2.3.1 圆的标准方程&2.3.2 圆的一般方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦圆的方程核心内容，系统梳理圆的标准方程、一般方程（含参数条件）、点与圆位置关系（几何法与代数法）及隐圆问题（定长对定点、定角、定比），构建从定义到应用的完整学习支架。 资料通过分层例题与练习设计，如隐圆问题中阿氏圆轨迹推导，培养学生数学眼光（几何直观与代数抽象）、数学思维（逻辑推理与分类讨论）。表格对比位置关系判定方法，强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后便于学生针对性练习，弥补知识薄弱点。

2.3.1&2.3.2圆的方程 一、知识点 1.圆的方程 1）圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中的圆心为，半径为，则为圆的标准方程. 2）圆的一般方程 当时，方程称为圆的一般方程，其圆心为，半径为； 当时，方程，表示点； 当时，方程不表示任何图形，方程无解. 2.判断点与圆的位置关系 点与或的位置关系 几何法 代数法 点在圆内 或 点在圆上 或 点在圆外 或 3.与圆相关的轨迹方程问题（隐圆问题） 1）定长对定点 平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，如图1； 2）定长对定角 ①平面上两定点和的直线，互相垂直，则它们的交点的轨迹为圆，如图2； ②平面上两定点和所成视角为固定锐角或钝角的点的轨迹为一段圆弧，如图3； 3）定长对定比（阿氏圆） 设和是平面内两定点，若点恒满足（且），则点的轨迹是圆，该圆称为阿氏圆，如图4. 二、题型训练 1.根据圆的方程确定圆心与半径 例1.已知圆的标准方程为X-1，则此圆的圆心及半径长分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 例2.圆的圆心，坐标及半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 练习： 1.求出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径： （1）； （2）； （3）； （4）. 2.若直线平分圆的面积，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2.求圆的方程 例3.以点和为直径的端点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 例4.已知点，，为原点，则的外接圆方程为________. 例5.设点在直线上，点和均在上，则的方程为_______. 练习： 1.圆心在直线上，且与轴交于点和的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2.方程表示的曲线是（ ） A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 3.若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4.一圆与圆为同心圆，且面积为圆面积的两倍，此圆的标准方程为_________. 5.已知圆，为坐标原点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________. 6.如图，矩形的两条对角线交于，边所在直线的方程为，点在边所在直线上 （1）求边所在直线方程； （2）求点的坐标以及矩形外接圆的标准方程. 7.已知圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知圆的圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程. 3.根据圆的一般方程确定参数范围 例6.（多选）已知曲线（ ） A.若，则是圆 B.若，，则是圆 C.若，，则是直线 D.若，，则是直线 练习： 1. 表示一个圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.若表示圆，则实数的值为________. 4.判断点与圆的位置关系 例7.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例8.过若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为________. 练习： 1.点与圆的位置关系是（ ） A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定 2.若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.两条直线，的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.已知圆，当变化时，圆上的点到原点的最短距离是_________. 5.三点，，能否定圆？若能，判断与该圆的位置关系. 5.隐圆问题 例9.已知，，，动点满足P，则的取值范围为是（ ） A. B. C. D. 例10.若点到，的距离之比为，则点的轨迹方程为________. 练习： 1.已知，不同时为，过点作直线的垂线，垂足为，为原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的集合满足的方程是（ ） A. B. C. D. 3.已知动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的集合满足方程为_________. 4.已知某曲线上的点到定点与到定点的距离之比为，求此曲线的方程，并判定曲线的形状。 2 学科网（北京）股份有限公司 $