2025年江苏省无锡市中考数学试卷

2025年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.） 1．（3分）计算﹣2+3的结果为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 2．（3分）2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A．8.19×105 B．81.9×104 C．0.819×105 D．0.819×106 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．（a2）4＝a6 D．a4÷a＝a4 4．（3分）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 5．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（3分）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 7．（3分）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 8．（3分）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．5 D．10 10．（3分）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1； ③若1是函数y1＝kx+3与函数y2的“对偶值”，则k＝2； ④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解析过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.） 11．（3分）|﹣3|＝　 　 ． 12．（3分）函数y中的自变量x的取值范围　 　 ． 13．（3分）请写出单项式a2b的一个同类项：　 　 ． 14．（3分）请写出命题“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题：　 　 ． 15．（3分）正七边形的内角和为　 　 度． 16．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 　 ． 17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　 　 ． 18．（3分）在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝8．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC，则被折痕分成的△EBF与四边形EFCD的面积的比为　 　 ；若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是　 　 ． 三、解析题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解析时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.） 19．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 20．（8分）先化简，再求值：，其中m＝3． 21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）∠EAD＝∠FDA． 22．（10分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 　 　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23．（10分）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3D打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解析下列问题： （1）本次调查的样本容量为　 　 ，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； （3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议． 24．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数． （请直接写出∠EFA的度数） 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 26．（10分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． 27．（10分）已知二次函数ym（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C． （1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标； （2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2； （3）若△ABC是等腰三角形，求m的值． 28．（10分）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A′B′C′．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A′B′C′，探究了下列问题，请你帮他解析． （1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A′落在边BC上时，两个三角形重叠部分为▱AQA′P． ①若AA′⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案） ②若▱AQA′P的面积为，求A′C的长． （2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置． 2025年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A． B A D B C A C B 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.） 1．（3分）计算﹣2+3的结果为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【解析】解：﹣2+3＝1， 故选：C． 2．（3分）2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A．8.19×105 B．81.9×104 C．0.819×105 D．0.819×106 【解析】解：819000＝8.19×105． 故选：A． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．（a2）4＝a6 D．a4÷a＝a4 【解析】解：∵a2与a4不是同类项，不能合并， ∴A选项运算不正确，不符合题意； ∵a2•a4＝a6， ∴B选项运算正确，符合题意； ∵（a2）4＝a8， ∴C选项运算不正确，不符合题意； ∵a4÷a＝a3， ∴D选项运算不正确，不符合题意． 故选：B． 4．（3分）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 【解析】解：平均数为：（13+14+14+16+18）÷5＝15； 14出现的次数最多，故众数为14． 故选：A． 5．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝2×4＝8． 故选：D． 6．（3分）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【解析】解：∵圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°， ∴这条弧的长3π． 故选：B． 7．（3分）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 【解析】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 8．（3分）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设小红的骑行速度为x km/h，则小亮的骑行速度是1.2x km/h， 根据两人各自骑行了6km，小亮的骑行时间+4min＝小红的骑行时间列得方程为， 故选：A． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【解析】解：∵点C在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上， 设点C的坐标为（a，）， ∵C是AO的中点，且CE⊥x轴，AB⊥x轴， ∴CE是△AOB的中位线， 根据三角形中位线的性质：中位线平行于第三边且长度为第三边的一半， 由此可得：OE＝EB＝a， ∴OB＝OE+EB＝2a， CEAB， 又CE， ∴AB＝2， 因此，点A的坐标为（2a，）， ∵点D在AB上，且在反比例函数y的图象上，点D的横坐标与点A相同，为2a， 将x＝2a代入y，可得点D的纵坐标为y， ∴点D的坐标为（2a，）， ∵AB⊥x轴，BD垂直于x轴方向， ∴在△BDE中，EB＝a（底），BD的长度为点D的纵坐标（高）， 根据三角形面积公式S底×高，可得： S△BDEEB×BD， ， k＝5， 故选：C． 10．（3分）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1； ③若1是函数y1＝kx+3与函数y2的“对偶值”，则k＝2； ④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【解析】解：①设函数y1＝2x+3上点P坐标轴为（m，2m+3）， ∵P、Q关于y轴对称， ∴Q点坐标为（﹣m，m+1）， 若点P或点Q的纵坐标称相等， ∴2m+3＝m+1， 解得：m＝﹣2， 则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称， ∴函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1具有“对偶关系”； 故①错误，不符合题意； ②当y1＝y2＝﹣1时，则﹣1＝2x+3， 解得x＝﹣2； ﹣1＝﹣x+1，解得x＝2； 横坐标是相反数， 故②正确，符合题意； ③当y1＝y2＝1时，则， 解得x＝1； 因为是函数y1＝kx+3与函数的“对偶值”， 所以函数y1＝kx+3的x＝﹣1， 代入得：1＝﹣k+3， 解得k＝2， 故③正确，符合题意； ④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为， ∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等， ∴， 整理得， ∵﹣2≤m≤﹣1，对于函数，y随m的增大而增大， 当m＝﹣2时，； 当m＝﹣1时，； ∴，而不是， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解析过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.） 11．（3分）|﹣3|＝　3　 ． 【解析】解：|3|＝3． 故答案为：3． 12．（3分）函数y中的自变量x的取值范围　x≠4　 ． 【解析】解：根据题意得：x﹣4≠0， 解得：x≠4． 故答案为：x≠4． 13．（3分）请写出单项式a2b的一个同类项：　11a2b（答案不唯一）　 ． 【解析】解：答案不唯一，如11a2b． 故答案为：11a2b（答案不唯一）． 14．（3分）请写出命题“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题：　若a+1＞b+1，则a＞b　 ． 【解析】解：“若a＞b，则a+1＞b+1”的逆命题是“若a+1＞b+1，则a＞b”； 故答案为：若a+1＞b+1，则a＞b． 15．（3分）正七边形的内角和为　900　 度． 【解析】解：（7﹣2）×180°＝900°， 即正七边形的内角和为900度， 故答案为：900． 16．（3分）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　　 ． 【解析】解：∵AB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AB， ∵OC⊥OB， ∴OC∥AB， ∴△ODC∽△BDA， ∴， ∵OB＝OC＝2， ∴， ∴BD． ∴tanA． 故答案为：． 17．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　　 ． 【解析】解：过M作MH⊥NB于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝2，AD∥BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2，∠ACB＝60°， ∵BM⊥AC， ∴CMAC＝1， ∵∠CMH＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴CHCM， ∵tan∠MCH＝tan60°， ∴MH， ∵DN∥AC， ∴四边形ACND是平行四边形， ∴CN＝AD＝2， ∴NH＝CH+CN， ∴MN． 故答案为：． 18．（3分）在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝8．现将该纸片折叠，折痕与纸片ABCD的两边交于点E、F．若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC，则被折痕分成的△EBF与四边形EFCD的面积的比为　1：7　 ；若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是　2或2．　 ． 【解析】解：如图1， ∵∠AFB＝90°，∠ABC＝60°， ∴BF， ∵BC＝8， ∴S△ABFS△ABC， ∴S△ABCS▱ABCD， ∴S△ABF：S四边形ADCF＝1：7， 如图1， AF＝AB•sin∠ABC＝4•sin60°＝2， 如图2﹣1， 当点E在B处，F是AD中点时，作BG⊥AD，交DA的延长线于G， ∵AB＝4，∠BAG＝∠ABC＝60°， ∴AGAB＝2，NGAB＝2， ∴FG＝AG+AF＝6， ∴EF4， ∴2， 如图2﹣2， 当点E在D处，AFAB＝2时， S△AEF：S四边形CBFE＝1：3， 作DG⊥BA，交BA的延长线于G， ∵∠DAG＝60°，AD＝8， ∴AGAD＝4，DGAD＝4， ∴FG＝AF+AG＝2+4＝6， ∴EF2， 当点E在A点，（图中E′），F是CD中点时（图中F′），作F′Q⊥AD于Q， 则DQDF′＝1，F′QF′Q， ∴AQ＝AD﹣DQ＝7， ∴AF′2， ∴2， 故答案为：1：7，2或2． 三、解析题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解析时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.） 19．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 【解析】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0， （x﹣1）2＝3， x﹣1， ∴；x2＝1． （2）由2x＜6， 得x＜3； 由3x﹣1≥x+1， 得x≥1． ∴不等式组的解集为：1≤x＜3． 20．（8分）先化简，再求值：，其中m＝3． 【解析】解：原式 ＝m﹣1． 当m＝3时， 原式＝3﹣1＝2． 21．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）∠EAD＝∠FDA． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝CD， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）； （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠EAB＝∠FDC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠BAD+∠EAB＝∠CDA+∠FDC， ∴∠EAD＝∠FDA． 22．（10分）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 　　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【解析】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球， ∴从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 23．（10分）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3D打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解析下列问题： （1）本次调查的样本容量为　50　 ，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； （3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议． 【解析】解：（1）本次调查的样本容量为11÷22%＝50，无人机社团人数为50﹣（11+8+16）＝15（人）， 补全图形如下： 故答案为：50； （2）1000×32%＝320（人）， 答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人； （3）开展形式多样的航模与3D打印活动（答案不唯一）． 24．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数． （请直接写出∠EFA的度数） 【解析】解：（1）如图所示，直线l和点F即为所求； （2）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC＝∠CAD＝45°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝22.5°， ∴∠EAF＝67.5°， ∵直线l⊥AD，即∠AEF＝90°， ∴∠EFA＝22.5°． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 【解析】（1）证明：连接BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∵CD＝CA， ∴BC垂直平分AD， ∴AB＝BD； （2）解：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴∠E＝90°， ∴cos∠ABE， ∴BE＝1， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝8， 由（1）知BD＝AB＝3， ∴DE＝BD+BE＝4， ∴AD2． 26．（10分）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． 【解析】解：（1）过点P作PH⊥MN于点H，交EF于点K，如图， 则四边形HKFN，四边形PQNH，四边形PQFK为矩形， ∴PQ＝KF＝HN＝1.4m，HK＝FN＝16m，PK＝QF＝2m， ∴EK＝EF﹣KF＝1.4m，PH＝PK+HK＝18m， ∵EF∥MN， ∴△PEK∽△PMH， ∴， ∴， ∴MH＝12.6（m）． ∴MN＝MH+HN＝14（m）． 答：旗杆MN的高度为14m． （2）连接EE′并延长交AB于点M，连接PP′并延长交AB于点N，交EF于点H，交E′F′于点K，如图， 则四边形BMEF，四边形BNPQ，四边形P′Q′BN，四边形BNKF，四边形PQQ′P′为矩形， ∴BM＝EF＝E′F′＝2.8m，HF＝KF′＝BN＝PQ＝P′Q＝1.4m，HP＝FQ＝1.2m，QQ′＝PP′＝30m，P′K＝F′Q′＝2.2m， ∴MN＝HE＝KE′＝EF﹣HF＝1.4m， 设HN＝x m，AM＝y m，则PN＝HN+HP＝（1.2+x）m，AN＝AM+MN＝（1.4+y）m，P′N＝PP′+PN＝（31.2+x）m， ∵EF∥AB， ∴△PEH∽△PAN， ∴， ∴． ∵E′F′∥AB， ∴△PEK∽△P′AN， ∴， ∴， ∴， ∴x＝34.8． ∴， ∴y＝40.6． ∴AB＝AM+BM＝43.4（m）． 答：妙光塔AB的高度43.4m． 27．（10分）已知二次函数ym（m≠0）图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C． （1）若该函数图象经过点，求点A的横坐标； （2）若m＜3，点P（2，y1）和Q（4，y2）在该函数图象上，证明：y1＞y2； （3）若△ABC是等腰三角形，求m的值． 【解析】（1）解：∵二次函数ym图象经过点，∴m， 解得m＝3， ∴yx2+3x， ∵3， ∴点A的横坐标为3； （2）证明：∵点P（2，y1）和Q（4，y2）在二次函数ym图象上， ∴y1＝﹣2+2mm，y2＝﹣8+4mm， ∵m＜3， ∴y1﹣y2＝﹣2+2mm﹣（﹣8+4mm）＝﹣2（m﹣3）＞0， ∴y1＞y2； （3）解：在ym中，令x＝0得ym， ∴B（0，m）， ∵ym（x﹣m）2m， ∴A（m，m），C（m，0）， 当AB＝AC时，m2+（mm）2＝（m）2， 解得m＝0（舍去）或m； 当AB＝BC时，m2+（mm）2＝m2+（m）2， 解得m＝0（舍去）或m或m； 当AC＝BC时，（m）2＝m2+（m）2， 解得m＝0（舍去）或m＝﹣2或m； 综上所述，m的值为或或﹣2． 28．（10分）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以△ABC内部任意一点O为中心，画出与△ABC成中心对称的△A′B′C′．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的△ABC，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的△A′B′C′，探究了下列问题，请你帮他解析． （1）如图3，BC＝2，当点A关于点O的对称点A′落在边BC上时，两个三角形重叠部分为▱AQA′P． ①若AA′⊥BC，求AO的长；（请直接写出答案） ②若▱AQA′P的面积为，求A′C的长． （2）如图4，点D为BC的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”EFGHMN，求“平行六边形”EFGHMN面积的最大值，并指出此时点O的位置． 【解析】解：（1）①∵SBC•h＝1， ∴h＝1， 当AA'⊥BC时，AA'＝h＝1， ∴AO； ②由题可知AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'， ∴△PA'C∽△QBA'， ∴设， ∴， ∵▱AQA′P的面积为， ∴S△AA'P， ∵， ∴S△A'PC， 同理可得S△BQA'， ∵S△A'PC+S△BQA'＝S△ABC﹣S▱AQA′P＝1， ∴， 解得k＝3±2， ∵， ∴， ∴A'C； （2）如图，设AD与B'C'交于点L， 设OD＝m，AD＝1，则m， ∴OD＝OL＝m， ∴AL＝AD﹣DL＝1﹣2m， ∵MH∥BC， ∴△AMH∽△ABC， ∴（）2＝（）2＝（）2， ∵S△ABC＝1， ∴S△AMH＝（1﹣2m）2， 过O作RS∥AC，分别交AB、BC于点R、S， ∴1﹣m， ∴（）2＝（）2＝m2， ∴S△BNE＝m2， 同理可得S△FGC＝S△BNE＝m2， ∴S“平行六边形”EFGHMN＝S△ABC﹣S△AMH﹣S△BNE﹣S△FGC ＝1﹣（1﹣2m）2﹣m2﹣m2 ＝﹣6m2+4m ＝﹣6（m）2， 故当m时，“平行六边形”EFGHMN面积的最大值为， 此时，则点O为△ABC的重心． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $