如图，一个正方体盒子棱长为10cm，小蚂蚁位于盒子表面的A点，在B点处放有食物。若小蚂蚁只能沿着盒子表面爬行，请帮小蚂蚁算出从A点爬到B点的最短爬行路程的平方。 10cm 10cm 10cm 典例分析 典例分析 A B 前 上 A B A B 左 上 A B 前 右 A B C 解:如图所示 在Rt△ABC中, 利用勾股定理可得， AB 2 =AC2+BC2 =20 2+102 = 500 10 10 10 所以AB2=500. 总结归纳 正方体爬行最短路径 A B C D E F G H 方法总结： 侧面展开图中两点之间的连线段最短。 B C A E F G 变式、把正方体换为如图所示的长方体，长方体长2cm,宽1cm,高4cm,蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到E点，共有几种爬行方案？哪一种路径距离最短？最短距离的平方是多少？ 典例分析 典例分析 A B F G E H 2 4 1 前（后） 上（下） (1) A D H G E F 2 4 1 左（右） 上（下） (2) A B C F G E 4 2 1 前（后） 右 (左) (3) 典例分析 例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，求这只蚂蚁爬行的最短距离。 解：如答图，三级台阶平面展开图为长方形， 长为20dm，宽为（2＋3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长。 设蚂蚁从点A处沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得 x2＝202＋[（2＋3）×3]2＝252，解得x＝25。 故蚂蚁从点A处沿台阶面爬行到B点最短路程25dm。 典例分析 例5、如图，长方体的高是9cm，底面是边长为4cm的正方形。一只蚂蚁从点A出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点B处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 在Rt△ACB中，AC＝4×3＝12（cm）， 解：如图，将长方体的三个侧面展开。 BC＝9cm，∠ACB＝90°。由勾股定理， 得AB2＝AC2＋BC2＝122＋92＝152， ∴AB＝15cm（负值舍去）。 故这只蚂蚁爬行的最短路程是15cm。 课堂小结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建构 利用 决解 $