第十五章 轴对称（复习课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了轴对称的核心知识，通过知识图谱将轴对称图形、成轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形及最短路径问题等内容串联，构建完整知识网络，体现各知识点内在逻辑联系。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”分层模式，如通过“将军饮马模型”讲解最短路径，结合坐标对称点规律培养几何直观，设计不同难度训练题发展推理能力，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

第十五章 轴对称 复习课件 人教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解轴对称图形、两个图形成轴对称、线段垂直平分线的定义；能区分轴对称图形与成轴对称；掌握等腰三角形、等边三角形概念，识别互逆命题。 02 工具掌握 会用尺规作线段垂直平分线、对称轴、过点作已知直线垂线；会画已知图形关于直线对称的图形；掌握平面直角坐标系中点关于 轴、轴对称的坐标变化规律。 深化理解 掌握轴对称的性质、线段垂直平分线性质与判定；理解等腰三角形 “等边对等角”“三线合一”，掌握等腰、等边三角形性质和判定；掌握直角三角形 30°角的性质。 思想与应用 利用轴对称思想解决几何计算、证明问题；会运用等腰、等边三角形性质解决实际问题；体会图形变换思想，能够结合坐标解决轴对称相关综合题型。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.区分轴对称图形与两个图形成轴对称，在复杂图形中准确找对称轴、对称点； 2.线段垂直平分线性质与判定区分运用，互逆命题的理解； 3.坐标系中利用坐标规律作轴对称图形，几何作图步骤规范书写； 4.等腰三角形 “三线合一” 的理解与综合推理，等腰、等边三角形分类讨论； 5.综合题型：结合轴对称、线段垂直平分线、特殊三角形完成线段、角度的推理计算。 1.轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，轴对称的性质； 2.线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线尺规作图； 3.画轴对称图形，平面直角坐标系中关于 x 轴、y 轴对称点的坐标规律； 4.等腰三角形、等边三角形的性质与判定； 5.直角三角形中 30° 角所对直角边等于斜边一半的性质，会利用性质进行计算证明。 4 知识图谱 轴对称 生活中的轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 作轴对称 等腰三角形 画轴对称图形 等边三角形 5 考点串讲 ——1：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 2.成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 对称轴 6 考点串讲 ——1：轴对称与轴对称图形 ①轴对称图形指的是一个图形，它被对称轴分成的两部分互相重合; ②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条； ③对称轴是一条直线. 两个图形成轴对称的三个条件: ①两个图形; ②存在一条直线(对称轴)； ③折叠重合. 归纳总结 7 考点串讲 ——1：轴对称与轴对称图形 3.性质： ①成轴对称的两个图形一定全等； ②对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； ③对应线段相等、对应角相等； ④如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 8 考点串讲 ——1：轴对称与轴对称图形 4.成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上   对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴   联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 9 考点串讲 ——1：轴对称与轴对称图形 5.常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴  角   1 角平分线所在的直线 等腰三角形   1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线   等边三角形     3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形   1 过上、下底中点的直线  长方形   2 对边中点的连线所在的直线  正方形   4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线  圆    无数条 过圆心的直线 10 考点串讲 ——2：线段的垂直平分线 1．概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 2．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. C B A ∟ P 几何语言：若点在线段的垂直平分线上，则。 3．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 11 考点串讲 ——2：线段的垂直平分线 4．三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. A B C P 12 考点串讲 ——3：互逆命题与互逆定理 1．互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 2．互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 注意：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。 注意：每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。 13 考点串讲 ——4：尺规作图 1.作已知线段的垂直平分线: 2.经过直线外一点作这条直线的垂线: ①分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线，就是线段的垂直平分线. ①以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； ②分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； ③作直线CF，CF就是所求作的垂线． A B C D 中点 A B C E D F 14 考点串讲 ——5：画轴对称图形 1.方法:几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.步骤: (1)找——在原图形上找特殊点(如线段的端点)； (2)画——画各个特殊点关于对称轴的对称点； (3)连——依次连接各对称点. 15 考点串讲 ——5：画轴对称图形 3.关于坐标轴对称的点的坐标:点()关于轴的对称点坐标是()； 点()关于轴的对称点坐标是(). -3 -2 -1 1 2 3 x O -3 -2 -1 1 3 2 y (x，y) (x，－y) (－x，y) 关于坐标轴对称的点的坐标特点： (1)关于轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数（横同纵反）; (2)关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同（纵同横反）! 归纳总结 16 考点串讲 ——6：等腰三角形 1.概念:有两条边相等的三角形是等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. A C B 顶角 底角 底角 底边 腰 腰 注意：等腰三角形的腰和底若没有明确说明，必须分类讨论，同时注意用三角形的三边关系进行验证. 17 考点串讲 ——6：等腰三角形 2.等腰三角形的性质:   文字语言 符号语言 图示  性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△中， ∵ ， ∴   性质2   等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△中，. ①∵ 平分， ∴ 且； ②∵ ， ∴ 平分且； ③∵ ， ∴ 平分且。 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 有一条对称轴，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴。 18 考点串讲 ——6：等腰三角形 3.等腰三角形的判定: ①定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 符号表示： 如图，在中， ∵， ∴ 等边对等角：证明角相等； 等角对等边：证明线段相等。 归纳总结 19 考点串讲 ——7：等边三角形 1.等边三角形的性质:   文字语言 符号语言 图示   性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60°       性质2   等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中， ①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD=CD； ②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC且BD=CD； ③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD， ∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC   轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 20 考点串讲 ——7：等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质: (1)任意两边都可以作为腰； (2)任意一个角都可以作为顶角; (3)任意一边上都有三线合一. 归纳总结 21 考点串讲 ——7：等边三角形 2.等边三角形的判定: 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ ， ∴△ 为等边三角形   判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵， ∴△为等边三角形 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵ ， ∴△为等边三角形 22 考点串讲 ——7：等边三角形 3.含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. B C A 30° 注意：该性质反过来说也成立. 即在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 23 考点串讲 ——8：最短路径问题 1.最短路径问题（将军饮马模型）: ①核心原理：两点之间，线段最短。借助轴对称化折为直，将折线距离转化为直线距离求解最小值。 ②同侧两点：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，连线与直线的交点即为动点最优位置； ③异侧两点：直接连接两点，连线与直线的交点即为所求位置。 24 题型全解 题型01 轴对称图形和成轴对称 例1随着我国人工智能技术蓬勃发展，各类国产人工智能平台已广泛应用于学习与生活当中．下列软件的官方标志图案中，属于轴对称图形的是（     ） 【解析】选项A： 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项B：不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项C：不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项D：不是轴对称图形，故本选项不符合题意． A 25 题型全解 题型01 轴对称图形和成轴对称 例2下列两个电子数字成轴对称的是（ ） 【解析】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． D 26 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 轴对称图形：一个图形自身沿某条直线对折，直线两旁部分能够完全重合；这条直线是对称轴。 ② 成轴对称：两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合。 ③ 性质：对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段相等，对应角相等。 ④ 垂直平分线：线上任意一点，到线段两端点距离相等。 总结2：解题方法技巧 ① 判断类型：分清是 “一个图形（轴对称图形）” 还是 “两个图形（成轴对称）”。② 找对称轴：连接两组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴。 ③ 作对称图形：找准关键点，作出关键点的对称点，依次连接各对称点。 题型01 轴对称图形和成轴对称 题型全解 题型02 坐标与图形的变化 例3在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则 ． 【解析】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 12 28 题型全解 题型02 坐标与图形的变化 例4 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出点A关于x轴的对称点的坐标为_______； (3)在x轴上找到一点P，使的和最小（标出点P 即可，不用求点P的坐标） 【解析】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点关于轴的对称点坐标为， （3）解：如图，点P即为所求， 29 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，点()⇒()。 ② 关于 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，点()⇒()。 ③ 图形轴对称：图形上所有关键点按坐标规律变换，再依次连接得到对称图形。 ④ 平移变化：左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标。 总结2：解题方法技巧: ① 求对称点坐标：分清对称轴是 轴还是 轴，套用坐标变化规律直接写结果。 ② 画坐标内对称图形：提取多边形顶点，求出各顶点对称点，顺次连接描点。 ③ 已知两个对称点，反推对称轴：对称轴是两点连线的垂直平分线。 ④ 区分平移、对称坐标变化，不要混淆横、纵坐标改变规则。 题型02 坐标与图形的变化 题型全解 题型03 线段的垂直平分线 例5如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【解析】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. A 31 题型全解 题型03 线段的垂直平分线 例6 如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是_______． 【解析】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 10 32 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 线段垂直平分线：垂直于线段，并且平分这条线段的直线。 ② 性质：垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等。 ③ 判定：到线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上。 ④ 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点距离相等。 总结2：解题方法技巧 ① 证线段相等：点在垂直平分线上，直接转化得到两条线段相等。 ② 判断点是否在垂直平分线上：证明该点到线段两端距离相等。 ③ 作垂直平分线：分别以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线 ④ 求最短距离、找外接圆心，可借助垂直平分线性质解题。. 题型03 线段的垂直平分线 题型全解 题型04 命题与定理 例7 下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【解析】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理，∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理，∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”），∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题，∴D错误． B 34 题型全解 题型04 命题与定理 例8 命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【解析】原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 若，则 假 35 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，可写成 “如果…，那么…” 的形式。 ② 真命题：题设成立，结论一定成立；假命题：题设成立，结论不一定成立。 ③ 定理：经过推理证实正确的真命题，可以作为推理依据。 ④ 逆命题：把原命题的题设和结论互换得到的新命题；定理不一定有逆定理。 总结2：解题方法技巧 ① 区分命题：看语句是否做出判断，疑问句、作图语句不是命题。 ② 改写命题：“如果” 后接题设，“那么” 后接结论，注意补全省略文字。 ③ 判断真假：真命题需要推理证明；假命题只需举出 1 个反例即可。例：交换题设与结论，写出原命题的逆命题，再判断真假。 ④ 分清命题、逆命题、定理、逆定理，逆命题为真才存在逆定理。 题型04 命题与定理 题型全解 题型05 等腰三角形 例9 如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． C 37 题型全解 题型05 等腰三角形 例10 如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【解析】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． C 38 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 ② 性质：两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上中线、底边上的高三线合一；是轴对称图形。 ③ 判定：两边相等的三角形为等腰三角形；两角相等的三角形为等腰三角形（等角对等边）。 总结2：解题方法技巧 ① 求角度：利用等边对等角设未知数，结合三角形内角和 180°列方程计算。 ② 证线段相等：优先使用等角对等边完成证明。 ③ “三线合一”：已知等腰 + 其中一线，可直接推出另外两条线的结论。 ④ 注意分类讨论：等腰三角形边长、角度问题，分清腰与底、顶角与底角，排除不能构成三角形的情况。 题型05 等腰三角形 题型全解 题型06 等边三角形 例11 如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【解析】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， A 在中，， ∴， ∴． 40 题型全解 题型06 等边三角形 例12 如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【解析】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， 41 题型全解 题型06 等边三角形 例12 如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 42 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 定义：三条边都相等的三角形，属于特殊的等腰三角形。 ② 性质：三边相等；三个内角都等于 60°；具备等腰三角形全部性质，有三条对称轴。 ③ 判定：三边相等的三角形；三个角都相等的三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形。 总结2：解题方法技巧 ① 角度计算：直接得到内角 60°，常和直角三角形结合求边角。 ② 证明等边：优先看是否是含 60° 角的等腰三角形，此判定使用频率最高。 ③ 辅助线：可作高、角平分线，直接得到 30° 直角三角形模型。例：等边三角形作高，分割成两个含 30° 的直角三角形。 ④ 注意：等边一定是等腰，但等腰不一定是等边。 题型06 等边三角形 题型全解 题型07 最短路径问题 例13 如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为___． 【解析】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 44 题型全解 题型07 最短路径问题 例14 如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 C 【解析】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点，， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，∴ ∵∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 45 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 ① 原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。 ② 将军饮马模型：作其中一个点关于直线的对称点，转化为两点之间线段求最短。 ③ 常见类型：两定一动、一定两动、两定两动，结合轴对称实现线段转移。 ④ 关键：通过对称把折线段变为直线段，交点即为所求动点位置。 总结2：解题方法技巧 ① 找对称轴：动点所在直线就是对称轴，作定点对称点。 ② 连接对称点与另一定点，连线和对称轴交点就是动点，线段长就是最短距离。例：求折线段 PA+PB 最小值，作 A 关于直线对称点 A′，A′B 长度即为最小值。 ③ 注意区分求最小值还是求周长最小，多动点问题多次作对称。 ④ 计算最短长度：常结合勾股定理求出线段数值。 题型07 最短路径问题 1．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是__ ____． 针对训练 解：∵平面镜中电子钟示数为“ ”。 与 左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“ ” 2．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 针对训练 解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 2．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 针对训练 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． B 针对训练 解：如图，过点作于，设与交于点， ∵， ∴， ∵将沿着一定方向平移到的位置， ∴，，，，， ∴， 3．如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 针对训练 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． B 针对训练 解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 4．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 针对训练 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 4．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 100° 针对训练 5．在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小；(2)求证：． （1）解：， ， ， 平分， ， 是垂直平分线， ， ， ， 针对训练 5．在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小；(2)求证：． （2）证明：在中，， ， 平分，，， ， ， ． 针对训练 6．如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． （1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 针对训练 6．如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． （2）∵， ∴， ， ∴； 针对训练 7．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． （1）解：由题意得，； 针对训练 （2）解：当时，，此时点在上，如图所示： ∴的面积； （3）解：存在， 理由如下：当以为底时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 针对训练 ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，如图所示： 则， ∴， 综上所述：存在，的值为或． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1.区分轴对称图形（一个图形）与两个图形成轴对称（两个图形位置关系）。 2.分清等腰、等边三角形从属关系：等边属于特殊等腰三角形。 3.分清互逆命题、互逆定理，原命题成立逆命题不一定成立。 4.坐标对称分类：关于 x轴对称，关于y轴对称。 ·核心概念 1.轴对称性质； 2.线段垂直平分线； 3.等腰三角形性质和判定； 4.等边三角形性质和判定。 5.直角三角形推论：直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。 6.画轴对称图形：找出关键点，作关键点的对称点，依次连接对称点得到图形。 7.坐标轴对称点。 ·答题注意事项 1. “三线合一” 只适用于等腰三角形，不可随意用在普通三角形。 2.等腰三角形求角度、边长，未指明顶角底角、腰和底边，必须分类讨论。 3.线段垂直平分线证明，两个方向性质不要混用。 4.坐标对称审题看清是 x 轴还是 y 轴，不要记反坐标变化。 61 人教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $