26.1二次函数的概念（分层作业，3大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，A组聚焦二次函数概念理解与关系式列写，B组深化定义应用，通过实际情境与参数讨论题，构建从基础到能力的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次函数概念识别、实际情境关系式列写|含研发资金、握手次数等生活情境题，强化模型意识| |B组|二次函数定义的参数求解|通过参数取值讨论题，提升推理能力，衔接阶段测评考点|

分层作业 26.1 二次函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 列二次函数关系式 题型02 二次函数的识别 B组 能力进阶 题型 根据二次函数的定义求参数 列二次函数关系式题型01 1．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林吉林·月考）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润yx（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 4．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 5．某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式_____________，它______(填“是”或“不是”)二次函数． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 7．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 8．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 二次函数的识别题型02 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+ D．s＝2t2﹣2t+1 2．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）二次函数的二次项系数为（   ） A． B．0 C．2 D．3 4．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26上·上海·期中）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 6．（25-26九年级上·新疆·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 7．下列各式：；其中是的二次函数的有________ 8．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 根据二次函数的定义求参数题型 1．（24-25九年级·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2．若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 3．若函数是二次函数，则有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏·月考）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 5．（24-25九年级上·上海·期末）已知是二次函数，那么的值是________． 6．已知二次函数，则_____，______，______． 7．已知函数   ① 当m＝ _________时，y是关于x的一次函数； ② 当m＝_________时，y是关于x的二次函数 ． 8．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.1 二次函数的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 列二次函数关系式 题型02 二次函数的识别 B组 能力进阶 题型 根据二次函数的定义求参数 列二次函数关系式题型01 1．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林吉林·月考）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 3．某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润yx（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 4．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】握手（无向）：只算1次，总次数根据互发信息（有向）问题：A发B、B发A是2次，无需除以2，得出结论． 【详解】解：名同学每人给人发信息，总次数． 5．某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式_____________，它______(填“是”或“不是”)二次函数． 【答案】 y＝x2－ 是 【详解】试题分析：设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，所以共握手x(x−1) 次，所以y＝x(x−1)＝x2－，是二次函数． 故答案为y＝x2－，是． 点睛：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是了解握手问题中两人之间相互握手一次． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·月考）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 8．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 二次函数的识别题型02 1．下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝x2+ D．s＝2t2﹣2t+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．不是二次函数，故本选项不符合题意； D．是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义． 2．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）二次函数的二次项系数为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数为3， 故选：D． 4．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义判断即可； 【详解】y＝2x﹣1是一次函数； y＝﹣2x2﹣1是二次函数； y＝3x3﹣2x2不是二次函数； ④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数； y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数； 故二次函数有1个； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键． 5．（25-26上·上海·期中）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 6．（25-26九年级上·新疆·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 7．下列各式：；其中是的二次函数的有________ 【答案】②⑤⑥ 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）． 8．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 根据二次函数的定义求参数题型 1．（24-25九年级·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 2．若函数是二次函数，则“”可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（为常数，）的函数是二次函数，据此可得答案． 【详解】解：根据二次函数的定义，“”可以是． 故选：C． 3．若函数是二次函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏·月考）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 5．（24-25九年级上·上海·期末）已知是二次函数，那么的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 6．已知二次函数，则_____，______，______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：，则， 故答案为：，，． 7．已知函数   ① 当m＝ _________时，y是关于x的一次函数； ② 当m＝_________时，y是关于x的二次函数 ． 【答案】 1 【解析】略 8．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围. 【详解】将点代入， 得36a+k=2， ∴， 当时，当时得， 解得， ∴， 故填. 【点睛】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点代入，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a用含k的代数式表示，解不等式组即可求解. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $