2.3.2 圆的一般方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的几何要素出发，系统梳理一般方程的定义（D²+E²-4F>0时的形式）、与标准方程的转化关系，以及点与圆位置关系的几何法和代数法判定，构建从概念到应用的学习支架。 资料以知识点分层（圆的一般方程、点与圆位置关系）和题型分类（7类题型含典例与变式）为特色，通过即学即练和变式训练培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（应用意识），如例3判断方程表示圆的参数范围提升抽象能力，分层练习兼顾课中教学与课后查漏补缺。

2.3.2 圆的一般方程 教学目标 确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程。 教学重难点 1.重点 （1）圆的一般方程的探求过程及其特点。 （2）判断点与圆的位置关系。 2.难点 用圆的一般方程解决有关问题。 知识点01 圆的一般方程 1.定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程得. （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【即学即练】 例1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 例2.（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 例3.（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 知识点02 点与圆的位置关系 1.位置关系的判定： 设所给点为，圆的标准方程为，圆心，半径为。 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 2.某点到圆上点的距离问题： （1）若点在圆内，则，； （2）若点在圆外，则，； （3）若点在圆上，则，。 【即学即练】 例1.（25-26高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 例2.（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 题型01 由圆的一般方程确定圆心和半径 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 【变式1】（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 【变式2】（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线上求得参数，然后可得圆的半径. 【详解】由题意，得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为． 因为圆心在直线上，所以，解得，所以半径. 故选：A. 【变式3】（25-26高三上·福建福州·期中）已知圆，则半径是_______． 【答案】 【分析】先将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，再根据标准方程确定圆的半径. 【详解】由圆，得到， 所以圆的半径为. 故答案为： 【变式4】（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 【答案】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，即可求出答案. 【详解】将圆的方程转化为标准方程为， 所以圆的半径. 故答案为：. 题型02 求圆的一般方程 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 【变式1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 【变式2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标 【详解】设圆的方程为. 因该圆过点，，，所以，解得. 因此圆的方程为. 化简得. 因此该圆的圆心为. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 【变式4】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知点、、． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率以及线段的中点坐标，可得出线段的垂直平分线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）设的外接圆方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意可知，直线的斜率为，线段的中点为， 故线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 将这个三角形三个顶点的坐标代入圆的方程得，解得， 故的外接圆方程为. 题型03 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例1】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 【变式1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【变式2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型04 圆过定点问题 【典例1】（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【变式2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【变式3】（25-26高二上·内蒙古·期末）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【变式4】（25-26高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是______. 【答案】 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 题型05 判断点与圆的位置关系 【典例1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 【变式3】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，所以圆心的坐标为，半径为，故I错误； 所以圆的面积为，故II正确； 因为，故原点位于圆外，故III错误． 故选：A. 【变式4】（25-26高二上·福建莆田·期中）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 题型06 点与圆的位置关系求参数 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 【变式3】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4】（25-26高二上·天津静海·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入点坐标并结合二元二次方程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 题型07 定点到圆上点的最值（范围） 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）实数满足：，则的最大值为__________. 【答案】6 【分析】数形结合，取，则表示线段的长度，结合圆的性质求解. 【详解】如图： 点为圆：上一点，, 则表示线段的长度. 所以，当共线且在点两侧时取等号. 故答案为：6 【变式3】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程得曲线表示圆的左半部分，圆心、半径，结合表示该半圆上的点到点的距离，数形结合确定最值即可. 【详解】由，则，两边平方整理得， 所以曲线表示圆的左半部分，圆心、半径，如图， 其中，而表示该半圆上的点到点的距离， 由，故在圆外， 由图知，的最大值为，最小值为. 故选：B 【变式4】（25-26高三·全国·一轮复习）若点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．8 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由配方可得，利用的几何意义结合圆的性质求其最小值可得结论. 【详解】因为， 表示点到点的距离的平方， 所以要求的最小值只需求圆上的点到定点的最小距离即可， 又圆心到的距离，而圆的半径， ， 所以原式的最小值为． 故选：C. 1．（25-26高二上·安徽宿州·期中）圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程整理为标准方程，进而得到圆心坐标. 【详解】圆的方程可整理为：，圆心坐标为. 故选：B. 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【详解】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 因为点在圆外， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 5.（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 6．（25-26高二下·上海杨浦·期末）圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 7．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆 ，则其直径长为_____. 【答案】2 【分析】根据圆的一般方程转化为圆的标准方程，求出圆的半径即可. 【详解】由，得， 所以圆的半径为1，则直径为2. 故答案为：2 8．（25-26高二上·河北邯郸·期末）若圆的半径为1，则______. 【答案】/ 【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可. 【详解】原方程可化为标准方程得：， 所以，解得. 故答案为： 9.（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 10．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 11．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 12．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）记点，点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由圆外一点到圆上一点的距离，即可解出答案. 【详解】因为，故点在圆外， 因为圆的半径，设圆心， 圆心与点的连线长， 故， 即， 故答案为：. 13．（25-26高二上·北京·期中）已知，点是圆上任意一点，则的最小值为________，最大值为________. 【答案】 4 6 【分析】根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果. 【详解】圆的圆心，半径， 则. 所以， . 故答案为：4；6. 14．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知直线：与：，则下列说法正确的是（    ） A．与交点坐标为 B．过与的交点且与垂直的直线方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．与的交点在圆内 【答案】BCD 【分析】求出交点坐标判断A；求出指定的直线方程判断B；求出三角形面积判断C；确定点与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，由，得，即与交点坐标为，A错误； 对于B，直线的斜率为，则与垂直的直线斜率为，该直线的方程，即，B正确； 对于C，与交点，与x轴的交点分别为， 则所求三角形面积，C正确； 对于D，由，得与的交点在圆内，D正确. 故选：BCD    15．（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 16．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 17．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 2.（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 3.（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知点，圆，点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则根据轴对称及两点之间线段最短的原则，知点与点的位置重合时，最小. 【详解】将圆方程化为标准方程为：， 圆心，半径，如下图所示： 作点关于x轴的对称点， 连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则， 又，所以 最小值为8. 故答案为：8. 4．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】问题转化为圆上的点到定点的距离最大值，应用两点距离公式及圆的性质求最大值即可. 【详解】由题设表示圆上的点到定点的距离， 而圆的圆心为，半径为2， 所以的最大值为. 故答案为： 5．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知. 故选：C. 6．（25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选题）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 7．（2026·江苏淮安·模拟预测）（多选题）在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 8．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 9．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 10．（25-26高二上·江苏无锡·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点与定点和定点的距离之比为2，其方程为，则________，若点，则的最小值为________. 【答案】 2 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求出m及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，，即， 整理得，则，解得，因此； 点，由，得在圆外，由，得在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 圆的一般方程 教学目标 确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程。 教学重难点 1.重点 （1）圆的一般方程的探求过程及其特点。 （2）判断点与圆的位置关系。 2.难点 用圆的一般方程解决有关问题。 知识点01 圆的一般方程 1.定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程得. （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 【即学即练】 例1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2.（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 例3.（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 知识点02 点与圆的位置关系 1.位置关系的判定： 设所给点为，圆的标准方程为，圆心，半径为。 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 2.某点到圆上点的距离问题： （1）若点在圆内，则，； （2）若点在圆外，则，； （3）若点在圆上，则，。 【即学即练】 例1.（25-26高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 例2.（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型01 由圆的一般方程确定圆心和半径 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式3】（25-26高三上·福建福州·期中）已知圆，则半径是_______． 【变式4】（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 题型02 求圆的一般方程 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【变式4】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知点、、． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)求的外接圆的方程． 题型03 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例1】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【变式3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 题型04 圆过定点问题 【典例1】（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【变式2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【变式3】（25-26高二上·内蒙古·期末）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点________. 题型05 判断点与圆的位置关系 【典例1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【变式4】（25-26高二上·福建莆田·期中）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 题型06 点与圆的位置关系求参数 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（25-26高二上·天津静海·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07 定点到圆上点的最值（范围） 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）实数满足：，则的最大值为__________. 【变式3】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高三·全国·一轮复习）若点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．8 B．3 C． D． 1．（25-26高二上·安徽宿州·期中）圆的圆心坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）若点在圆外，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·上海杨浦·期末）圆的圆心坐标为_________． 7．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆 ，则其直径长为_____. 8．（25-26高二上·河北邯郸·期末）若圆的半径为1，则______. 9.（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 10．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 11．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 12．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）记点，点在圆上，则的取值范围是__________. 13．（25-26高二上·北京·期中）已知，点是圆上任意一点，则的最小值为________，最大值为________. 14．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知直线：与：，则下列说法正确的是（    ） A．与交点坐标为 B．过与的交点且与垂直的直线方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．与的交点在圆内 15．（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 17．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 2.（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知点，圆，点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为__________. 4．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 5．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 6．（25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选题）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 7．（2026·江苏淮安·模拟预测）（多选题）在中，，的内心，下列说法正确的有（   ） A．的内切圆的半径为3 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 8．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 9．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 10．（25-26高二上·江苏无锡·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点与定点和定点的距离之比为2，其方程为，则________，若点，则的最小值为________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $