精品解析：2026年山东省中考数学试题

**基本信息** 2026年山东中考数学卷以真实情境为载体，融合文化传承与现实应用，如山东海域科学记数法、“行走大运河”健步走函数图像分析，突出数学眼光、思维与语言的核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、图形性质、科学记数法、三视图|结合山东地域数据（第3题16万平方公里）| |填空题|5/15|正多边形内角和、一元二次方程根、反比例函数交点|设计折叠动态问题（第15题平行四边形折叠）| |解答题|8/75|二次函数应用（踢枪运动）、几何综合（旋转）、统计调查（项目式学习）|古代矩盘测量实践（第21题）、京剧踢枪运动建模（第22题），体现跨学科应用与推理能力|

二〇二六年全省初中学生学业水平考试（山东统考） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列实数中，比1大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1比较，即可得出结果 【详解】解：∵负数小于正数，0小于正数， ∴，， 又∵，， ∴只有比1大 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 3. 山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，只需按要求确定和的值即可． 【详解】解：． 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看，分析看到的平面图形形状及线条即可． 【详解】解：从上面看，该几何体的俯视图为： 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，运算正确，∴B正确； C、，∴C错误； D、，∴D错误． 6. 如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 8. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图． 根据图中信息，下列结论正确的是（ ） A. 甲的跳绳成绩总是高于乙 B. 甲的跳绳成绩的众数为184 C. 甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D. 甲的跳绳成绩的方差小于乙 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进行判断即可． 【详解】解：由图可知，甲的成绩为：；乙的成绩为：； 对于A，第3天甲的成绩小于乙的成绩，故A错误； 对于B，甲的成绩中出现了2次，出现次数最多，众数是，故B错误； 对于C，甲的成绩从小到大排列为，中位数为； 乙的成绩从小到大排列为，中位数为； ，  甲的中位数大于乙，故C错误； 对于D，甲成绩的波动范围比乙成绩的波动范围小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确． 9. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可 【详解】解：由图象可知，小英在内行走了， 小英的速度为， ∵小杰在内行走了， 小杰的速度为， 小英途中停留了， 小英再次出发的时刻为第，此时路程为， 设小英追上小杰的时刻为出发后， 根据题意得：， 解得， 两人从起点出发， 小英追上小杰的时刻是． 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.   顶点的坐标为，   对称轴为直线，即，  ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，  ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________． 【答案】##720度 【解析】 【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式  代入计算即可． 【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数， 根据多边形内角和公式，得． 13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 14. 如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________． 【答案】 【解析】 【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件得出，进而发现的数值规律，求出的值即可求解． 【详解】解：联立， 解得（负值舍去） 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由折叠和推出 ，从而四边形是菱形，得 且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到且，结合可证并求得，最后通过面积法求，利用相似三角形求出，从而算出的面积． 【详解】解：连接，作， ，点是边的中点， ，根据折叠可知， ，， ， ， 由折叠可知， ， ， 由折叠可知， ， 四边形是菱形， ， 设交点为， 为中点， ，且， ， ， ， 在中，， ， ， 设交点为， ，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴． 在中，点E是的中点， ∴． 同理． ∵， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点E，F，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，结合，根据，即可证明； （2）根据三角形中位线的性质可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 【解析】 【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解； （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． 【小问2详解】 设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 19. 如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线． （2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，解得：，（负值不合题意已经舍去）， ∴， 设的半径为，即，则， ∵在中，， ∴，解得：， 答：的半径为， 【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”． 20. 某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查： 【调查内容】 关于项目式学习活动的调查问卷 问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选） ①绘制校园平面地图 ②读书长廊地面铺设设计 ③测量校园内旗杆高度 ④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究 问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选） A．查阅文献 B．上网查询 C．同伴合作 D．寻求指导 E．专业咨询问题 问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？ 【数据处理】 信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表． 解决困难的方式 A B C D E 选择人数 32 41 33 35 28 信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济． 【分析应用】 根据调查信息，解答下列问题： （1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图； （2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数； （3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率． 【决策建议】 （4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议． 【答案】（1）参与调查的学生总数为50人，补全条形统计图如下： （2）采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人 （3）两人恰好选择同一领域的概率为 （4）优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）由图可知，主题①的人数为5人，对应占比为，据此即可求解参与调查的总人数，由主题⑤的占比为可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计图； （2）根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解； （3）通过列表可得一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，即可求解； （4）根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议． 【小问1详解】 解：参与调查的学生总数为（人）， 选择项目⑤的学生人数为(人)，选择项目③的学生人数为（人），补全条形统计图略． 【小问2详解】 解：（人）， ∴采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人． 【小问3详解】 解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域， 列表如下： A B C A B C 由表可得，一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况， ∴两人恰好选择同一领域的概率为． 【小问4详解】 略 21. 我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． （1）如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 （2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可； （2）设，则，则中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得：，，，，，，， ∴， ∴中，， 即， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴中，， 即， 解得：， ∴， 答：城门楼的顶端到地面的距离约为． 22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】（1）如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 （2）丙的平均速度为米/秒 【解析】 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 23. 在中，，． 【观察与发现】 （1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 （2）如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）或2 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，根据，即可得出答案； （3）延长，并取点N，使，过点G作于点M，根据中位线的性质得出，，设，则，，，解直角三角形求出，，根据勾股定理得出：，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，并取点N，使，过点G作于点M，如图所示： 则， ∵， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，， ∴或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年全省初中学生学业水平考试（山东统考） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列实数中，比1大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图． 根据图中信息，下列结论正确的是（ ） A. 甲的跳绳成绩总是高于乙 B. 甲的跳绳成绩的众数为184 C. 甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D. 甲的跳绳成绩的方差小于乙 9. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A. B. C. D. 10. 如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 对任意实数，总成立 D. 若点，在抛物线上，则 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：________． 12. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________． 13. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 14. 如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________． 15. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 18. 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 19. 如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查： 【调查内容】 关于项目式学习活动的调查问卷 问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选） ①绘制校园平面地图 ②读书长廊地面铺设设计 ③测量校园内旗杆高度 ④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究 问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选） A．查阅文献 B．上网查询 C．同伴合作 D．寻求指导 E．专业咨询问题 问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？ 【数据处理】 信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表． 解决困难的方式 A B C D E 选择人数 32 41 33 35 28 信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济． 【分析应用】 根据调查信息，解答下列问题： （1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图； （2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数； （3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率． 【决策建议】 （4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议． 21. 我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． （1）如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 （2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 23. 在中，，． 【观察与发现】 （1）如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：． 【思考与探究】 （2）如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $