2.1 二次函数（分层作业）数学北师大版九年级下册

2.1 二次函数 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北张家口·期中）函数的常数项为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（   ） A．3，2， B．3，，1 C．，2， D．，， 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 6．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 7．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 9．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·云南玉溪·月考）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是 （写出自变量的取值范围） 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 12．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 13．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为 ． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 4.（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 5．（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形中，，，且，， (1)如图：为上的一点，满足，求的长； (2)如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线与于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段DC的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 二次函数 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，分析各选项是否符合此定义即可作答． 【详解】∵ 二次函数需满足最高次项为 且系数不为零， A、 为正比例函数； B、 为反比例函数； C. ，其中 ，符合二次函数定义； D. 为一次函数； 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北张家口·期中）函数的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．常数项是指多项式中不含变量的项，据此即可求解． 【详解】解：在函数中，是二次项，是常数项，因此常数项为． 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（   ） A．3，2， B．3，，1 C．，2， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，熟记二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的定义，判断出二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、2、 故选： 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确． 故选：D． 6．（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 7．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 8．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 10．（25-26九年级上·云南玉溪·月考）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是 （写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数， 且， 解得． （2）解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 12．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】(1)， (2)设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【详解】（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 13．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 4.（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将代入函数解析式得，， ∴， ∴ ． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 5．（23-24九年级上·北京石景山·阶段练习）如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】当点在上时，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，所以可得； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知，当时，重叠部分的面积为的面积；当时，重叠部分的面积为 等腰梯形的面积；当时，重叠部分的面积为 五边形的面积．分情况求出与之间的函数关系式即可； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知：的中点运动的路径为线段，利用勾股定理求出矩形的对角线的长度即可． 【详解】（1）解：如下图所示，当点在上时， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 故答案为； （2）解：当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为的面积， 是等腰直角三角形， 点到边上的高为， ； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 等腰梯形的面积， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， ， 整理得：； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 五边形的面积， 此时， ， ， 整理得：； 综上所述，与之间的函数关系式是； （3）解：如下图所示， 当点在上时，， ， ， ， 点是的中点， 的中点运动的路径为线段， ， 点 移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，解决本题的关键是要利用分类讨论的思想分情况求关系式． 1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题： (1)求线段的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或时，为直角三角形． 【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，过作于，证明，可得，再分两种情况列函数解析式即可； （3）如图，当，时，则，可得，求解；当时，证明，求解：（不符合题意，舍去）当时，此时，证明，可得；从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵和的长分别是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； （3）解：如图，当，时，则， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 同理可得：时不符合题意，舍去； 综上：当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形中，，，且，， (1)如图：为上的一点，满足，求的长； (2)如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线与于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段DC的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程） 【答案】(1)的长为或 (2)①；② 的长为或 【分析】本题考查了列二次函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形； （1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出P的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：是梯形，，． ， ，， ， ． ，即：， 解得：或． （2）①由（1）可知： ，即：， ． ②当时， ， ，即或， ， 解得：或 ， 或 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $