2026年中考数学真题完全解读（江苏省无锡卷）试卷评析

该初中数学中考复习讲义聚焦无锡中考核心考点，覆盖数与式、函数、图形性质、统计概率四大模块，通过考点细目表系统梳理知识网络，结合核心复习策略分层突破，配套真题解读与避坑提醒，形成“基础夯实-能力提升-压轴攻坚”的完整教学链条。 亮点在于数学文化与真实情境的深度融合，如第8题《九章算术》古算建模培养模型观念，第26题“丢沙包”实践活动强化应用意识，第28题“等截线”新定义探究提升推理能力。设置三级分层练习与即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应试能力。

2026年江苏省无锡市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年江苏省无锡市中考数学试卷总分150分，考试时间120分钟，共设置28道题，其中选择题10题（30分）、填空题8题（24分）、解答题10题（96分）。全卷立足课程标准，以“基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性”为导向，题型结构稳定、能力梯度清晰。选择题第1至10题覆盖正负数、分式有意义的条件、科学记数法、统计量、分式方程、函数图象平移、旋转、古算方程组、二次函数与一次函数交点解不等式、翻折面积等基础与中档内容，起点平缓、落点扎实；填空题第11至18题在基础运算之上逐步提升思维含量，第14题命题真假判断需主动构造反例，第15题以“答案不唯一”考查开放思维，第18题以四边形面积的存在性与参数范围收束填空，探究性强；解答题第19至28题由一元二次方程与整式运算、分式化简求值、几何证明、概率公平性、统计推断、尺规作图、圆的性质、抛物线建模、反比例函数面积定值到“等截线”新定义压轴，形成由易到难、层层递进的完整能力链条。全卷注重考查基础知识与通性通法，同时通过第8题《九章算术》浓酒淡酒问题、第13题窗棂图案、第26题“综合与实践——丢沙包中的数学”、第28题数学家波利亚的作图启发等设计，将数学文化、真实情境与探究性设问深度融入试题，突出对抽象能力、运算能力、推理能力、几何直观、模型观念与应用意识等核心素养的综合考查，充分体现无锡卷“立德树人、素养立意”的命题追求。 试题亮点 典籍数学与中华建筑智慧相映生辉，文化育人底色鲜明：第8题以《九章算术》“浓酒淡酒”问题考查二元一次方程组的建立，将中国古代算经智慧融入现代模型观念；第13题以传统窗棂图案的正六边形为背景考查正多边形外角定理；第28题引入数学家波利亚的名著启发新定义“等截线”的作图与论证。全卷多处以数学典籍、传统建筑与数学名著为载体，在知识考查之外浸润文化自信，体现无锡卷以文化人、以数启智的命题追求。 函数主线贯通全卷，数形结合与建模能力梯度递进：第6题考查一次函数图象平移，第9题借助二次函数与一次函数图象交点确定不等式解集，第15题以坐标系内点到原点距离考查函数概念，第16题以弹簧承重建立一次函数模型，第26题“丢沙包”综合实践以抛物线建模贯穿“发现模型—应用模型”活动全程，第27题反比例函数面积定值探究压轴。函数内容覆盖选择、填空、解答各题型，由图象识别到模型建构层层递进，凸显无锡卷对函数主线的重视。 新定义压轴与探究设问并立，思维过程成为区分核心：第28题定义“等截线”，将线段比、平行线、平行四边形与菱形判定融为一体，还要求理解波利亚的作图原理并给出逻辑证明；第18题以四边形面积相等的存在性探究与参数范围分类讨论；第10题翻折重叠面积的计算层层转化。全卷在常规考查之外设置多处探究性、开放性与新定义设问，重在考查学生的数学思维过程而非机械记忆。 命题趋势 基础题“平而不淡”，概念理解与运算规范仍是得分基石：第2题分式有意义的条件、第3题科学记数法、第11、12题基础运算与因式分解看似送分，但第4题众数中位数需结合统计意义理解、第14题命题真假判断需主动构造反例，均对“真理解”提出更高要求。结合无锡近年中考，基础题保持“熟悉情境、多点设问”的风格，预计未来将继续以“反套路”设计检验学生是否真正掌握概念本质，而非仅靠题型记忆得分。 函数主线持续扩容，图象语言与代数推理深度融合：从第6题图象平移、第9题交点解不等式，到第16题弹簧模型、第26题抛物线综合实践、第27题反比例面积定值，函数题分值高、跨度大，且由“算函数”转向“用函数”。这一趋势与无锡作为物联网示范城市、人工智能等新兴产业快速发展的时代背景相呼应，预计未来函数题将进一步与真实情境、动态几何结合，强化建模能力与数形结合思想的考查。 数学文化与新定义探究常态化，创新意识导向更加鲜明：第8题《九章算术》、第13题窗棂图案、第28题波利亚“等截线”新定义，显示无锡卷将数学史、传统文化与探究性设问作为重要命题素材。作为江苏教育强市，无锡中考压轴题近年持续保持新定义、探究性风格，预计未来将以“给出新概念—理解定义—迁移论证”为主线命制压轴题，注重考查学生的思维过程与创新意识。 综合与实践真实情境入题，项目式学习考查更趋成熟：第26题完整呈现“丢沙包”综合与实践活动的“发现模型—应用模型”过程，第23题以八年级学生家务劳动统计考查数据观念与决策评价，呼应2022年版课程标准对“综合与实践”领域的强化。预计无锡卷将继续以项目化、生活化情境考查数学建模、数据分析和问题解决能力，引导学生用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达现实世界。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→正数和负数→相反意义的量 抽象能力 2 单选 3 数与式→分式→分式有意义的条件 运算能力 3 单选 3 数与式→科学记数法→科学记数法的表示 运算能力 4 单选 3 统计与概率→数据的集中趋势→众数与中位数 数据观念 5 单选 3 方程与不等式→分式方程→分式方程的解法 运算能力 6 单选 3 函数→一次函数→一次函数图象的平移 几何直观 7 单选 3 图形的变化→图形的旋转→旋转角的概念与计算 空间观念 8 单选 3 方程与不等式→二元一次方程组→列方程组解古算应用题 模型观念 9 单选 3 函数→二次函数→二次函数与一次函数交点解不等式 几何直观 10 单选 3 图形的变化→图形的翻折→翻折与勾股定理面积计算 空间观念 11 填空 3 数与式→二次根式→二次根式的运算 运算能力 12 填空 3 数与式→因式分解→提公因式与平方差公式 运算能力 13 填空 3 图形的性质→多边形→正多边形外角和 推理能力 14 填空 3 数与式→实数→实数比较与命题真假的判断 推理能力 15 填空 3 函数→平面直角坐标系→点到原点距离与开放设问 创新意识 16 填空 3 函数→一次函数→一次函数的实际应用 应用意识 17 填空 3 图形的性质→四边形→正方形中点与线段长度计算 几何直观 18 填空 3 图形的性质→四边形→四边形面积存在性探究 推理能力 19 解答 8 方程与不等式→一元二次方程→公式法解一元二次方程与整式运算 运算能力 20 解答 8 数与式→分式→分式的化简求值 运算能力 21 解答 10 图形的性质→三角形→全等三角形的判定与等腰三角形 推理能力 22 解答 10 统计与概率→概率→列表法求概率与游戏公平性 数据观念 23 解答 10 统计与概率→统计→频数分布表与用样本估计总体 数据观念 24 解答 10 图形的性质→尺规作图→垂直平分线与菱形的尺规作图 几何直观 25 解答 10 图形的性质→圆→切线的性质与阴影部分面积 推理能力 26 解答 10 函数→二次函数→二次函数模型的实际应用 模型观念 27 解答 10 函数→反比例函数→反比例函数图象与面积定值 推理能力 28 解答 10 图形的性质→新定义探究→“等截线”新定义与几何推理 推理能力 考点模块占比分析 数与式模块（约27%，40分）：对应第1、2、3、5、8、11、12、14、19、20题，重点考查正负数、分式与分式方程、科学记数法、因式分解、二次根式、解一元二次方程与分式化简求值等基础内容，是全卷稳定得分的基本盘。 函数模块（约21%，32分）：对应第6、9、15、16、26、27题，覆盖一次函数图象平移与实际应用、二次函数与一次函数交点解不等式、抛物线建模、反比例函数面积定值等内容，强调数形结合与模型建构。 图形的性质模块（约33%，49分）：对应第13、17、18、21、24、25、28题，涉及正多边形、正方形与四边形、全等与等腰三角形、尺规作图、圆的性质与新定义几何探究，是全卷推理能力考查的主阵地。 图形的变化与综合实践模块（约4%，6分）：对应第7、10题，通过旋转角计算与翻折重叠面积综合考查图形的变化，体现动态几何与空间观念。 统计与概率模块（约15%，23分）：对应第4、22、23题，覆盖众数中位数、列表法求概率与游戏公平性、频数分布表与用样本估计总体，考查数据观念与应用意识。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实基础概念与基本运算 （1）系统梳理数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等核心模块的基本概念、公式与定理，重点落实科学记数法、分式与分式方程（注意检验）、因式分解、一元二次方程、正多边形外角和等高频考点，确保基础题不失分。 （2）重视概念的本质理解而非机械记忆，如第14题命题真假判断需举反例、第4题众数中位数需结合统计背景理解，建议通过变式训练与错题归因，纠正“会而不对、对而不全”的粗心失分。 2. 强化函数主线，提升数形结合与模型建构能力 （1）以图象与性质为主线贯通一次函数、反比例函数、二次函数，掌握“图象平移—交点—不等式解集—实际建模”的完整链条，重点训练第9、16、26、27题等跨选择、填空与解答的函数综合题。 （2）将真实情境（丢沙包、弹簧承重、家务劳动统计）转化为函数或统计模型，规范书写“设、列、解、验、答”，强化数学建模与应用意识，适应综合与实践题型的考查要求。 3. 攻克几何探究与压轴题，培养逻辑推理与创新思维 （1）系统训练全等、相似、勾股定理、圆的性质等几何推理工具，掌握第21、24、25题常见的辅助线构造与面积转化方法，规范几何证明的语言表述与推理依据。 （2）针对第18、28题等探究性、新定义题，学会“阅读定义—翻译条件—画出图形—分类讨论—代数计算”的分析流程，主动积累波利亚式“怎样解题”的思考方法，提升思维品质与压轴题得分能力。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×解分式方程忘记检验：分式方程需代入最简公分母检验，漏检验可能把增根当解，导致基础题失分。 ×只记外角和为却不懂正多边形各外角相等：第13题机械套用公式易出错，应先理解定理再计算。 ×几何证明跳步、凭感觉下结论：第21、24题需要完整的全等判定与菱形判定依据，缺步会被扣分。 ×压轴题新定义不耐心读题：第28题“等截线”需先理解定义再作图推理，急于下笔容易答非所问。 一、单选题 1．如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相反意义的量与正负数的表示 ►命题分析： （1）情境创设：以汽车加油、消耗油的现实生活为情境，用正负数表示相反意义的量，体现数学源于生活。 （2）问题设计：已知“加油记作正”，要求学生判断“消耗油”应记作什么，属于直接的概念辨析。 （3）考查目标：考查学生的抽象能力，要求理解正负数是表示相反意义量的工具，能正确建立符号与现实的对应关系。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：∵ 加油记作， ∴ 消耗油记作. 知识总结 ① 相反意义的量：具有相反意义的两个量（如加油与消耗、上升与下降）可分别用正数和负数表示。② 关键是将“基准/规定方向”找准，通常规定一种方向为正，则相反方向为负。③ 拓展：正负号在温度、海拔、收支、水位变化等情境中广泛使用，注意结合生活实际理解符号含义。 2．使分式有意义的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：分式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：以分式有意义的代数条件为情境，直接考查分母不为零的约束，属于基础概念题。 （2）问题设计：四个选项给出不同的取值范围，要求学生判断使分式有意义的 的取值范围，检验对分母约束的理解。 （3）考查目标：考查学生的运算能力与抽象能力，要求准确把握“分母不为零”这一分式有意义的核心条件。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴. 知识总结 ① 分式有意义的条件：分母不为零，即 有意义当且仅当 。② 解题步骤：令分母等于0，解出使分母为0的值，排除该值即可得到取值范围。③ 易错点：不要与分式值为零的条件混淆——分式值为零要求分子为零且分母不为零。 3．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以截至2025年12月我国生成式人工智能用户数602000000为真实数据情境，考查科学记数法的表示，体现科技与数学的结合。 （2）问题设计：将较大整数改写为 （， 为正整数）的形式，检验学生对表示规则的理解。 （3）考查目标：考查学生的运算能力与数感，要求掌握科学记数法的基本规则及整数位数与指数 的关系。 答案与解析 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，需要满足，为整数．题中数据的小数点向左移动位，可以得到，此时，即可求解． 【详解】解：． 知识总结 ① 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。② 对于大于1的数， 等于原数的整数位数减1；确定 时把小数点移到第一个非零数字之后。③ 易错点： 必须满足 ，且注意单位换算（如万、亿）后再表示。 4．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 命题透视 ►核心考点：众数和中位数的计算 ►命题分析： （1）情境创设：以体育课5名男生引体向上训练成绩为情境，考查数据的集中趋势，贴近校园生活。 （2）问题设计：给出5个数据，分别求众数与中位数，检验学生对两种统计量的概念辨析与计算方法。 （3）考查目标：考查学生的数据观念，要求掌握众数（出现次数最多的数）与中位数（排序后中间位置的数）的计算。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：∵数据，，，，中出现次数最多， ∴众数为． ∵将数据从小到大排列后，第个数据为， ∴中位数为． 知识总结 ① 众数：一组数据中出现次数最多的数据，众数可能不唯一。② 中位数：将数据按从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数据；数据个数为奇数时取中间一个，为偶数时取中间两个的平均数。③ 易错点：求中位数前必须先排序，众数不必排序，注意题目数据个数为奇数还是偶数。 5．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：分式方程的解法 ►命题分析： （1）情境创设：以求解分式方程为情境，考查去分母、解整式方程与验根的全过程，属于常规计算题。 （2）问题设计：给出四个候选解，要求学生选出分式方程的解，检验对方程变形和检验步骤的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求掌握“去分母—解整式方程—检验”的分式方程求解流程，理解增根概念。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 知识总结 ① 分式方程解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解。② 必须检验：将解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，应舍去。③ 易错点：去分母时不要漏乘不含分母的项；解出后务必检验，增根不能作为方程的解。 6．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一次函数图象的平移 ►命题分析： （1）情境创设：以一次函数图象向上平移为情境，考查函数图象平移规律，属于基础函数题。 （2）问题设计：给出一次函数，要求写出其图象向上平移2个单位后对应的函数表达式，检验平移规则。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与运算能力，要求掌握“上加下减”的图象平移规律及对表达式的影响。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 知识总结 ① 图象平移规律：一次函数 的图象向上平移 个单位，得 ；向下平移得 ，即“上加下减”。② 左右平移改变自变量，规律为“左加右减”：向左平移 个单位得 。③ 关键理解：上下平移只改变截距，不改变斜率。 7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：旋转角的概念与计算 ►命题分析： （1）情境创设：以三角形绕点旋转为情境，考查旋转角的概念及角度计算，体现图形变换的几何直观。 （2）问题设计：已知旋转前后的角度关系，要求学生求出旋转角的度数，检验对“旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角”的理解。 （3）考查目标：考查学生的空间观念与推理能力，要求理解旋转的本质并利用角的关系计算。 答案与解析 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 知识总结 ① 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。② 旋转角定义：对应点与旋转中心连线的夹角，即旋转前后对应边（或对应点与中心连线）的夹角。③ 解题关键：找准旋转中心与对应点，利用三角形内角和与角差关系求旋转角。 8．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：列二元一次方程组解应用题 ►命题分析： （1）情境创设：以《九章算术》浓酒淡酒问题为情境，考查将古代算经文字转化为二元一次方程组，体现数学文化与数学建模。 （2）问题设计：给出“买酒2斗共30钱”的条件，要求学生列出关于浓酒、淡酒斗数的方程组，检验建模能力。 （3）考查目标：考查学生的模型观念与抽象能力，要求能依据题意设未知数并准确建立等量关系。 答案与解析 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 知识总结 ① 列方程组的关键：设出未知数后，从题意中找出两个等量关系（总斗数与总钱数），分别列方程。② 《九章算术》是我国古代数学名著，这类“古算建模”题需先准确理解文言条件再转化为代数式。③ 拓展：古算题常含单位换算（如斗、升），注意统一单位，检验结果是否符合题意。 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 命题透视 ►核心考点：二次函数与一次函数图象交点解不等式 ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数与一次函数图象的交点求不等式解集为情境，考查数形结合思想，属于函数综合题。 （2）问题设计：给出两函数图象交点及点在 轴上的条件，要求学生由图象确定不等式 的解集。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与推理能力，要求能够将代数不等式转化为图象位置关系。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 知识总结 ① 数形结合解不等式：不等式 的解集，即函数 的图象在 图象上方（含交点）对应的 范围。② 关键先由已知点求出交点坐标（含与 轴交点），确定图象位置关系。③ 注意开口方向与交点横坐标，正确分段写出解集，避免漏写等号情形。 10．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：翻折与勾股定理、面积计算 ►命题分析： （1）情境创设：以直角三角形纸片沿边翻折为情境，考查翻折前后图形全等关系及重叠部分面积计算，属于动态几何综合题。 （2）问题设计：已知翻折条件，要求学生求出翻折后两个三角形重叠部分的面积，检验综合运用勾股定理、相似与面积法的能力。 （3）考查目标：考查学生的空间观念、推理能力与运算能力，要求能够识别翻折中的全等对应关系并进行面积转化。 答案与解析 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 知识总结 ① 翻折性质：翻折前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。② 面积转化思想：重叠部分面积可通过整体面积减去非重叠部分求得，或利用同底等高、相似比求面积比。③ 解题步骤：由勾股定理求边长，利用翻折全等找等量关系，建立方程或比例求面积。 二、填空题 11．计算：______． 命题透视 ►核心考点：二次根式的运算 ►命题分析： （1）情境创设：以二次根式加法为情境，考查同类二次根式的合并，属于基础运算题。 （2）问题设计：直接要求计算二次根式相加的结果，检验对同类二次根式合并法则的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求能准确识别同类二次根式并合并其系数。 答案与解析 【答案】3 【详解】解： 原式． 知识总结 ① 同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式可以合并，如 。② 运算步骤：先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式。③ 易错点：不同被开方数的二次根式不能直接相加减；注意系数与根号部分的对应。 12．因式分解：___________． 命题透视 ►核心考点：提公因式与平方差公式的因式分解 ►命题分析： （1）情境创设：以多项式因式分解为情境，考查提公因式法与公式法的综合运用，属于基础代数题。 （2）问题设计：给出一个多项式，要求分解因式，检验对“先提公因式、再套公式”分解顺序的掌握。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求掌握因式分解的基本方法且做到分解彻底。 答案与解析 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 知识总结 ① 因式分解顺序：一提（公因式）二套（公式）三检查。② 平方差公式：。③ 易错点：提取公因式时要提尽，分解要彻底（每个因式不能再分解），注意系数与字母公因式都要提。 13．窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于______度． 命题透视 ►核心考点：正多边形的外角 ►命题分析： （1）情境创设：以中国传统建筑窗棂图案的正六边形外框为情境，考查正多边形外角和定理，体现数学文化。 （2）问题设计：给出正六边形图案，要求学生计算它的每一个外角的度数，检验对外角和定理的理解。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与几何直观，要求理解“任意多边形外角和恒为，正多边形各外角相等”。 答案与解析 【答案】60 【分析】根据任意多边形外角和恒为，正多边形的所有外角都相等，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正六边形的6个外角大小相等， ∴正六边形的每一个外角度数为 ． 知识总结 ① 多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于 。② 正多边形各外角相等，每个外角 （ 为边数），正六边形每个外角为 。③ 关联：正多边形每个内角与外角互补，可进一步求出内角，注意区分“外角”与“内角”的考查。 14．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 命题透视 ►核心考点：实数的性质与命题真假的判断 ►命题分析： （1）情境创设：以命题“若 ，则 ”为情境，考查通过构造反例判断命题真假，属于逻辑推理题。 （2）问题设计：要求判断命题真假并填“真”或“假”，检验学生是否掌握用反例说明命题不成立的方法。 （3）考查目标：考查学生的推理能力与创新意识，要求能主动构造反例否定命题，理解充分条件与结论的关系。 答案与解析 【答案】假 【分析】判断命题真假，只需找到满足题设条件但不满足结论的反例即可推出结果． 【详解】解：取， 满足， ， 不满足， 存在反例说明原命题不成立，原命题是假命题． 知识总结 ① 判断假命题的方法：构造反例，即找到满足条件但不满足结论的例子。② 对“若 ，则 ”，取 ，，满足 但 ，故为假命题。③ 正确结论是 或 ，注意平方相等的本质是“绝对值相等”。 15．在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点的坐标：______． 命题透视 ►核心考点：点到原点的距离与坐标 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中点到原点距离为条件，要求写出符合条件的点坐标，属于开放型试题。 （2）问题设计：给出“点到原点的距离等于1”的条件，答案不唯一，考查学生能否依据条件构造坐标。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与创新意识，要求理解“距离公式”的本质，并能给出满足条件的开放答案。 答案与解析 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到原点的距离条件，推导出点横纵坐标满足的关系式，任取一组满足关系式的值即可得到结果. 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到原点的距离等于， ∴， 令，代入等式得，满足条件， 因此符合要求的点坐标可以为. 知识总结 ① 距离公式：点 到原点的距离为 ，即 。② 满足条件的点有无数个，如 、、 等，它们都在以原点为圆心、1为半径的圆上。③ 开放题策略：先找最简单的情形（坐标轴上的点），再推广到一般位置。 16．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 命题透视 ►核心考点：一次函数的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以弹簧伸长与所挂物体质量的关系为情境，考查用一次函数模型解决实际问题，体现学科应用。 （2）问题设计：已知弹簧长度与质量的函数关系及一组对应值，要求学生先确定函数系数，再求另一组对应的长度。 （3）考查目标：考查学生的应用意识与运算能力，要求能将实际情境抽象为一次函数模型并求解。 答案与解析 【答案】12 【分析】根据已知时，代入给定函数式求出系数，再代入计算对应的值即可． 【详解】解：∵挂物体时弹簧的长度为， ∴将，代入函数式，得， 解得， ∴函数表达式为． 将代入函数式，得， 即挂物体时弹簧长度为． 知识总结 ① 一次函数模型：实际问题中的等速变化关系常可表示为 ，先由一组已知对应值代入求出 、。② 解题步骤：根据题意设函数表达式，代入已知数据求系数，再将待求自变量代入计算函数值。③ 注意单位与实际问题背景（弹性限度）的限制，检验结果是否符合实际。 17．已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 命题透视 ►核心考点：正方形的性质与线段长度计算 ►命题分析： （1）情境创设：以正方形中取中点并求线段长为情境，考查坐标系法、中点公式与勾股定理的综合运用。 （2）问题设计：已知正方形边长及边上的中点，要求学生求连接两个中点所得线段的长度，检验坐标法的应用。 （3）考查目标：考查学生的几何直观与运算能力，要求能合理建立坐标系，将几何问题转化为代数计算。 答案与解析 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点的坐标，再利用勾股定理计算的长度. 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵正方形边长为， ∴，，，； ∵是的中点， ∴的坐标为， ∵是的中点，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴. 知识总结 ① 建立平面直角坐标系：以正方形一个顶点为原点、两边所在直线为坐标轴，写出各顶点坐标。② 中点公式：若 ，，则中点 。③ 距离公式：，将几何问题代数化求解。 18．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 命题透视 ►核心考点：四边形面积存在性与参数取值范围 ►命题分析： （1）情境创设：以四边形内点将图形分成面积相等的两部分为情境，考查面积关系、动点轨迹与分类讨论，属于探究型压轴填空。 （2）问题设计：分两步设问：先判断是否存在点使两部分面积相等，再结合平移求参数 的取值范围，检验综合推理能力。 （3）考查目标：考查学生的推理能力、空间观念与运算能力，要求能由面积相等确定动点轨迹并作分类讨论。 答案与解析 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 知识总结 ① 面积存在性：将四边形分成面积相等的两部分，点必在连接对边中点的线段（或中位线）上运动。② 临界法求范围：考察动点在边界处的临界情况，利用梯形面积公式列方程求解参数。③ 分类讨论：注意“含端点”还是“不含端点”，结合图形约束舍去不符合条件的解。 三、解答题 19．按要求完成下列小题： (1)解方程：； (2)计算：． 命题透视 ►核心考点：解一元二次方程与整式的混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：以“按要求完成下列小题”为情境，综合考查用公式法解一元二次方程与整式乘法运算。 （2）问题设计：第（1）问用公式法解一元二次方程，第（2）问计算整式乘法并化简，两小问独立设问、由易到难。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求规范写出求根公式的运用过程与整式化简步骤。 答案与解析 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 知识总结 ① 公式法：对于 （），判别式 时，。② 解题步骤：先化一般式，找出 、、，计算判别式，再代入求根公式，最后写成 、。③ 整式运算：注意先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，合并同类项时要细心，避免符号错误。 20．先化简，再求值：，其中，． 命题透视 ►核心考点：分式的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：以分式的化简求值为情境，考查分式通分、因式分解与代入求值，属于经典计算题。 （2）问题设计：先化简分式表达式，再代入给定的 、 值求值，检验分式运算的完整步骤。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求能熟练进行分式加减、约分等恒等变形并准确代入计算。 答案与解析 【答案】； 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 知识总结 ① 分式加减法则：同分母分式相加减分母不变、分子相加减；异分母分式先通分再加减。② 化简技巧：能因式分解的先分解，便于约分与通分；乘除运算先约分再计算。③ 代入求值：化简到最简后再代入数值，注意字母取值不能使原分式分母为零。 21．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 命题透视 ►核心考点：全等三角形的判定与等腰三角形 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形中全等三角形的判定与等腰三角形的证明为情境，考查几何推理的完整过程。 （2）问题设计：第（1）问利用矩形的性质证明三角形全等，第（2）问在（1）基础上证明三角形是等腰三角形，层层递进。 （3）考查目标：考查学生的推理能力，要求能规范书写全等判定依据与等腰三角形的判定过程。 答案与解析 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ∴， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 知识总结 ① 矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等。② 全等判定：（两边及其夹角对应相等）、、、、（直角三角形），书写时要写出对应元素与判定定理。③ 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 22．一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． (1)求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； (2)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 命题透视 ►核心考点：列表法求概率与游戏公平性 ►命题分析： （1）情境创设：以甲、乙两人摸球游戏为情境，考查用列表或画树状图求概率并判断游戏公平性，属于概率应用综合题。 （2）问题设计：第（1）问直接求甲摸到红球的概率；第（2）问通过列表分析两种结果的概率，比较是否公平。 （3）考查目标：考查学生的数据观念与逻辑推理能力，要求掌握等可能事件概率的计算方法并能作出决策。 答案与解析 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下：            甲                     乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． （2）略 知识总结 ① 概率公式：事件 发生的概率 。② 列表法：把所有等可能结果列成表格，适用于两步试验，可清晰计数。③ 公平性判断：比较双方获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则不公平；本题颜色相同概率为 ，颜色不同为 ，不公平。 23．某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间 频数 A 3 B C D 18 E 9 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)________；________； (2)学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数； (3)请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 命题透视 ►核心考点：频数分布表与用样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以学校八年级学生参加家务劳动时间调查为情境，考查频数分布表、扇形统计图与用样本估计总体，贴近生活实际。 （2）问题设计：第（1）问由样本容量与各组频数求参数；第（2）问用样本比例估计全校达标人数；第（3）问结合数据作出评价。 （3）考查目标：考查学生的数据观念与应用意识，要求能读取统计图表、进行比例计算并作出合理推断。 答案与解析 【答案】(1)； (2)510人 (3)该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动 【分析】（1）先求出样本容量，再结合B组所占百分比得出，结合E组人数得出， （2）根据总人数和劳动时间不少于的人所占比例即可求出答案； （3）根据所得数据进行分析即可． 【详解】（1）解：∵样本容量为， ∴； ． （2）解：（人）． ∴估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数为510． （3）解：∵该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的人数大约占总人数的，人数较多， ∴该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动． 知识总结 ① 频数分布表：各组频数之和等于样本容量；扇形统计图某组占比 。② 用样本估计总体：估计值 总体人数 样本达标比例，注意结果取整的合理性。③ 数据分析评价：结合具体数据（如多数学生达标）给出有依据的评价，避免空泛结论。 24．如图，在中，，． (1)尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 命题透视 ►核心考点：尺规作图：垂直平分线与菱形 ►命题分析： （1）情境创设：以在三角形中作点使得到两边距离相等、作菱形为情境，考查尺规作图与菱形的性质，体现操作与推理结合。 （2）问题设计：第（1）问保留作图痕迹作出垂直平分线交点与菱形；第（2）问在作图基础上利用勾股定理求菱形周长。 （3）考查目标：考查学生的几何直观、空间观念与推理能力，要求理解作图依据并会计算菱形相关量。 答案与解析 【答案】(1)如图即为所求作图形： (2) 【分析】（1）根据题意可知作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O，在下方截取即可； （2）设，则，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理列方程得值，进而求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 四边形是菱形 ， 在中，，， ， 即，解得（舍负）． ． 菱形的周长为． 知识总结 ① 到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上，作垂直平分线即可得交点。② 菱形判定：四条边都相等的四边形是菱形；也可由对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定。③ 菱形性质：四边相等、对角线互相垂直且平分，已知边长即可求周长；借助直角三角形勾股定理列方程求边长。 25．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 命题透视 ►核心考点：切线的性质与阴影部分面积 ►命题分析： （1）情境创设：以圆、直径、切线与割线为情境，考查切线的性质、勾股定理与阴影面积转化，属于圆综合题。 （2）问题设计：第（1）问利用切线性质与直角三角形求线段长；第（2）问通过面积转化求阴影部分面积。 （3）考查目标：考查学生的推理能力、几何直观与运算能力，要求掌握切线的性质并能用转化思想求不规则图形面积。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 知识总结 ① 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，即切线与半径所成角为直角。② 直径所对圆周角为直角，可利用直角三角形与勾股定理求边长。③ 阴影面积转化：将不规则阴影转化为扇形与三角形面积的差，如 ，注意圆心角与弧度的对应。 26．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 命题透视 ►核心考点：二次函数模型的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以“综合与实践——丢沙包中的数学”为情境，考查用二次函数（抛物线）建模解决投掷问题，体现项目式学习。 （2）问题设计：第（1）问已知顶点与经过点求抛物线解析式并判断能否命中靶心；第（2）问已知两经过点与顶点横坐标求最高点高度。 （3）考查目标：考查学生的模型观念、运算能力与应用意识，要求能将实际问题转化为二次函数问题并求解。 答案与解析 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 知识总结 ① 建模步骤：建立平面直角坐标系，由题意确定抛物线的顶点、经过点等关键条件，设出解析式 （顶点式）。② 求解析式：将已知点代入顶点式求出 ；或设一般式，由三个条件列方程。③ 验证命中：代入靶心横坐标求 值与靶心高度比较；二次函数最值在顶点处取得，注意自变量的实际取值范围。 27．如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 命题透视 ►核心考点：反比例函数图象与面积定值 ►命题分析： （1）情境创设：以反比例函数图象上动点构造图形、探究面积为定值为情境，考查反比例函数性质、相似与面积转化，属于压轴探究题。 （2）问题设计：第（1）问由坐标与长度求参数；第（2）问由点的横坐标与线段关系求两函数系数的关系；第（3）问探究运动过程中面积是否为定值。 （3）考查目标：考查学生的推理能力、运算能力与探究意识，要求能通过坐标表示、面积转化与相似证明发现不变量。 答案与解析 【答案】(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值． （2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值． （3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． 知识总结 ① 反比例函数 图象上的点满足 ，常设点坐标为 进行代数化处理。② 平行线性质：与坐标轴平行的线段长可由横（纵）坐标差表示，中点与交点坐标要准确计算。③ 面积定值问题：用坐标表示各点、求出线段长，利用相似三角形面积比与等积转化，化简后若含参数可约去即得定值，注意分类讨论不同位置情形。 28．在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 命题透视 ►核心考点：“等截线”新定义与几何推理 ►命题分析： （1）情境创设：以“等截线”新定义及数学家波利亚名著的作图启发为情境，考查新定义的理解、应用与证明，属于新定义压轴题。 （2）问题设计：第（1）问直接求线段比值；第（2）问在等腰三角形中求“等截线”的长度，需设未知数列方程；第（3）问说明作图步骤的合理性。 （3）考查目标：考查学生的抽象能力、推理能力与创新意识，要求能理解新概念、翻译条件并用几何推理证明。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3)解：如图，作交于点，过点作交于点， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是所对的“等截线”， ∴的长度即为所对的“等截线”的长度． 【分析】（1）先得出，，再设，求出，的长，进而可得，的长，然后根据正切的定义求解即可； （2）设是所对的“等截线”，连接，设，先得出，则，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可； （3）作交于点，作交于点，得出四边形是菱形，根据得出，根据菱形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，，， ∵是中所对的“等截线”， ∴， ∴，， ∴在中，． （2）解：如图，设是所对的“等截线”，连接． 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（经检验，是所列方程的解）或（不符合题意，舍去）， ∴所对的“等截线”的长度是． （3）略． 知识总结 ① 理解新定义：“等截线”是满足特定比例关系（）的线段，解题关键是先准确翻译定义中的等量关系。② 解题方法：设出未知数，利用相似三角形对应边成比例建立方程，解方程并检验；注意“等截线”与三角形的边、角关系。③ 证明作图合理性：通过作平行线构造平行四边形（菱形），利用边相等与平行线比例性质，逐步证明所画线段满足定义，体会“从特殊到一般”的探究思想。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $