广东省汕头市潮阳区2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心知识，通过销售利润、矩形花园等生活情境及“平稳三角形”创新定义，实现基础巩固与能力提升的梯度设计，培养数学应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|根的判别式、二次函数对称轴、增长率问题|第3题以商店三年收入和为背景考查方程建模，体现应用意识| |填空题|5题|方程根与系数关系、二次函数顶点坐标|第14题多结论判断，综合函数性质与逻辑推理，培养推理能力| |解答题|7题|方程解法、函数解析式、几何应用与综合|第21题矩形花园面积最值问题融合几何与二次函数；第22题“平稳三角形”新定义，考查创新思维与跨知识综合应用|

2026-2027广东省汕头市潮阳区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．对称轴为y轴的二次函数是（　　） A． B． C． D． 3．某商店2020年全年收入500万元，2020、2021、2022这三年的全年收入的和为1820万元，若设该商店全年收入的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 4．抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 5．函数y＝﹣x2+2x+3图象顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 7．整式x+1与整式x﹣2的积为x2+ax+b，则一元二次方程x2+ax+b＝0的根是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表所示． x ﹣2 4 y 0 给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③若bm1bm2，且m1≠m2，则m1+m2＝2；④若点，均在二次函数图象上，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 11．一元二次方程（a﹣2）x2﹣ax+a2﹣4＝0的一个根为0，则a＝． 12．抛物线y＝x2﹣2x﹣m2+6，若其顶点在x轴上，则m＝． 13．若x1，x2是方程x2+x﹣3＝0的两根，则的值为． 14．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过（﹣1，﹣2），（1，0），（m，0）三点，其中m≠1．下列结论：①b＝1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则﹣1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b﹣1）x+c+1＞0的解集是﹣1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；⑤抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜﹣1．其中正确的是　 　 （填写序号）． 15．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a+3，当1≤x≤3时，函数有最大值3a，且函数图象过点（0，5），求a的值． 三．解答题（共7小题） 16．按要求解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0（用配方法）；（2）3x2﹣5x﹣2＝0（用公式法）． 17．求证：不论x，y为何实数，代数式x2+4y2+2xy﹣4y+5的值均不小于3． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣3k+9＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值． 19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点M（4，﹣3）是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 20．商店某种文具平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了促销，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件文具每降价1元，商店平均每天可多售出2件．（1）设每件文具降价x元，则商店日销售量为 件，每件文具盈利 元；（用含x的代数式表示）（2）在上述销售正常情况下，每件文具降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ 21．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 22．定义：若△ABC的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点F满足：，则称△ABC为“平稳三角形”． 如图，二次函数的图象与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． （1）求：二次函数的表达式； （2）若△ABC为“平稳三角形”，存在x轴上的一点F满足：，求证：F为△ABC的重心； （3）若△ABC为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求：△BDG的面积； （4）在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点E使得四边形ABCE为平行四边形，请直接写出点E的坐标． 2026-2027广东省汕头市潮阳区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查根的判别式的应用．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），其判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＜0时，方程没有实数根．解题的切入点就是分别计算各选项方程的判别式的值，然后判断其正负． 【解答】A选项：对于方程x2﹣2x﹣1＝0，其中a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．B选项：对于方程x2﹣2x＝0，即x2﹣2x+0＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝0，则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根．C选项：对于方程x2﹣x+1＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝1，则Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根．D选项：对于方程x2﹣x+2＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝2，则Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，方程没有实数根．综上，答案选D． 【点评】本题考查根的判别式这一基础知识点，关键是要牢记判别式公式并能准确代入数据计算，注意计算的准确性． 2．对称轴为y轴的二次函数是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的性质．对于二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其对称轴为直线x＝h；对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴为直线，当b＝0时，对称轴为y轴．解题的切入点就是分别分析各选项二次函数的对称轴． 【解答】A选项：对于y＝（x+2）2，其对称轴为直线x＝﹣2．B选项：对于y＝（x﹣2）2，其对称轴为直线x＝2．C选项：对于y＝x2+2，b＝0，其对称轴为直线x＝0，即y轴．D选项：对于y＝﹣（x﹣2）2，其对称轴为直线x＝2．所以答案是C． 【点评】本题考查二次函数对称轴的性质，关键是掌握二次函数不同形式下对称轴的求法，准确判断． 3．某商店2020年全年收入500万元，2020、2021、2022这三年的全年收入的和为1820万元，若设该商店全年收入的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．解题的关键是根据每年收入之间的关系列出方程．2020年全年收入为500万元，2021年在2020年基础上增长，收入为500（1+x）万元，2022年在2021年基础上增长，收入为500（1+x）2万元，三年收入和为1820万元． 【解答】2020年全年收入500万元；2021年全年收入为500（1+x）万元；2022年全年收入为500（1+x）2万元．因为这三年的全年收入的和为1820万元，所以可列方程500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．答案选B． 【点评】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，关键是理解年平均增长率的含义，正确表示出每年的收入． 4．抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换．对于抛物线的平移，遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的原则．解题的切入点就是根据这个原则对原抛物线进行平移变换． 【解答】抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，根据“左加右减自变量”，得到y＝（x+1）2+2．再向下平移2个单位，根据“上加下减常数项”，得到y＝（x+1）2+2﹣2＝（x+1）2＝x2+2x+1．所以答案是A． 【点评】本题考查二次函数图象的平移规律，关键是掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的原则并准确应用． 5．函数y＝﹣x2+2x+3图象顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的性质．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标的横坐标为，将横坐标代入函数可求得纵坐标．解题的切入点就是先求横坐标，再求纵坐标． 【解答】对于函数y＝﹣x2+2x+3，其中a＝﹣1，b＝2，c＝3．顶点横坐标．将x＝1代入函数y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣12+2×1+3＝﹣1+2+3＝4．所以顶点坐标是（1，4），答案选D． 【点评】本题考查二次函数顶点坐标的求法，关键是掌握顶点坐标公式并准确计算． 6．函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【分析】本题需分k＝0和k≠0两种情况讨论．当k＝0时，函数为一次函数；当k≠0时，函数为二次函数，此时可根据判别式Δ＝b2﹣4ac来判断与x轴的交点情况，这里用到二次函数图象与系数的关系这一知识点． 【解答】当k＝0时，函数y＝﹣2x+1是一次函数，与x轴有公共点．当k≠0时，函数y＝kx2﹣2x+1是二次函数，因为图象与x轴有公共点，所以Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，即4﹣4k≥0，解得k≤1且k≠0．综上，k≤1，答案选B． 【点评】本题考查二次函数与一次函数和x轴交点问题，关键是要分类讨论，注意不要遗漏k＝0的情况． 7．整式x+1与整式x﹣2的积为x2+ax+b，则一元二次方程x2+ax+b＝0的根是（　　） A．， B．， C．， D．， 【分析】先求出两个整式的积，得到a、b的值，再代入一元二次方程，最后用公式法求解方程的根． 【解答】（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x+x﹣2＝x2﹣x﹣2，所以a＝﹣1，b＝﹣2．则方程x2﹣x﹣2＝0，其中a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2．Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝1+8＝9．，解得，．答案选B． 【点评】本题考查整式乘法与一元二次方程的求解，关键是准确计算整式的积和运用公式法解方程． 8．一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝56＞0，进而可得出一元二次方程2x2+4x﹣5＝0有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0， ∴一元二次方程x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对称轴公式得到b与a的关系，再分别分析m和n的大小关系，用到二次函数图象与系数的关系这一知识点． 【解答】因为对称轴为直线x＝﹣1，所以，即b＝2a．m＝a+b＝a+2a＝3a，n＝a﹣b＝a﹣2a＝﹣a．因为a＞0，所以3a＞﹣a，即m＞n．答案选C． 【点评】本题考查二次函数对称轴与系数的关系，关键是根据对称轴公式得出b与a的关系，进而比较m和n的大小． 10．在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表所示． x ﹣2 4 y 0 给出下列结论：①abc＜0；②（a+c）2＜b2；③若bm1bm2，且m1≠m2，则m1+m2＝2；④若点，均在二次函数图象上，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】先根据表格中函数值相等的两点求出二次函数对称轴，再求出a、b、c，结合系数符号、代数式运算、等式变形、点到对称轴的距离，逐一判断四个结论对错． 【解答】解：由题意，x＝﹣2和 x＝4时，y值相等，都是， ， 1， b＝﹣2a， 已知，y＝0， 代入y＝ax2+bx+c， ， ． 将b＝﹣2a代入上式，， ∴． 函数解析式为． 将x＝﹣2，代入解析式， ， ∴， ， ∴， ． ∴，，． ①∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，①正确． ②， ， ， ∵（a+c）2＜b2，②正确． ③， ， （m1﹣m2）[a（m1+m2）+b]＝0， ∵m1≠m2a（m1+m2）+b＝0， ∴， ∵b＝﹣2a， ∴m1+m2＝2，③正确； ④对称轴直线x＝1，开口向下， 点离对称轴越远，函数值越小， ∴， ， ∴点离对称轴更远， ∴y1＜y2，④错误． 综上，①②③正确． 故选：A． 【点评】题目考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 二．填空题（共5小题） 11．一元二次方程（a﹣2）x2﹣ax+a2﹣4＝0的一个根为0，则a＝． 【分析】把x＝0代入方程，得到关于a的方程，求解后根据一元二次方程的定义舍去不符合的值． 【解答】把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣ax+a2﹣4＝0得：a2﹣4＝0，即（a+2）（a﹣2）＝0，解得a＝2或a＝﹣2．又因为方程是一元二次方程，所以a﹣2≠0，即a≠2，所以a＝﹣2． 【点评】﹣ 12．抛物线y＝x2﹣2x﹣m2+6，若其顶点在x轴上，则m＝． 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，根据顶点在x轴上时顶点纵坐标为 0 来求解m的值，用到二次函数的性质这一知识点． 【解答】y＝x2﹣2x﹣m2+6＝（x﹣1）2﹣m2+5，其顶点坐标为（1，﹣m2+5）．因为顶点在x轴上，所以﹣m2+5＝0，即m2＝5，解得． 【点评】﹣ 13．若x1，x2是方程x2+x﹣3＝0的两根，则的值为． 【分析】因为x1，x2是方程x2+x﹣3＝0的两根，所以，即；，即．解题的切入点就是利用根与方程的关系，将其代入所求式子计算． 【解答】因为x1是方程x2+x﹣3＝0的根，所以；因为x2是方程x2+x﹣3＝0的根，所以．则． 【点评】本题考查根与系数关系的简单应用，关键是理解根满足方程这一性质，代入计算时要细心． 14．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过（﹣1，﹣2），（1，0），（m，0）三点，其中m≠1．下列结论：①b＝1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则﹣1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b﹣1）x+c+1＞0的解集是﹣1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；⑤抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜﹣1．其中正确的是　①②④⑤　 （填写序号）． 【分析】把（﹣1，﹣2），（1，0）代入解析式求出b的值，判断①，把（m，0）代入y＝ax2+x+c，推出，求出m的范围，判断②，根据函数与不等式的关系，推出a＜0，判断③，求出顶点坐标，分a＞0，a＜0两种情况判断④，求出y1﹣y2，推出a的范围，判断⑤． 【解答】解：把（﹣1，﹣2），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得： ， ②﹣①，得2b＝2，解得b＝1；故①正确； 由①可知：b＝1且a+b+c＝0，则c＝﹣1﹣a，y＝ax2+x+c， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，则：c＞0， ∴c＝﹣1﹣a＞0，解得a＜﹣1， 把（m，0）代入y＝ax2+x+c，得am2+m+c＝0，则am2+m﹣1﹣a＝0， ∴a（m2﹣1）+（m﹣1）＝0， ∴（m﹣1）[a（m+1）+1]＝0， ∵m≠1， ∴a（m+1）+1＝0， ∴， ∵a＜﹣1， ∴， ∴﹣1＜m＜0；故②正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c+1＞0，即ax2+c+1＞0的解集为﹣1＜x＜1， ∴抛物线y＝ax2+c+1的开口向下， ∴a＜0；故③错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2+x﹣1﹣a ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵当a＞0时， ∴， ∴； 当a＜0时，（2a+1）2≥0，4a＜0， ∴k≥0， 当k＝0时，，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意； 故k＞0；综上：若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；故④正确； ∵y＝ax2+bx+c＝ax2+x﹣1﹣a， ∵抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立， ∴ ＝﹣2la﹣2l ＝﹣2l（a+1）＞0， ∵l＞0， ∴﹣2l＜0， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15．已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a+3，当1≤x≤3时，函数有最大值3a，且函数图象过点（0，5），求a的值． 【分析】本题解题需要用到二次函数的性质，以及点与函数图象的关系．先根据函数过点（0，5）求出a的初步表达式，再根据a的正负性讨论函数在1≤x≤3的最值情况，进而求出a的值． 【解答】因为函数y＝a（x﹣2）2﹣a+3过点（0，5），所以把x＝0，y＝5代入函数可得：5＝a（0﹣2）2﹣a+3，5＝4a﹣a+3，3a＝2，解得．函数y＝a（x﹣2）2﹣a+3的对称轴为x＝2．当a＞0时，在1≤x≤3上，x＝2时函数取得最小值，x＝1或x＝3时取得最大值，x＝1时，y＝a（1﹣2）2﹣a+3＝3，3a＝3，a＝1，与矛盾；当a＜0时，在1≤x≤3上，x＝2时函数取得最大值，y＝﹣a+3，由﹣a+3＝3a，解得，与a＜0矛盾．综上，本题无解（若题目条件无误，说明在给定条件下不存在满足要求的a值）． 【点评】本题综合考查二次函数性质以及点与函数图象关系，需要学生具备分类讨论和综合分析能力，容易在a的正负性讨论以及计算上出错． 三．解答题（共7小题） 16．按要求解下列方程：（1）2x2﹣3x+1＝0（用配方法）；（2）3x2﹣5x﹣2＝0（用公式法）． 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法和公式法．配方法的关键是将方程变形为完全平方式，公式法的关键是准确��定a、b、c的值并代入求根公式． 【解答】（1）用配方法解2x2﹣3x+1＝0：2x2﹣3x＝﹣1，，，，，x1＝1，．（2）用公式法解3x2﹣5x﹣2＝0，其中a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2．Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝25+24＝49．，，． 【点评】本题考查一元二次方程的基本解法，关键是熟练掌握配方法和公式法的步骤，计算时要仔细． 17．求证：不论x，y为何实数，代数式x2+4y2+2xy﹣4y+5的值均不小于3． 【分析】本题需要利用配方法将代数式变形为几个完全平方式与常数的和的形式，再根据完全平方式的非负性来证明． 【解答】．因为（x+y）2≥0，，所以，即不论x，y为何实数，代数式x2+4y2+2xy﹣4y+5的值均不小于3． 【点评】本题考查配方法的应用，关键是熟练掌握配方技巧，以及理解完全平方式的非负性． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣3k+9＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0来求k的取值范围；（2）根据根与系数的关系，，对变形后求解k的值． 【解答】（1）在方程x2﹣5x﹣3k+9＝0中，a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3k+9．Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3k+9）＝25+12k﹣36＝12k﹣11．因为方程有两个实数根，所以Δ≥0，即12k﹣11≥0，12k≥11，解得．（2）由根与系数的关系可得，．．因为，所以5（﹣3k+9）＝30，﹣3k+9＝6，﹣3k＝﹣3，解得k＝1，又因为，所以k＝1符合条件． 【点评】本题考查根与系数关系以及根的判别式的应用，关键是准确运用相关公式和定理，计算时要细心． 19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）． （1）求该二次函数的解析式． （2）请判断点M（4，﹣3）是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）将点（1，0），（2，1）的坐标代入y＝ax2+bx﹣3，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将x＝4代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【解答】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，0），（2，1）， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3； （2）解：当x＝4时，y＝﹣42+4×4﹣3＝﹣16+16﹣3＝﹣3， ∴点M（4，﹣3）在该二次函数的图象上． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 20．商店某种文具平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了促销，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件文具每降价1元，商店平均每天可多售出2件．（1）设每件文具降价x元，则商店日销售量为 件，每件文具盈利 元；（用含x的代数式表示）（2）在上述销售正常情况下，每件文具降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ 【分析】本题主要考查一元二次方程在销售问题中的应用．对于（1），根据题目所给的数量关系，用含x的式子表示日销售量和每件盈利；对于（2），根据“日盈利＝日销售量×每件盈利”列出一元二次方程求解． 【解答】（1）每件文具降价x元，因为每件文具每降价1元，商店平均每天可多售出2件，所以日销售量为（20+2x）件；原来每件盈利40元，降价x元后，每件文具盈利（40﹣x）元．（2）根据日盈利达到1200元，可列方程：（20+2x）（40﹣x） ＝ 1200．展开式子得：800﹣20x+80x﹣2x2＝ 1200．移项化为标准的一元二次方程形式：2x2﹣60x+400 ＝ 0，两边同时除以2得x2﹣30x+200 ＝ 0．因式分解得（x﹣10）（x﹣20）＝ 0．解得x1＝ 10，x2＝ 20．故每件文具降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据盈利关系列出方程，注意解方程时的准确性． 21．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把y＝34代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【解答】解：（1）∵三边栅栏总长为36米，AB＝x米， ∴BC＝（36﹣2x）米． ∴y＝x（36﹣2x），即y＝﹣2x2+36x． ∵墙长20米， 3a+b＜0， ∴8≤x＜18． （2）令y＝34，则﹣2x2+36x＝34， 解得x＝17或x＝1． ∵8≤x＜18， ∴x＝17， 当x＝17时，满足条件的花园面积能达到34平方米． （3）将y＝﹣2x2+36x化为顶点式为y＝﹣2（x﹣9）2+162， ∵8≤x＜18， ∴当x＝9时，y最大，最大面积是162平方米． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．定义：若△ABC的三个顶点都在二次函数的图象上，且存在x轴上的一点F满足：，则称△ABC为“平稳三角形”． 如图，二次函数的图象与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． （1）求：二次函数的表达式； （2）若△ABC为“平稳三角形”，存在x轴上的一点F满足：，求证：F为△ABC的重心； （3）若△ABC为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求：△BDG的面积； （4）在（3）的条件下，若平面直角坐标系中有一点E使得四边形ABCE为平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设AB，BC，AC边上的中点分别为M，N，P，连接FM，FN，FP，根据中点的定义得到，利用向量的加减法得出，结合可得，推出C，F，M三点共线，则F在△ABC的中线CM上，同理可得：F在△ABC的中线AN上，F在△ABC的中线BP上，再利用重心的定义即可证明； （3）由（2）中的结论得，G是△ABC的重心，设AC交x轴于点H，利用中点坐标公式求出A（﹣2，﹣2）和D（2，1），进而求出直线AD的表达式为，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解； （4）设点E的坐标为（p，q），根据平行四边形对角线互相平分，列出关于p，q的方程组，即可求解． 【解答】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）证明：如图1，设AB，BC，AC边上的中点分别为M，N，P，连接FM，FN，FP， ∵点M是AB的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴C，F，M三点共线， ∵点M是AB的中点， ∴CM是△ABC的中线， ∴F在△ABC的中线CM上， 同理可得，F在△ABC的中线AN上，F在△ABC的中线BP上， ∴F是△ABC三条中线的交点， ∴F为△ABC的重心； （3）解：∵△ABC为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G， ∴由（2）中的结论得，G是△ABC的重心， 如图2，设AC交x轴于点H， ∴BH是△ABC的中线， ∴点H是AC的中点， 设点A的坐标为，其中m＜0， 又C（0，2）， ∴， 解得：m1＝﹣2，（舍去）， ∴A（﹣2，﹣2）， ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC的中点， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴，即D（2，1）， 设直线AD的表达式为y＝kx+b，将A（﹣2，﹣2）与D（2，1）代入，得： ， 解得：， ∴直线AD的表达式为， 令y＝0，则， 解得：， ∴， ∴； （4）解：点E的坐标为（﹣6，0）．理由如下： 设点E的坐标为（p，q）， ∵四边形ABCE为平行四边形， ∴对角线AC与BE互相平分， 由（3）得，A（﹣2，﹣2），B（4，0），C（0，2）， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为（﹣6，0）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，中点的定义，向量的加减法，重心的定义，三角形的面积，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/2 8:51:03；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 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