精品解析：2026年江苏省宿迁市中考数学试题

宿迁市2026年初中学业水平考试 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 某种芯片上集成了15300000000个晶体管，形成一个复杂的网络，以实现高性能和低功耗．数据15300000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向上平移m个单位长度得到点B，若点B在第一象限，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在中，，D、E分别是、的中点，的平分线交的延长线于点F，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的绝对值是：_______． 10. 因式分解：____________． 11. 数据5，4，6，10，7的中位数是____________． 12. 计算：______． 13. 用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 14. 一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 15. 已知，，则的值为 ． 16. 小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 17. 如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 18. 如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） （1）分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） （2）请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 22. 某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． （1）小丽选择场馆A的概率为            ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 23. 生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 （1）求a，b的值； （2）求密文的明文． 24. 如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 25. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． （1）【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）【问题解决】直接写出的度数和的值． 27. 投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． （1）当投掷的距离为时，求的值； （2）当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； （3）当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 28. 按要求解题： （1）【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． （2）【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． （3）【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市2026年初中学业水平考试 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵小于0的数是负数，且， ∴是负数． 2. 某种芯片上集成了15300000000个晶体管，形成一个复杂的网络，以实现高性能和低功耗．数据15300000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，运算错误； B选项，，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从物体的左面看到的形状图求解即可． 【详解】解：如图所示的几何体的左视图是 5. 一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知当时，，可知不等式的解集是． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标 为， ∴当时，， ∴ 关于x的不等式的解集为． 6. 在平面直角坐标系中，将点向上平移m个单位长度得到点B，若点B在第一象限，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标的平移规则，左减右加，上加下减，计算出B点坐标，根据点B在第一象限，列出关于的不等式，解不等式，即可得出答案． 【详解】解：∵点向上平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵点在第一象限， ∴， 解得， ∴选项D符合题意． 7. 如图，在中，，D、E分别是、的中点，的平分线交的延长线于点F，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得出平行关系，结合角平分线的定义证得等腰三角形，从而求出线段长度． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ，且， ． 平分， ， ， ． 是的中点，， ， ． 在的延长线上，， ， ． 8. 如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形性质求出点  坐标，联立方程求出点  坐标，利用面积和差法求解． 【详解】解：过点  作  轴于点 ， ， ，  轴， 轴， ， ， ， ，  点  在第二象限，  点  的纵坐标为 ， 把  代入 ，得 ， ， 把  ， 代入 ， 得 ，解得 ，  直线解析式为 ， 联立 ， 解得 ，， ，   ． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的绝对值是：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 10. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的两项，找到公因式，用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 11. 数据5，4，6，10，7的中位数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，数据个数为奇数，中间位置的数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：，，，，， 这组数据共有个，中位数为排序后位于第个位置的数， 所以这组数据的中位数是． 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 13. 用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 14. 一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【解析】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 15. 已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式变形，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式可得． ∵ ∴ 把代入上式得 ∴， 即． 16. 小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 17. 如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， 则平分， 即． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 18. 如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①：证明，则，，则，即可证明四边形为平行四边形；对于②：延长交于点，，那么，即可证明；对于③：先证明，同理，则可求，，，再相加即可求解四边形的面积；对于④：先证明，再证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 连接， 由旋转可得，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 同理， ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形，故①正确； 延长交于点， ∴ ∴， ∴，即，故②正确； 当时，点共线，共线，共线，共线，如图， ∵由旋转以及矩形可得，， ∴ ∵ ∴，同理 ∴，， ∵ ∴，故③错误； 当四边形为矩形时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 同上可得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，与上式矛盾，故④错误， 综上其中正确结论的序号是①②． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 经检验，是原方程的解． 21. 某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） （1）分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） （2）请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 【答案】（1），；， （2）建议如下：甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数相同，乙品牌空调周销售量的方差较小，说明乙品牌空调周销售量比较稳定，可选择采购乙品牌的空调；从折线图来看，甲品牌空调的周销售量呈上升趋势，进货时也可多进甲品牌空调（只要叙述有道理就给分） 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可． （2）可以根据方差回答，也可以根据销售趋势回答． 【小问1详解】 解：， ． ， ． 【小问2详解】 略； 22. 某校八年级组织以“厚植家国情怀”为主题的研学活动，策划了四个场馆：A宿迁市博物馆，B沭阳县博物馆，C中国杨树博物馆，D洪泽湖湿地博物馆．每名学生只能任意选择一个场馆参观，小丽和小明是该校八年级学生． （1）小丽选择场馆A的概率为            ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小丽和小明选择不同场馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定总等可能结果数与选择场馆A的结果数，利用概率公式计算； （2）用列表法列举所有等可能的结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式求解． 【小问1详解】 解：共有4个场馆，小丽任选一个，每个场馆被选中的可能性相等，选择场馆A的结果有1种， 小丽选择场馆A的概率为； 【小问2详解】 列表如下： 小丽 小明 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小丽和小明选择不同场馆的结果有12种， 所以小丽和小明选择不同场馆的概率为． 23. 生活中，密码的应用随处可见，如电子门禁、密码认证等．有一种密码，明文是一个数m，密文是一个数对，且，其中a，b是常数．明文与密文的对应关系如下表所示： 明文 密文 （1）求a，b的值； （2）求密文的明文． 【答案】（1） 的值为，的值为 （2） 密文的明文为 【解析】 【分析】（1）代入两组明文与密文的对应值，列二元一次方程组求解a，b； （2）将a，b与密文的x，y代入公式计算明文． 【小问1详解】 解：由题意，将两组对应值代入， 得  解这个方程组，得； 【小问2详解】 由（1）得， 将代入，得 ， 所以密文的明文为1． 24. 如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 25. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 26. 综合与实践：某学校数学兴趣小组以“折纸求特殊角三角函数值”为主题，开展学习实践活动． 【观察理解】按照如图1所示的方法将正方形纸片依次折叠，展开后如图2所示，折痕分别为、、． （1）【操作体验】如图3，在正方形中，请先连接，再分别作出折痕、（要求：用无刻度直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）【问题解决】直接写出的度数和的值． 【答案】（1）所求图形，如图所示； （2）， 【解析】 【分析】（1）先连接，再作的平分线，交于点，然后过点作的垂线，交于点即可； （2）根据折叠的性质可得，设，则可得，，的长，再求出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得：， 设， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，． 27. 投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． （1）当投掷的距离为时，求的值； （2）当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； （3）当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【小问1详解】 解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 28. 按要求解题： （1）【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． （2）【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． （3）【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 【答案】（1）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图，过点作于点，作于点，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1），证明过程为：延长至点，使得，连接，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）作，交延长线于点，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作于点，作于点，连接，先得出，则，再得出，由此即可得证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $