6.6格点多边形的面积（皮克定理）（教案）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该教案聚焦格点多边形面积计算（皮克定理），通过复习分割、添补法，结合复杂格点图形引出格点概念，构建“旧知回顾-概念认识-问题发现-定理引入”的学习支架，衔接多边形单元转化思想。 其特色为原创探究链条，区分内部与边界格点并专项训练有序数点，设置双向验算任务，对比割补法与皮克定理优劣，落实几何直观、模型意识、推理意识。例如有序数边界格点避免漏数重复，双向验算强化结果验证，助力学生提升数感与严谨习惯，为教师提供实操性强的拓展教学方案。

人教版 五年级数学上册 小学 数学 教案 备课人： 授课人： 课题： 格点多边形的面积（皮克定理） 课型： 综合实践拓展课 特色： 承接多边形单元转化思想，构建 “旧方法回顾‑认识格点概念‑发现割补法局限‑引入皮克定理‑双向验算‑表格实操‑条件辨析‑方法择优” 原创探究链条；区分内部格点、边界格点，专门训练有序数点，破解重复数、漏数易错点；强调皮克定理适用前提，对比分割添补法与皮克定理优缺点；设置双向验算任务，先用割补算面积，再用公式验算；补充数学史料；明确本课为拓展阅读内容，考试不作硬性要求；落实几何直观、模型意识、推理意识，原创任务设计，全网无同款完整教案。 教材分析： 本课为人教版五年级上册多边形单元拓展实践内容，安排在规则图形、组合图形、不规则图形之后。学生已经熟练掌握分割法、添补法计算方格纸上多边形面积，但复杂图形分割步骤繁琐，计算量大。教材从方格纸抽象出格点图，给出格点多边形定义，引出皮克定理，配套画图填表验证活动。学生认知障碍：①分不清内部格点与边界格点，数边界格点时重复数顶点、漏数边上格点；②忽略使用前提，随便套公式到树叶这类非格点图形；③机械记忆公式，不会用割补法验算结果；④不理解什么时候适合用皮克定理。本课属于拓展阅读，不要求严格逻辑证明，重在学生多组实例猜想验证，渗透数学文化，为初中格点几何积累活动经验，落实新课标几何直观、推理意识、模型意识核心素养。 教学目标： 1. 知识与技能：认识格点、格点多边形；能够区分内部格点、边界格点；掌握皮克定理；会代入公式计算格点多边形面积；会使用分割法或者添补法对结果进行验算；清楚定理使用前提，知道非格点多边形不能套用。 2. 过程与方法：完整经历旧知回顾、概念识别、例题演算、画图填表、双向验算、条件辨析的探究流程；体会模型思想，提升数点计数、数形结合、归纳验证能力。 3. 情感态度价值观：了解皮克的数学史料，感受数学规律的简洁奇妙；养成得到结果主动验算的严谨习惯；知道拓展知识与考试必考内容的区别。 教学重点：认识格点多边形；读懂皮克定理字母含义，会代入计算；会用分割、添补法验算结果。 教学难点：有序数边界格点，避免漏数、重复数；理解皮克定理适用前提；体会两种解题方法各自优劣。 教学课时：1课时 教具准备：多媒体课件；方格格点学习单；直尺 教学方法：情境教学法、实操填表探究法、双向验算辨析法、小组合作法、讲练结合法 教学过程： 一、复习旧知，情境导入（5 分钟） 师：前面我们在方格纸上求多边形面积，常用哪两种方法？ 学生回顾：分割法、添补法。 教师出示一个线条复杂的格点多边形，请学生说一说感受。 预设学生：分割块数很多，计算步骤多，容易算错。 师：方格纸上横线竖线的交叉点，叫做格点。所有顶点都正好落在格点上的多边形，叫格点多边形。今天我们探究格点多边形的秘密，学习一个快速计算面积的有趣公式。板书课题《格点多边形的面积（皮克定理）》。 二、探究新知（24 分钟） 任务 1：认识概念，分清两类格点 课件标注： ：内部格点数：图形里面，不在多边形边上的格点。 ：边界格点数：多边形轮廓边上（包含顶点）所有格点。 教师示范有序数边界格点：沿着多边形轮廓一周依次点数，顶点不要重复计数。 任务 2：认识皮克定理，例题演算 教师介绍数学史料：奥地利数学家皮克经过大量研究，得到格点多边形面积公式（皮克定理）。 重要前提：方格相邻格点距离为 1，每个小方格面积是 1；只适用于格点多边形。 出示例题：格点多边形内部格点，边界格点，求面积。 学生板演代入计算： 小组任务：用分割或者添补法算出这个图形面积，进行双向验算，核对结果是否等于 6。 思辨追问：树叶不规则图形可以用皮克定理吗？ 小结：树叶顶点不在格点上，不能套用皮克定理。 任务 3：画图填表，多组实例验证 下发格点学习单，出示教材表格： 内部格点数 边界格点数 格点多边形面积 小组活动要求： 1. 在格点纸上自己画 2‑3 个不同格点多边形； 2. 数出每一个图形的、填入表格； 3. 先用皮克定理算面积； 4. 再用分割法或者添补法验算； 5. 对比两组结果是否一致。 教师巡视，重点指导学生有序数边界格点，纠正重复数、漏数。 任务 4：方法对比辨析 组织学生讨论：分割添补法 VS 皮克定理 分割添补法：通用所有多边形，复杂图形计算繁琐； 皮克定理：格点多边形计算快捷，但有严格使用条件，数格点容易数错。 ✅基础辨析练习： 判断：只要是多边形，都可以用皮克定理计算面积。（×，必须是格点多边形） 三、巩固拓展（11 分钟） 1. 基础题：一格点多边形内部格点，边界格点，用皮克定理求面积，再用割补验算。 2. 提升题：给出简单格点多边形图形，学生有序数、，代入公式计算。 3. 拓展思辨：简单长方形格点图形，你更喜欢用长方形面积公式，还是皮克定理？说一说理由。 四、课堂小结（3 分钟） 师生共同梳理课堂收获： 1. 格点多边形：所有顶点都落在格点上； 2. 皮克定理：；内部格点，边界格点； 3. 使用前提：仅限格点多边形，树叶等非格点图形不能使用； 4. 做题好习惯：新公式算完，尽量用旧方法验算； 5. 本课属于拓展阅读，考试不作硬性要求。 五、布置作业（1 分钟） 1. 完成学习单画图填表任务； 2. 思考题：画一个格点多边形，自己数、，分别用皮克定理和分割法计算面积。 板书设计： 格点多边形的面积（皮克定理） 格点：方格横竖线交点 格点多边形：顶点全部落在格点上 ：内部格点数（图形里面，不在边上） ：边界格点数（轮廓边上，含顶点） 皮克定理： ⚠适用前提：只用于格点多边形；树叶不能用！ 例题： 验算：分割 / 添补法，结果一致 两种方法对比 分割添补法：通用性强，复杂图形计算麻烦 皮克定理：格点图形计算快，数点容易出错 实操：画图→数→公式计算→旧法验算 教学反思： 本节课作为单元拓展实践课，学生复习巩固分割法、添补法，认识格点、格点多边形，大部分学生能够分清内部格点与边界格点，可以代入皮克定理进行简单计算，会使用割补法完成双向验算，知道定理有使用限制。课堂渗透数学史料，学生对神奇格点公式兴趣浓厚。 课堂暴露出典型难点：①数边界格点时，不少学生只会数顶点，漏掉边上的格点，或者顶点重复计数；②部分学生机械背公式，忽略 “格点多边形” 前提，想套用到树叶不规则图形；③部分学生不会主动用旧方法验算；④小学阶段不做严格证明，部分学生会追问公式为什么是 “‑1”。 后续改进措施：1. 强化数边界格点专项训练，教学生沿着图形一周有序点数；2. 增加条件辨析判断题，反复强调使用前提；3. 习题分层，学困生重点识别概念、看懂公式；完整的画图填表、双向验算任务交给学有余力学生；4. 向学生说明：“‑1” 严格证明超出小学知识，依靠多组实例验证；5. 后续可以作为课后趣味实践，鼓励学生继续自主画图探究。 1 学科网（北京）股份有限公司 $