2026年中考数学真题完全解读（山东省青岛卷）

该初中数学中考复习资料覆盖数与式、函数、图形性质等核心模块，按19%、20%、33%等模块占比系统梳理考点，通过“基础夯实-能力提升-压轴突破”三阶策略，结合真题详解（如“伴点”新定义、矩形动点最值）突破难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于情境化与核心素养融合，如用“一维带电畴壁”科技情境培养数学眼光，乡村振兴利润问题强化模型观念，设“避坑提醒”（分式方程检验等）与分层训练，帮助学生提升运算与推理能力，教师可依考点细目表精准把控复习节奏，实现高效备考。

2026年山东青岛市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年山东青岛市中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共设置25道题，其中选择题9题（27分）、填空题6题（18分）、作图题1题（4分）、解答题9题（71分）。全卷立足课程标准，以“基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性”为导向，题型结构稳定、能力梯度清晰。选择题第1至9题覆盖绝对值、对称图形、三视图、科学记数法、幂的运算、统计量、圆周角、分式方程与正方形折叠，起点平缓、落点扎实；填空题第10至15题在基础运算之上逐步提升思维含量，第13题正五边形中心角与菱形判定、第14题圆切线阴影面积、第15题“伴点”新定义，探究性强；作图题第16题以尺规作图考查操作能力与几何直观；解答题第17至25题由解不等式组与分式计算、概率游戏公平性、频数直方图统计、解直角三角形应用、反比例函数与旋转矩形、平行四边形与正方形证明、小正方形排列探究、二次函数利润优化到矩形动点最值压轴，形成由易到难、层层递进的完整能力链条。全卷注重考查基础知识与通性通法，同时通过第4题“一维带电畴壁”前沿科技、第20题公园环湖观景步道、第24题乡镇企业乡村振兴等真实情境设计，将科技成就、地方元素与数学建模深度融入试题，突出对抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观、数据观念、模型观念与应用意识等核心素养的综合考查，充分体现青岛卷“素养立意、服务发展”的命题追求。 试题亮点 前沿科技与岛城生活情境交相辉映，凸显青岛卷时代底色：第4题以我国科研团队在三维晶体中发现“一维带电畴壁”为背景考查科学记数法，将芯片与超高密度存储的前沿科技融入数学；第20题以公园环湖观景路线中的木栈道与圆弧形观景步道为情境考查解直角三角形；第24题以乡镇企业发展特色产品为背景考查二次函数利润优化，呼应乡村全面振兴战略。全卷以科技成就、城市空间与产业实践为载体，在知识考查之外厚植家国情怀与时代意识。 函数与动态几何双线交织，数形结合与最值探究层层递进：第12题二次函数与x轴交点、第15题“伴点”新定义多函数辨析、第21题反比例函数与旋转矩形、第24题二次函数利润最大构成函数主线；第9题正方形折叠、第25题矩形动点垂直平分线与最值构成几何动态主线。选择题、填空题、解答题各题型均以函数图象与动态图形为载体，强调由“算”到“思”、由“静”到“动”的能力递进，凸显青岛卷对主干知识综合运用的重视。 新定义与递进式探究设问并举，思维过程成为区分核心：第15题定义“伴点”，要求辨析点与其伴点分属反比例、一次、二次函数的四种结论，综合考查方程与图象思想；第23题以“探究一、二、三”为线索，在三角形、梯形、五边形内排列小正方形，层层递进考查相似与归纳能力。全卷在常规考查之外设置多处新定义与过程性探究设问，重在考查学生的数学思维过程与创新意识。 命题趋势 基础题“送分到位”但运算与概念理解要求更深，拒绝机械刷题：第1题绝对值、第4题科学记数法、第10题积的乘方看似送分，但第2题对称图形需逐一辨析轴对称与中心对称、第5题幂的运算需区分四则运算法则、第6题平均数方差需读图判断波动，均对“真理解”提出更高要求。结合青岛近年中考，基础题保持“熟悉情境、多点设问”的风格，预计未来将继续以“反套路”设计检验学生是否真正掌握概念本质，而非仅靠题型记忆得分。 函数主线持续扩容，图象语言与代数推理深度融合：从第12题判别式判断交点、第15题“伴点”新定义，到第21题反比例函数与旋转矩形、第24题二次函数利润优化，函数题分值高、跨度大，且由“算函数”转向“用函数”。这一趋势与青岛作为科技创新型城市、数字经济快速发展的时代背景相呼应，预计未来函数题将进一步与真实情境、动态几何结合，强化建模能力与数形结合思想的考查。 新定义与过程性探究常态化，创新意识导向更加鲜明：第15题“伴点”新定义、第23题小正方形排列的“探究一、二、三”递进设问，显示青岛卷将新定义与过程性探究作为重要命题素材。作为山东教育强市的自主命题卷，青岛中考近年持续保持新定义、探究性风格，预计未来将以“给出情境—提出问题—归纳规律—迁移应用”为主线命制中高档题，注重考查思维过程与创新意识。 综合与实践真实情境入题，建模应用考查更趋成熟：第20题公园环湖观景路线、第24题乡镇企业产品生产与利润优化，第18题非遗剪纸展览门票的游戏公平性，呼应课程标准对“综合与实践”领域的强化。预计青岛卷将继续以项目化、生活化情境考查数学建模、数据分析和问题解决能力，引导学生用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达现实世界。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→绝对值→绝对值的计算 运算能力 2 单选 3 图形的变化→图形的对称性→轴对称与中心对称的识别 空间观念 3 单选 3 图形的变化→投影与视图→三视图的识别 空间观念 4 单选 3 数与式→科学记数法→科学记数法表示较小的数 运算能力 5 单选 3 数与式→整式的运算→幂的运算与整式加减 运算能力 6 单选 3 统计与概率→数据的集中与离散程度→平均数与方差的读图判断 数据观念 7 单选 3 图形的性质→圆→直径所对圆周角与圆周角定理 推理能力 8 单选 3 方程与不等式→分式方程→列分式方程解应用题 模型观念 9 单选 3 图形的变化→图形的折叠→正方形折叠与相似、勾股定理综合 推理能力 10 填空 3 数与式→整式的运算→积的乘方运算 运算能力 11 填空 3 图形的变化→图形的平移→平面直角坐标系中点的平移 空间观念 12 填空 3 函数→二次函数→二次函数与x轴交点个数与判别式 运算能力 13 填空 3 图形的性质→四边形→正多边形中心角与菱形判定 推理能力 14 填空 3 图形的性质→圆→切线的性质与阴影部分面积 推理能力 15 填空 3 函数→函数图象与解析式→“伴点”新定义与函数辨析 创新意识 16 作图 4 图形的性质→尺规作图→角平分线与垂线的尺规作图 几何直观 17 解答 8 方程与不等式→一元一次不等式组→解不等式组与分式化简计算 运算能力 18 解答 6 统计与概率→概率→列表法求概率与游戏公平性 数据观念 19 解答 6 统计与概率→统计→频数直方图与扇形统计图综合 数据观念 20 解答 6 图形的变化→解直角三角形→解直角三角形的实际应用 应用意识 21 解答 8 函数→反比例函数→反比例函数与旋转矩形综合 几何直观 22 解答 8 图形的性质→四边形→平行四边形与正方形的判定证明 推理能力 23 解答 9 图形的性质→相似三角形→多边形内排列小正方形的递进探究 推理能力 24 解答 10 函数→二次函数→二次函数利润最值的实际应用 模型观念 25 解答 10 图形的性质→矩形与动点→矩形动点最值与几何变换综合 推理能力 考点模块占比分析 数与式模块（约19%，23分）：对应第1、4、5、8、10、17题，重点考查绝对值、科学记数法、幂的运算、积的乘方、分式方程与解不等式组等基础内容，是全卷稳定得分的基本盘。 函数模块（约20%，24分）：对应第12、15、21、24题，覆盖二次函数判别式、“伴点”新定义、反比例函数与旋转矩形、二次函数利润最值，强调数形结合与模型建构。 图形的性质模块（约33%，40分）：对应第7、13、14、16、22、23、25题，涉及圆、正多边形、四边形、尺规作图、相似与矩形动点，是全卷推理能力考查的主阵地。 图形的变化与综合实践模块（约15%，18分）：对应第2、3、9、11、20题，通过对称图形、三视图、折叠、点的平移与解直角三角形综合考查图形的变化，体现动态几何与空间观念。 统计与概率模块（约13%，15分）：对应第6、18、19题，覆盖平均数方差、列表法求概率与游戏公平性、频数直方图与扇形统计图，考查数据观念与应用意识。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实基础概念与基本运算 （1）系统梳理数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等核心模块的基本概念、公式与定理，重点落实绝对值、科学记数法、幂的运算、积的乘方、分式方程（注意检验）、判别式等高频考点，确保基础题不失分。 （2）重视概念的本质理解而非机械记忆，如第2题对称图形需逐一辨析、第5题幂的运算需区分法则、第6题平均数方差需读图判断，建议通过变式训练与错题归因，纠正“会而不对、对而不全”的粗心失分。 2. 强化函数主线与动态几何，提升数形结合与推理能力 （1）以图象与性质为主线贯通反比例函数、二次函数，掌握“判别式—交点—最值—实际应用”的完整链条，重点训练第12、15、21、24题等函数综合题，强化待定系数法与数形结合思想。 （2）系统训练全等、相似、勾股定理、圆的性质、折叠与动点等几何推理工具，掌握第9、14、22、25题常见的辅助线构造与面积转化方法，规范几何证明与作图的语言表述。 3. 攻克新定义与探究压轴，培养创新思维与建模意识 （1）针对第15题“伴点”新定义、第23题递进式探究题，学会“阅读定义—翻译条件—分类讨论—代数计算”的分析流程，训练从特殊到一般的归纳迁移能力。 （2）将科技与生活情境（一维带电畴壁、环湖观景、乡村振兴产业）转化为方程、不等式、函数或统计模型，规范书写“设、列、解、验、答”，强化数学建模与应用意识。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×解分式方程忘记检验：分式方程需代入最简公分母检验，漏检验可能把增根当解，导致基础题失分。 ×对称图形辨析不完整：轴对称与中心对称是两个独立标准，第2题需对四个图形逐一判断两重属性，漏判任一标准都会选错。 ×几何证明跳步、凭感觉下结论：第22、25题需要完整的全等、平行四边形、正方形判定依据，缺步会被扣分。 ×压轴题不做分类讨论：第15题伴点结论辨析、第25题动点最值需分情形讨论，漏情形会漏解，务必画图分情况求解。 一、单选题 1．的绝对值为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：绝对值的计算 ►命题分析： （1）情境创设：以求一个数的绝对值为情境，直接考查绝对值概念，属于基础概念题。 （2）问题设计：给出四个候选值，要求学生选出该数的绝对值，检验对绝对值定义的理解。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求掌握绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：． 知识总结 ① 绝对值定义：，即一个数的绝对值是非负数。② 几何意义：绝对值表示数轴上该数对应的点到原点的距离。③ 易错点：绝对值的结果不可能为负数；负数的绝对值是它的相反数而非本身。 2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称与中心对称的识别 ►命题分析： （1）情境创设：以判断图形是否为轴对称图形但不是中心对称图形为情境，考查对称性概念的辨析，属于基础概念题。 （2）问题设计：给出四个图形，要求学生选出是轴对称图形但不是中心对称图形的选项，需对每个图形逐一判断两种对称属性。 （3）考查目标：考查学生的空间观念，要求理解轴对称与中心对称的定义并能准确识别。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，选项错误，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项正确，符合题意． 知识总结 ① 轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。② 中心对称图形：绕一个点旋转 后能与自身重合。③ 解题方法：对每个选项分别判断是否具备两种对称性，再按题目要求筛选，两个标准缺一不可。 3．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：三视图的识别 ►命题分析： （1）情境创设：以由5个小立方块搭成的几何体为情境，考查三视图的识别，属于空间想象基础题。 （2）问题设计：给出几何体图形，要求学生选出其左视图，检验从侧面观察几何体的空间想象能力。 （3）考查目标：考查学生的空间观念，要求能正确画出或识别几何体的三视图。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：由图可知，其左视图如图所示： ． 知识总结 ① 三视图：从正面看是主视图，从左面看是左视图，从上面看是俯视图。② 画法要点：左视图反映物体的高度与宽度，注意遮挡关系的处理。③ 判断技巧：先确定观察方向，再按层数、列数组合轮廓，逐一核对选项。 4．我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法表示较小的数 ►命题分析： （1）情境创设：以我国科研团队发现“一维带电畴壁”厚度为0.000000000255米为情境，考查科学记数法，将前沿科技与数学结合。 （2）问题设计：要求将极小的数0.000000000255用科学记数法表示，检验对负整数指数幂表示小数的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力与数感，要求掌握科学记数法表示小于1的正数的方法。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：． 知识总结 ① 科学记数法表示小数：，其中 ， 等于小数点向右移动的位数。② 本数 。③ 易错点： 必须满足 ，指数为负且与小数点移动位数一致。 5．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：幂的运算与整式加减 ►命题分析： （1）情境创设：以判断四个整式运算是否正确的是非题式情境，考查幂的运算与整式加减法则，属于基础运算题。 （2）问题设计：四个选项分别涉及积的乘方、幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法等，要求学生逐一辨析正误。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求能准确区分幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法与合并同类项的法则。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵与不能合并，， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 知识总结 ① 幂的乘方：；积的乘方：。② 同底数幂相乘：。③ 合并同类项：只有所含字母相同且相同字母指数也相同的项才能合并，系数相加、字母与指数不变。④ 易错点：不要把 当 ，同类项合并时指数不变。 6．为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平均数与方差的读图判断 ►命题分析： （1）情境创设：以甲、乙两名同学定点投篮练习的折线图为情境，考查从统计图读取数据并比较平均数与方差，贴近校园体育生活。 （2）问题设计：给出甲、乙各10次投中个数的折线图，要求学生判断平均数与方差的大小关系。 （3）考查目标：考查学生的数据观念，要求能结合统计图数据计算平均数、直观判断波动大小。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 知识总结 ① 平均数：反映数据平均水平，需由折线图读取每次投中个数后计算。② 方差：反映数据波动大小，波动幅度越大方差越大，可由折线起伏直观判断。③ 解题策略：先读图列数据，再计算平均数与方差，或利用波动幅度大小直接判断方差关系。 7．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：直径所对圆周角与圆周角定理 ►命题分析： （1）情境创设：以圆内直径、圆周角与三等分为情境，考查直径所对圆周角为直角与同弧所对圆周角相等，属于圆基础综合题。 （2）问题设计：已知直径上相关角的度数，要求学生利用直径所对圆周角为直角与同弧所对圆周角相等求未知角。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与几何直观，要求掌握圆周角定理及其推论。 答案与解析 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 知识总结 ① 直径所对的圆周角是直角，即 为直径时 。② 同弧或等弧所对的圆周角相等。③ 解题步骤：连接辅助线构造直角三角形，由已知角求所需角，再利用同弧圆周角相等转移角。 8．张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：列分式方程解应用题 ►命题分析： （1）情境创设：以张老师购买史学书与哲学书为情境，考查列分式方程解决实际问题的能力，贴近购书生活场景。 （2）问题设计：已知购书总额、单价关系与数量差，设哲学书单价为 元，要求学生列出正确的分式方程。 （3）考查目标：考查学生的模型观念，要求能依据数量关系列分式方程并理解方程的实际意义。 答案与解析 【答案】A 【分析】设哲学书单价为元，则史学书单价为元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可． 【详解】解：哲学书单价为元，则史学书单价为元．哲学书的购买数量为本，史学书的购买数量为本． ∵史学书比哲学书少2本， ∴． 知识总结 ① 列方程关键：用单价与总价表示购买数量，利用数量差这一等量关系列方程。② 本题：。③ 注意单价倍率方向：史学书单价是哲学书的1.2倍，则史学书单价为 ，数量为总价除以单价。 9．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：正方形折叠与相似、勾股定理综合 ►命题分析： （1）情境创设：以正方形沿对角线折叠为情境，考查折叠性质、相似三角形与勾股定理的综合运用，属于几何综合题。 （2）问题设计：已知正方形边长与折叠后的几何关系，要求学生求线段长度，需构造直角三角形列方程求解。 （3）考查目标：考查学生的空间观念、推理能力与运算能力，要求识别折叠中的全等与相似关系。 答案与解析 【答案】C 【分析】过作于，延长交于，根据正方形性质得四边形是矩形，根据矩形性质得，，，根据折叠性质得，，，进而求出，，根据直角三角形中30度所对边性质得，再根据勾股定理列方程求出 ，再根据求出，进而得，进一步求出、、、，即可得，再根据，，即可证明，进而得的长，最后根据计算即可得的长． 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴ ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴ ， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的长为． 知识总结 ① 折叠性质：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。② 常用辅助线：过关键点作垂线构造直角三角形（矩形），利用30直角三角形的性质与勾股定理列方程。③ 综合方法：先由折叠找等量关系，再由相似三角形对应边成比例建立比例式，最终用勾股定理求解线段长。 二、填空题 10．计算：＝________． 命题透视 ►核心考点：积的乘方运算 ►命题分析： （1）情境创设：以计算积的乘方为情境，考查积的乘方法则，属于基础运算题。 （2）问题设计：直接要求计算 形式的算式，检验对“积的乘方等于每个因式分别乘方再相乘”法则的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求熟练掌握积的乘方法则并准确计算。 答案与解析 【答案】 【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可． 【详解】=， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识总结 ① 积的乘方法则：，即积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。② 数字因数也要乘方，如 。③ 易错点：不要漏乘系数，注意与幂的乘方 的区别。 11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，则点的坐标为__________． 命题透视 ►核心考点：平面直角坐标系中点的平移 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中点的平移为情境，考查平移坐标变化规律，属于基础坐标题。 （2）问题设计：给出点的坐标与平移方向、单位数，要求学生求平移后点的坐标。 （3）考查目标：考查学生的空间观念与运算能力，要求掌握“左减右加、上加下减”的坐标变化规律。 答案与解析 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 知识总结 ① 平移规律：点 向右平移 个单位得 ，向左平移得 ；向上平移 个单位得 ，向下平移得 。② 口诀“右加左减、上加下减”，横坐标管左右、纵坐标管上下。③ 复合平移依次计算即可。 12．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 命题透视 ►核心考点：二次函数与x轴交点个数与判别式 ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数图象与x轴有两个交点为条件，考查一元二次方程判别式的应用，属于函数基础题。 （2）问题设计：给出含参数 的二次函数，要求写出使图象与x轴有两个交点的 的取值范围。 （3）考查目标：考查学生的运算能力与推理能力，要求理解二次函数与x轴交点个数和判别式的关系。 答案与解析 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 知识总结 ① 二次函数 与x轴交点个数对应 的实数根个数，由判别式 决定： 两个交点， 一个交点， 无交点。② 二次项系数 是隐含条件。③ 注意区分“两个交点”与“至少一个交点”在判别式上的不同要求。 13．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 命题透视 ►核心考点：正多边形中心角与菱形判定 ►命题分析： （1）情境创设：以正五边形中心及对角线构成四边形为情境，考查正多边形中心角、平行四边形与菱形判定，属于几何推理题。 （2）问题设计：由正五边形性质求中心角，再判定四边形为菱形并求角度，检验综合推理能力。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与几何直观，要求掌握正多边形中心角计算与菱形判定定理。 答案与解析 【答案】 36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 知识总结 ① 正 边形中心角为 ，正五边形中心角为 。② 正多边形各边相等，对角线有特定关系。③ 菱形判定：两组对边分别平行且邻边相等的四边形是菱形，或四边相等的四边形是菱形；利用菱形对边平行、对角线平分对角等性质求角度。 14．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 命题透视 ►核心考点：切线的性质与阴影部分面积 ►命题分析： （1）情境创设：以圆切线、平行线与扇形为情境，考查切线性质、等积转化与扇形面积计算，属于圆综合题。 （2）问题设计：已知切线与平行线关系，要求学生求阴影部分面积，需将不规则阴影转化为扇形面积。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与运算能力，要求掌握切线的性质与等积转化思想。 答案与解析 【答案】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 知识总结 ① 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。② 等积转化：同底等高的三角形面积相等，可将三角形面积替换为另一三角形面积，把阴影转化为规则图形（扇形）的面积。③ 扇形面积公式：（ 为圆心角），注意弧长与面积的区分。 15．我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 命题透视 ►核心考点：“伴点”新定义与函数辨析 ►命题分析： （1）情境创设：以“伴点”新定义为情境，考查点在函数图象上的条件与方程思想，属于新定义创新题。 （2）问题设计：定义点 的“伴点”，给出四个结论要求判断正误，涉及反比例、一次、二次函数三种情形。 （3）考查目标：考查学生的创新意识与推理能力，要求能理解新定义、将点在图象上转化为解析式满足关系并判断解的存在性。 答案与解析 【答案】①③ 【分析】根据伴点的定义，逐个验证四个结论，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，列方程或方程组判断解的存在性与个数即可． 【详解】解：① 对于点，，，其伴点为，因此①正确； ② 若和都在的图象上， 由在图象上，可得， 由在图象上，可得，即， 联立得，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误； ③ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，解得， ∴存在这样的点P，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上，因此③正确； ④ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，整理得， 因此可得或， 当时，代入得， 该方程有两个不同实根，对应两个不同的点； 当时，代入得， 该方程判别式大于，有两个不同实根，对应两个不同的点，综上共有个不同的点满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误． 综上，正确结论为①③． 知识总结 ① 理解新定义：先准确翻译“伴点”的坐标变换规则。② 点在函数图象上：坐标满足解析式，据此列出方程或方程组。③ 判断结论：分别把原点与伴点代入各类函数解析式，通过消元、判别式判断方程解的存在性与个数，注意排除矛盾情形。 三、解答题 16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，． 求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等． 命题透视 ►核心考点：角平分线与垂线的尺规作图 ►命题分析： （1）情境创设：以用直尺、圆规作满足条件的三角形为情境，考查角平分线与过直线外一点作垂线的尺规作图，体现操作能力。 （2）问题设计：求作三角形使点在角平分线上且边满足平行关系，保留作图痕迹不写作法。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与操作能力，要求理解角平分线与垂线作图的原理并能规范保留作图痕迹。 答案与解析 【答案】解：如图，为所求． 【分析】由于点到边，的距离相等，则点D在的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线，交于点D．由于，则，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作的垂线，交于点E，则为所求． 【详解】略 知识总结 ① 到角两边距离相等的点在角的平分线上，作角平分线交边得点 。② 过直线外一点作已知直线的垂线是基本尺规作图。③ 规范要求：不写作法但必须保留清晰作图痕迹，标注所求作的对象，体现几何直观与操作规范。 17．解不等式组、计算 (1)解不等式组： (2)计算：． 命题透视 ►核心考点：解不等式组与分式化简计算 ►命题分析： （1）情境创设：以“解不等式组、计算”为情境，综合考查一元一次不等式组求解与分式化简，属于基础计算题。 （2）问题设计：第（1）问求解不等式组取公共解集；第（2）问将分式除法转化为乘法、因式分解后约分再通分化简。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求熟练掌握不等式组求解与分式化简的完整步骤。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到最终结果； （2）将分式除法转化为乘法，分解因式后约分，再通分化简得到结果． 【详解】（1）解：   解不等式①得：， 解不等式②得，； 所以不等式组的解集为 ． （2）解：原式 ． 知识总结 ① 解不等式组：分别求解每个不等式，取解集的公共部分；注意不等式两边同乘或同除以负数时不等号方向改变。② 分式化简：除法变乘法取倒数，能因式分解的先分解，约分后再通分合并。③ 易错点：不等式组端点取值（是否含等号）、分式化简中符号处理。 18．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 命题透视 ►核心考点：列表法求概率与游戏公平性 ►命题分析： （1）情境创设：以非遗剪纸展览门票游戏为情境，考查列表法求概率与游戏公平性判断，体现概率与实际生活结合。 （2）问题设计：从A、B两盒各摸一球，用列表表示所有结果，比较颜色相同与不同的概率判断游戏公平性。 （3）考查目标：考查学生的数据观念与逻辑推理能力，要求掌握等可能事件概率计算并能作出决策。 答案与解析 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平． 【详解】略． 知识总结 ① 概率公式：。② 列表法适用于两步试验，本题6种等可能结果中颜色相同与不同各3种，概率均为 。③ 公平性：双方获胜概率相等则游戏公平，否则不公平；本题公平。 19．为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于小时． 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： ， ， ， ． 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下： 分组 组 （） 组 （） 组 （） 组 （） 人数 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下： 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图    所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： (1)补全频数直方图； (2)所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为________小时； (3)扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角度数为________； (4)该校共有名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生人数． 命题透视 ►核心考点：频数直方图与扇形统计图综合 ►命题分析： （1）情境创设：以调查学生在阅览室的一周阅览时长为情境，考查频数直方图、扇形统计图与用样本估计总体，贴近校园阅读生活。 （2）问题设计：第（1）问补全直方图；第（2）问求众数、中位数；第（3）问求扇形圆心角；第（4）问用样本估计总体。 （3）考查目标：考查学生的数据观念与应用意识，要求能读取统计图表、进行比例计算与数据推断。 答案与解析 【答案】(1)补全频数直方图如图所示， (2)；； (3) (4)估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人 【分析】（1）先根据组人数与占比算出样本总人数，再求出组的人数频数补全直方图即可； （2）根据全部数据以及样本总人数，找出出现最多的数据得到众数，取排序后第位数据平均值得到中位数； （3）求出组占样本总人数的比例，乘即可求出圆心角的度数； （4）先计算出本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，再根据用样本估计总体即可得出答案． 【详解】（1）解：∵组共人，扇形图组占， ∴本次抽样调查的总人数为：（人）， ∴组的人数为：， 补全频数直方图略； （2）解：根据抽取学生的一周阅览时长数据，本次抽样调查的总人数为人， 出现次数最多共次，所以众数为， 中位数是第个数的平均数，即：； （3）解：∵组共人， ∴组所对应的扇形圆心角度数为：； （4）解：本次抽样调查中阅览时长不低于小时人数，即组和组的人数和：（人）， 估计该校一周阅览时长不低于小时的学生人数为：（人）． 答：估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于小时的学生有人． 知识总结 ① 样本容量：由某组频数与占比反推总人数。② 众数、中位数：出现次数最多的数据；排序后中间位置的数据（偶数个取中间两个平均值）。③ 扇形圆心角：某组占比 。④ 用样本估计总体：总体人数 样本达标比例，注意取整与合理性。 20．如图是某公园的部分平面示意图，环湖观景路线由木栈道和圆弧形观景步道组成，，分别表示观景亭和喷泉．点，，在同一直线上，且点是所在圆的圆心，，米．在处测得，，在处测得，求，两点间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，） 命题透视 ►核心考点：解直角三角形的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以公园环湖观景路线中木栈道与圆弧形观景步道为情境，考查解直角三角形求距离，体现数学与生活、工程结合。 （2）问题设计：在多个直角三角形中利用三角函数求线段长度，综合运用圆的定义与已知角度计算两点间距离。 （3）考查目标：考查学生的应用意识与模型观念，要求能将实际情境转化为解直角三角形问题。 答案与解析 【答案】米 【分析】在中，利用的三角函数值求出、长，再利用圆的定义求出长，进而求出长，在中，利用进行求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，米． 米、米， 点是所在圆的圆心， 米， 米， ∵， 在中，， 米， 答：，两点间的距离为米． 知识总结 ① 解直角三角形：在直角三角形中由已知元素求未知元素，常用 、、 与勾股定理。② 建模步骤：识别图中的直角三角形，利用已知角与边长选择合适三角函数列式。③ 关联知识：圆的定义（圆心到圆上各点距离相等）、点共线等，注意精确到指定精度（如米）。 21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 命题透视 ►核心考点：反比例函数与旋转矩形综合 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形绕原点旋转后与反比例函数图象的关系为情境，考查旋转性质、待定系数法与数形结合解不等式，属于函数几何综合题。 （2）问题设计：第（1）问利用旋转与线段关系求点坐标；第（2）问求直线与x轴交点；第（3）问由图象直接写出不等式解集。 （3）考查目标：考查学生的几何直观、推理能力与运算能力，要求综合运用旋转性质、待定系数法与图象分析。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标； （2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标； （3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ，即， ， ，解得， ，， 四边形是矩形， ，， ； （2）解：由（1）得， ， 把，代入得，解得， ， 令得，解得， ； （3）解：， 应取轴正半轴上的图象在上方的部分， 当时，． 知识总结 ① 旋转性质：旋转前后图形全等，对应边相等。② 待定系数法：由两点坐标求一次函数解析式，令 求与x轴交点。③ 数形结合：不等式解集对应一个函数图象在另一个图象上方（含交点）的x范围，结合交点横坐标直接写出。 22．已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 命题透视 ►核心考点：平行四边形与正方形的判定证明 ►命题分析： （1）情境创设：以平行四边形中角平分线与中点、平行线为情境，考查全等三角形、平行四边形与正方形的判定，属于几何证明题。 （2）问题设计：第（1）问证明三角形全等；第（2）问判断四边形形状并证明，层层递进。 （3）考查目标：考查学生的推理能力，要求能依据全等判定与特殊平行四边形判定定理规范证明。 答案与解析 【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 知识总结 ① 全等判定：、、、、，书写时要写清对应元素与判定定理。② 特殊四边形判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；邻边相等的矩形是正方形。③ 角平分线结合平行线可得等腰三角形，是本题证明的关键突破口。 23．根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 命题透视 ►核心考点：多边形内排列小正方形的递进探究 ►命题分析： （1）情境创设：以“探究一、二、三”在三角形、梯形、五边形内排列边长为1的小正方形为情境，考查相似三角形与归纳能力，属于综合实践探究题。 （2）问题设计：三个探究层层递进：三角形内用相似求每层宽度，梯形内结合矩形与相似计算，五边形内分割成矩形与梯形综合求解。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与创新意识，要求理解逐层排列的思想，综合运用相似三角形、矩形性质进行计数。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； （3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数． 【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （2）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 知识总结 ① 核心思想：逐层排列，用相似三角形求每层位置的水平截面宽度，宽度除以小正方形边长取整得到该层个数。② 分层计算：底部几层宽度充足可直接排满，靠上位置截面变窄需用相似求宽。③ 复杂图形分割：把五边形等复杂图形分割成矩形与梯形分别计算再求和，注意层与层之间不重叠的约束。 24．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 命题透视 ►核心考点：二次函数利润最值的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以乡镇企业发展特色产品、计划投产为情境，考查二次函数拟合成本、利润最值与参数范围，体现乡村全面振兴背景。 （2）问题设计：第（1）问用待定系数法求成本函数；第（2）问列利润函数求最值；第（3）问求使利润随产量增大的售价最小值。 （3）考查目标：考查学生的模型观念与运算能力，要求能将实际问题转化为二次函数模型并求解最值、参数范围。 答案与解析 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 知识总结 ① 待定系数法：由两组数据代入 列方程组求系数。② 利润最值：总利润 总销售额 总成本，列出关于产量的二次函数，结合开口方向、对称轴与定义域求最值。③ 参数范围：售价作为参数时对称轴含参数，由“利润随产量增大而增大”转化为对称轴与定义域端点的位置关系列不等式求解。 25．如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 命题透视 ►核心考点：矩形动点最值与几何变换综合 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形中两动点运动、中线与对称求最值为情境，考查勾股定理、相似三角形与对称变换，属于动态几何压轴题。 （2）问题设计：第（1）问由垂直平分线求时间；第（2）问列四边形面积函数关系；第（3）问探究线段和的最小值，需构造对称点。 （3）考查目标：考查学生的空间观念、推理能力与运算能力，要求掌握动点问题分析、面积函数建立与将军饮马最值方法。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3)存在，此时的值为 【分析】（1）根据点在线段的垂直平分线上，得到，结合矩形的性质可得，得出，根据点的运动速度即可求解； （2）根据矩形的性质，结合勾股定理及正弦的定义求得，，．当动点，运动时，，，，．过点作于点，作于点，通过解直角三角形求得，，根据，结合三角形的面积公式即可求解； （3）证明，得到，因此，进而可推出，根据点是的中点，得到，从而，即当最小时，取得最小值．作点关于的对称点，连接，，，证明点，，在同一直线上，根据勾股定理求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边以的速度运动， ∴， ∴，解得． （2）解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， ， 在中，． 当动点，运动时，，， ∴，． 过点作于点，作于点， ∴在中，， 在中，， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：由（2）有，，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴在中，． ∵， ∴的最小值为， 此时，的最小值为， 即存在某一时刻，使的值最小，此时的值为． 知识总结 ① 垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到两端点距离相等。② 面积函数：用动点时间表示边长，通过图形面积关系（割补法）列出面积关于时间的函数。③ 最值转化：证明线段和等价转化为可度量距离，作点关于直线的对称点，利用“两点之间线段最短”与勾股定理求最小值，再反解时间。④ 注意分类讨论与定义域。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $