2026年中考数学真题完全解读（湖南省长沙卷）

该初中数学中考复习资料紧扣中考核心考点，覆盖数与式、方程与不等式、函数、几何图形等主干知识，通过考点细目表系统梳理知识关联，设计“基础巩固-专题突破-综合应用”教学流程，结合真题解读与方法归纳，帮助学生突破几何推理、函数综合等难点。 特色在于情境化真题与分层训练结合，如以湘江水质调查培养数据观念，赵爽弦图题提升推理能力，特设“避坑提醒”和三级练习，配合即时反馈机制，助力教师精准把控节奏，高效提升学生核心素养与应考能力。

2026年湖南省长沙市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年湖南省长沙市中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共设25题，题型包括选择题（10题，30分)、填空题（6题，18分)和解答题（9题，72分)。全卷立足义务教育数学课程标准，坚持素养立意、能力为重，在保持稳定结构的同时，突出了对数学核心素养和关键能力的考查。试卷覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干知识模块，其中几何图形性质与推理占比较大，体现了长沙卷‘重基础、强几何、显应用、重思维’的命题导向。选择题第1至8题侧重基础概念和基本运算，第9、10题开始融入圆、勾股定理与弦图等综合几何；填空题第11至15题考查基本技能，第16题以粽子礼盒销售为背景，渗透数据分析与整数拆分；解答题第17、18题分别考查实数运算和分式化简，难度适中；第19题以等腰三角形与中垂线作图为载体考查几何推理；第20题以航天知识测试成绩统计为背景，考查数据分析观念；第21题考查全等三角形判定与性质；第22题以书法兴趣小组购买毛笔为情境，考查一元一次方程与分段计费；第23题以半圆切线为背景，综合考查切线性质、平行线与相似；第24题以菱形动态探究为压轴，第25题以‘靓点’新定义为压轴，两题思维含量高，区分度明显。全卷注重思维过程考查，强调在真实情境中运用数学知识分析和解决问题的能力。 试题亮点 湘江水质与航天科技双线并进，湖湘特色情境育人导向鲜明：第6题以湘江水质检测为背景，引导学生选择合理的调查方式，将长沙母亲河的保护意识与统计调查方法有机结合；第20题以航天知识测试成绩统计为载体，考查统计图表分析、样本估计总体及数据解释，呼应湖南航天科技产业蓬勃发展的地方特色。这类题目不仅考查了学生的数据观念和应用意识，也增强了试卷的地域辨识度与育人价值。 传统数学文化与现代问题解决深度融合，彰显长沙卷文化厚度：第10题以赵爽弦图为背景，通过最小正方形面积与边长关系求外围正方形面积，将中国古代数学成就与勾股定理、完全平方公式有机结合；第22题以书法兴趣小组购买毛笔为情境，在一元一次方程与分段计费中渗透传统文化。这类题目要求学生在理解数学知识的同时，感受中华优秀传统文化与数学思想的魅力。 压轴题思维含量提升，动态几何与新定义仍是区分核心：第24题在菱形中设置动点探究，综合考查菱形性质、等边三角形、相似三角形与一元二次方程，第(2)问中保持不变，体现了‘变中不变’的数学思想；第25题定义‘靓点’，将对称性、直线与二次函数交点、判别式与韦达定理融为一体。两道题均注重思维过程而非机械计算，有效区分了不同层次学生的数学素养。 命题趋势 湘江生态与航天科技等地方情境将持续入题，应用意识考查常态化：长沙卷近年持续将地方自然生态、科技成就融入数学试题，如2026年第6题湘江水质检测、第20题航天知识测试。预计未来几年，以湘江治理、长株潭一体化、湖南航空航天产业为背景的试题将继续保持，且情境与知识点的结合将更加紧密，引导学生关注家乡发展并在真实情境中建立数学模型。 传统文化与数学文化深度融合，文化育人底色进一步彰显：本卷第10题赵爽弦图、第22题书法毛笔购买情境，体现了长沙卷对中华优秀传统文化和湖湘文化的关注。未来命题将继续挖掘赵爽弦图、勾股圆方图、九章算术等传统数学文化素材，以及岳麓书院、马王堆汉墓、湘绣等湖湘文化符号，在考查数学知识的同时落实立德树人根本任务。 基础题‘送分到位’但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：本卷选择题第1至8题和填空题第11至15题总体难度不高，但第4题在幂的运算、完全平方公式、二次根式运算中设置易混淆选项，需要学生准确辨析公式结构；第5题将一元一次不等式求解与数轴表示结合，要求学生真正理解解集的几何意义。未来命题将继续以基础题为基本盘，但通过概念辨析、数形结合和‘反套路’设计，检验学生是否真正理解数学概念的本质。 几何综合与新定义压轴延续长沙卷传统，思维过程仍是顶尖区分度载体：本卷第24题菱形动态几何和第25题‘靓点’新定义延续了长沙卷压轴题重视几何探究与抽象概括的风格，涉及动点不变量分析、一元二次方程求解、参数讨论等高阶思维。预计未来长沙卷将继续以几何动态综合与新定义为压轴方向，强化数形结合、分类讨论和从特殊到一般的探究路径，思维过程考查将继续成为顶尖区分度的重要载体。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 图形的变化→轴对称→轴对称图形识别 几何直观 2 单选 3 图形的性质→三角形→三角形三边关系 推理能力 3 单选 3 数与式→科学记数法→科学记数法表示 运算能力 4 单选 3 数与式→幂的运算→同底数幂乘法与公式辨析 运算能力 5 单选 3 方程与不等式→一元一次不等式→一元一次不等式的解法与数轴表示 运算能力、几何直观 6 单选 3 统计与概率→统计调查→抽样调查与全面调查 数据观念 7 单选 3 数与式→代数式→列代数式 抽象能力 8 单选 3 图形的性质→相交线与平行线→平行线的性质与垂直定义 推理能力 9 单选 3 图形的性质→圆→弧长计算与圆内接正三角形 推理能力、运算能力 10 单选 3 图形的性质→勾股定理→赵爽弦图与完全平方公式 推理能力、运算能力 11 填空 3 数与式→有理数→正负数的意义 抽象能力 12 填空 3 方程与不等式→一元一次方程→一元一次方程的解 运算能力 13 填空 3 统计与概率→概率→简单随机事件概率 数据观念 14 填空 3 图形的性质→三角形→三角形中位线定理 推理能力 15 填空 3 函数→反比例函数→反比例函数图象与性质 推理能力 16 填空 3 统计与概率→数据分析→数据推理与整数拆分 数据观念、推理能力 17 解答 6 数与式→实数→实数的混合运算 运算能力 18 解答 6 数与式→分式→分式的化简求值 运算能力 19 解答 6 图形的性质→三角形→等腰三角形与尺规作图 推理能力、几何直观 20 解答 8 统计与概率→统计→统计图表分析与用样本估计总体 数据观念 21 解答 8 图形的性质→三角形→全等三角形的判定与性质 推理能力、几何直观 22 解答 9 方程与不等式→一元一次方程→一元一次方程的实际应用 模型观念、应用意识 23 解答 9 图形的性质→圆→切线性质与相似三角形 推理能力、运算能力 24 解答 10 综合与实践→几何综合→菱形性质与动点问题 推理能力、几何直观 25 解答 10 综合与实践→新定义→函数与方程综合 推理能力、创新意识 考点模块占比分析 数与式模块（约20%，24分）：重点考查科学记数法、幂的运算、列代数式、实数混合运算、分式化简求值等基础代数内容，对应第3、4、7、11、17、18题。 函数模块（约2.5%，3分）：本卷函数模块分值较轻，仅第15题考查反比例函数图象与性质，后续复习仍需关注一次函数、二次函数与几何的综合应用。 图形的性质模块（约31.7%，38分）：重点考查三角形三边关系、平行线性质、圆、勾股定理、三角形中位线、等腰三角形、全等三角形及切线性质，对应第2、8、9、10、14、19、21、23题。 图形的变化与综合实践模块（约19.2%，23分）：重点考查轴对称图形识别、菱形性质、动点问题与新定义综合，对应第1、24、25题。 统计与概率模块（约14.2%，17分）：重点考查抽样调查、概率计算、统计图表分析与用样本估计总体，对应第6、13、16、20题。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实基础概念与运算技能 （1）优先巩固数与式、方程不等式、统计概率等核心概念，做到概念清晰、运算准确、表达规范。选择题和填空题前半部分占分较多，基础扎实即可稳定得分。 （2）重视课本例题和课后习题的变式训练，尤其是实数运算、分式化简、解方程不等式、概率计算等高频考点，确保基本计算不丢分。 2. 专题突破几何推理与综合应用，建立解题模型 （1）针对三角形、四边形、圆等几何专题，归纳常见辅助线作法（如作高、连半径、构造全等三角形），建立‘条件—模型—结论’的关联路径。 （2）对综合实践与新定义压轴题，重点训练阅读理解、符号翻译、分类讨论和从特殊到一般的探究方法，掌握动态几何中的不变量分析。 3. 强化真实情境题训练，提升数学建模与应用意识 （1）多关注以地方生态、传统文化、生活实际为背景的统计与概率、方案设计、方程应用题，培养从情境中提取信息、建立模型、求解验证的能力。 （2）注重规范表达和步骤完整性，尤其是解答题要写出关键依据（如定理、公式、性质），避免因步骤缺失或表述不清而失分。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×运算符号出错：实数运算和分式化简中，负指数、零指数、符号处理是常见失分点，建议分步书写、及时检验。 ×忽视题目条件限制：如第15题写k值时忽略反比例函数图象所在象限对k符号的要求；第23题证明时漏写切线垂直半径的关键条件。 ×几何证明跳步漏条件：相似、全等三角形的判定条件要一一对应，避免‘想当然’地跳过关键步骤。 ×统计题忽略样本代表性：第20题分析原因时要指出样本特殊性（某校七、八年级学生），不能泛泛而谈。 一、单选题 1．“说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称图形识别 ►命题分析： （1）情境创设：以四个美术字图形为背景，考查轴对称图形的判断。 （2）问题设计：（1）情境创设：直接给出四个图形选项，不设生活情境，回归几何图形本质；（2）问题设计：要求判断哪一个是轴对称图形，选项设置包含中心对称、旋转对称等易混淆图形；（3）考查目标：考查学生对轴对称图形概念的理解和几何直观能力。 （3）考查目标：考查几何直观能力，要求学生能准确识别沿某条直线折叠后两部分完全重合的图形。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 知识总结 ①核心概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②解题方法：逐一观察四个选项，判断是否存在一条直线使图形两部分完全重合，只有选项A满足。③拓展关联：轴对称是研究等腰三角形、菱形、圆等图形性质的重要基础，常与中心对称、旋转对称综合考查。 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：三角形三边关系 ►命题分析： （1）情境创设：给出四组线段长度，判断哪组能组成三角形。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯几何判断题，直接考查三角形三边关系；（2）问题设计：每组三个数，需判断较小两边之和是否大于第三边；（3）考查目标：考查学生对三角形三边关系的理解和应用。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生掌握‘任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边’的判断方法。 答案与解析 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 知识总结 ①核心概念：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。②解题方法：对每组数据，将较小两边相加并与最大边比较，若和大于最大边则能组成三角形。例如且，故11、18、22可组成三角形。③拓展关联：三边关系是判断三条线段能否构成三角形的根本依据，常与勾股定理逆定理、等腰三角形综合考查。 3．长沙，正为湖南建设年轻人友好省份贡献坚实的省会力量，让“青春长沙”成为新时代最闪耀的名片．省市两级共设亿元创业投资基金，支持大学生创业，用科学记数法将数据表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：将505 000 000用科学记数法表示。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯数与式运算题；（2）问题设计：给出大数，要求写成形式，选项设置考查对a范围和n值的理解；（3）考查目标：考查科学记数法的表示方法。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握科学记数法中且n为整数的要求。 答案与解析 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：科学记数法是把一个数表示成的形式，其中，n为整数。②解题方法：。③拓展关联：科学记数法常用于表示极大或极小的数，是物理、化学、地理等学科中数据表达的常用工具。 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：幂的运算与乘法公式辨析 ►命题分析： （1）情境创设：判断四个代数运算式中哪一个正确。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：选项涉及同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式加减等易混淆运算；（3）考查目标：考查学生对幂的运算性质和乘法公式的准确理解。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能准确辨析、等公式结构。 答案与解析 【答案】B 【分析】本题A选项考查二次根式的加减运算；B选项考查幂的乘法法则：；C选项考查乘法分配律：；D选项考查完全平方公式：． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误． 知识总结 ①核心概念：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即；完全平方公式；二次根式加减需先化简为同类二次根式。②解题方法：正确；；。③拓展关联：幂的运算法则是整式运算、分式运算、指数函数学习的基础。 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一元一次不等式的解法与数轴表示 ►命题分析： （1）情境创设：解不等式并在数轴上表示解集。 （2）问题设计：（1）情境创设：基础运算题，将解不等式与数轴表示结合；（2）问题设计：先求解不等式，再在四个数轴表示中选出正确选项；（3）考查目标：考查不等式解法和数形结合能力。 （3）考查目标：考查运算能力和几何直观，要求学生正确解不等式并在数轴上准确表示解集。 答案与解析 【答案】A 【分析】解一元一次不等式求出解集，根据“小于向左，大于向右，无等号画空心，有等号画实心”的原则判断数轴表示． 【详解】解： 移项，得， 合并同类项，得， 在数轴上表示： ． 知识总结 ①核心概念：解一元一次不等式的步骤与解方程类似，但不等式两边同乘或同除负数时不等号方向要改变。②解题方法：解得，在数轴上1处画空心圆圈，方向向左。③拓展关联：数轴表示解集是数形结合的重要体现，为后续学习不等式组、函数图象奠定基础。 6．下列调查中，调查方式选择合理的是（     ） A．了解全国初中生的课外阅读情况，选择全面调查 B．了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 C．检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，选择全面调查 D．检测湘江某段水域的水质情况，选择抽样调查 命题透视 ►核心考点：抽样调查与全面调查的选择 ►命题分析： （1）情境创设：以湘江水质检测为背景，选择合适的调查方式。 （2）问题设计：（1）情境创设：将长沙母亲河湘江水质保护融入试题，具有鲜明地域特色；（2）问题设计：给出四个调查情境，要求选择适合抽样调查的对象；（3）考查目标：考查学生对抽样调查和全面调查适用条件的理解。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能根据调查对象的特征选择合理的调查方式。 答案与解析 【答案】D 【分析】依据调查的范围、是否具有破坏性及结果精度要求，判断调查方式的合理性． 【详解】解：A. 全国初中生调查范围广，全面调查工作量大，应选择抽样调查，故不合理； B. 神舟飞船设备零件质量要求极高，需全面调查，选择抽样调查不合理； C. 检测鞋底弯折次数具有破坏性，应选择抽样调查，选择全面调查不合理； D. 湘江某段水域水量大，无法全面检测水质，选择抽样调查合理． 知识总结 ①核心概念：全面调查是对总体中每个个体进行调查；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查。当总体数量大、调查具有破坏性或不必要全面调查时，宜采用抽样调查。②解题方法：湘江水质范围广，适合抽样调查；班级人数、登机旅客等适合全面调查或逐一检查。③拓展关联：抽样调查是统计推断的基础，样本的代表性直接影响估计的可靠性。 7．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：列代数式 ►命题分析： （1）情境创设：n串冰糖葫芦，每串5个山楂，求山楂总数。 （2）问题设计：（1）情境创设：以冰糖葫芦为生活背景，贴近学生经验；（2）问题设计：用字母n表示串数，要求用代数式表示总数；（3）考查目标：考查学生用字母表示数的能力。 （3）考查目标：考查抽象能力，要求学生能根据数量关系用代数式表示一般规律。 答案与解析 【答案】B 【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． 知识总结 ①核心概念：用字母表示数可以表示一类数量关系，具有一般性。②解题方法：每串5个，n串共有个山楂。③拓展关联：列代数式是方程、函数学习的基础，后续常结合实际问题考查。 8．如图，直线，垂足为，点在直线上，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平行线的性质与垂直定义 ►命题分析： （1）情境创设：已知，，，求。 （2）问题设计：（1）情境创设：以垂直线和平行线组合图形为背景，考查基本几何推理；（2）问题设计：利用垂直得直角，利用平行线性质求角；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生能综合运用垂直定义和平行线性质进行角度计算。 答案与解析 【答案】C 【分析】利用垂直定义求出与直线的夹角，再利用平行线性质求解即可． 【详解】解：， 直线与直线的夹角为． ， 与直线的夹角为． ， 等于与直线的夹角， ． 知识总结 ①核心概念：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；垂直定义：两直线垂直夹角为。②解题方法：由得，由及可求得。③拓展关联：平行线与相交线是初中几何的基础，常与三角形内角和、外角性质综合考查。 9．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：弧长计算与圆内接正三角形 ►命题分析： （1）情境创设：等边三角形ABC内接于半径为3的圆，求弧AB的长。 （2）问题设计：（1）情境创设：以圆内接正三角形为背景，综合考查圆心角与弧长；（2）问题设计：先求圆心角，再用弧长公式计算；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生掌握圆内接正三角形的圆心角特征和弧长公式。 答案与解析 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 知识总结 ①核心概念：圆内接正三角形的各顶点将圆周三等分，每段弧所对圆心角为；弧长公式。②解题方法：。③拓展关联：弧长与扇形面积是圆的重要度量，常与圆锥侧面展开、旋转路径综合考查。 10．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：赵爽弦图与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：赵爽弦图中，最小正方形面积为1，，求外围正方形EFGH的面积。 （2）问题设计：（1）情境创设：以中国古代数学成就赵爽弦图为背景，弘扬数学文化；（2）问题设计：通过弦图结构建立方程，利用勾股定理和完全平方公式求解；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能利用弦图结构进行代数推理。 答案与解析 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， 四个直角三角形全等， 结合全等三角形性质同理可得，， ， ， ，解得， 正方形的面积． 知识总结 ①核心概念：赵爽弦图由四个全等直角三角形和一个小正方形组成，大正方形面积等于四个直角三角形面积加小正方形面积。②解题方法：设直角三角形两直角边为a、b，由得，小正方形边长为，面积为1，则大正方形面积为。③拓展关联：弦图是证明勾股定理的经典图形，体现了数形结合思想。 二、填空题 11．某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少记作__________． 命题透视 ►核心考点：正负数的意义 ►命题分析： （1）情境创设：标准质量1kg，少20g记作多少。 （2）问题设计：（1）情境创设：以商品质量标注为背景，考查正负数意义；（2）问题设计：直接用正负数表示相反意义的量；（3）考查目标：考查抽象能力。 （3）考查目标：考查抽象能力，要求学生理解正负数表示相反意义的量。 答案与解析 【答案】 【分析】正负数用于表示相反意义的量，已知比标准质量多记为正，可直接推出比标准质量少的记法． 【详解】解：∵比标准质量多记作， ∴比标准质量少应记作． 知识总结 ①核心概念：用正负数可以表示一对具有相反意义的量，规定一个方向为正，则相反方向为负。②解题方法：少20g记作。③拓展关联：正负数、数轴、绝对值是初中代数的基础，后续学习有理数运算、函数图象都要用到。 12．若关于的方程的解是，则的值为__________． 命题透视 ►核心考点：一元一次方程的解 ►命题分析： （1）情境创设：方程的解为，求m。 （2）问题设计：（1）情境创设：直接给出方程及其解，考查方程解的定义；（2）问题设计：将代入方程求参数m；（3）考查目标：考查运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生理解方程的解满足方程左右两边相等。 答案与解析 【答案】 【分析】方程的解满足方程，将代入原方程即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 知识总结 ①核心概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。②解题方法：将代入，得，解得。③拓展关联：方程的解是后续学习方程组、不等式、函数零点的重要概念。 13．年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 命题透视 ►核心考点：简单随机事件概率 ►命题分析： （1）情境创设：6个活动中随机抽中‘玩转魔方’的概率。 （2）问题设计：（1）情境创设：以校园活动为背景，贴近学生生活；（2）问题设计：直接计算等可能事件的概率；（3）考查目标：考查数据观念。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生掌握古典概型的概率计算方法。 答案与解析 【答案】 【分析】总共有6种等可能的抽取结果，抽中“玩转魔方”只有1种符合条件的结果，直接用概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有6个不同的数学活动，每个活动被抽取的可能性相等，抽中“玩转魔方”的结果只有种， ∴抽中“玩转魔方”的概率为． 知识总结 ①核心概念：等可能试验中，。②解题方法：共有6种等可能结果，抽中‘玩转魔方’只有1种，概率为。③拓展关联：概率计算是统计与概率模块的核心，常结合列表法、树状图法考查。 14．在中，点，分别是边，的中点，连接，若，则的长为____________． 命题透视 ►核心考点：三角形中位线定理 ►命题分析： （1）情境创设：D、E分别为AB、AC中点，，求BC。 （2）问题设计：（1）情境创设：以三角形中位线为背景，考查中位线定理；（2）问题设计：直接应用中位线定理求第三边；（3）考查目标：考查推理能力。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 答案与解析 【答案】12 【分析】点D，E分别是，的中点，可判定是的中位线，利用三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 知识总结 ①核心概念：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。②解题方法：。③拓展关联：中位线定理是证明线段平行、线段倍分关系的重要工具，常与相似三角形、平行四边形综合考查。 15．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 命题透视 ►核心考点：反比例函数图象与性质 ►命题分析： （1）情境创设：反比例函数图象在第一、三象限，写出一个k的值。 （2）问题设计：（1）情境创设：直接给出反比例函数图象位置，考查性质；（2）问题设计：根据图象所在象限确定k的符号，再写出任意正数；（3）考查目标：考查推理能力。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生掌握反比例函数图象与比例系数k的关系。 答案与解析 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 知识总结 ①核心概念：反比例函数，当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限。②解题方法：图象在第一、三象限，故，可取。③拓展关联：反比例函数是初中函数学习的重要内容，常与一次函数、几何图形面积综合考查。 16．龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 命题透视 ►核心考点：数据推理与整数拆分 ►命题分析： （1）情境创设：6篮粽子质量分别为74,62,66,58,67,60，刘总数是胡总数的2倍，求胡的两篮质量。 （2）问题设计：（1）情境创设：以端午节粽子销售为背景，弘扬传统文化；（2）问题设计：先求总质量，再根据和差倍分关系求出胡的两篮质量和，最后拆分整数；（3）考查目标：考查数据观念和推理能力。 （3）考查目标：考查数据观念和推理能力，要求学生能根据和差倍分关系进行数据推理。 答案与解析 【答案】 【分析】先计算六个篮子的总粽子数，根据小刘总数是小胡的2倍，得到总数量是小胡的3倍，求出小胡两个篮子的粽子总数，再找出和为该数的两个数即可． 【详解】解：六个篮子的粽子总数量， ∵ 小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍， ∴ 小胡包的粽子总数为 ， 六个数中两个数的和为只有和，因此小胡的两个篮子里的粽子数量分别是和． 知识总结 ①核心概念：总质量等于各部分质量之和；和差倍分问题是数据推理的基础。②解题方法：总质量为，胡总数为，在6个数中找出和为129的两个数：62和67。③拓展关联：数据推理常与统计量、方程思想结合，是分析实际问题的重要能力。 三、解答题 17．计算：． 命题透视 ►核心考点：实数的混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：计算。 （2）问题设计：（1）情境创设：基础运算综合题；（2）问题设计：综合考查算术平方根、特殊角三角函数、负整数指数幂、零指数幂；（3）考查目标：考查运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握实数运算中的几个基本公式。 答案与解析 【答案】 【详解】解： 知识总结 ①核心概念：表示a的算术平方根；；；。②解题方法：原式。③拓展关联：实数混合运算是中考必考题型，涉及根式、三角函数、指数等多个知识点。 18．先化简，再求值：，其中． 命题透视 ►核心考点：分式的化简求值 ►命题分析： （1）情境创设：化简，并代入求值。 （2）问题设计：（1）情境创设：分式运算综合题；（2）问题设计：先通分化简，再代入求值，考查分式加减和因式分解；（3）考查目标：考查运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生掌握分式加减的通分技巧和代入求值方法。 答案与解析 【答案】化简结果为，值为 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 知识总结 ①核心概念：分式加减需先通分，最简公分母为各分母因式的最高次幂的积。②解题方法：；当时，原式。注意：题目答案为-3，可能原式为化简为，代入得-3，需按原题实际表达式核对。③拓展关联：分式化简是后续学习分式方程的基础。 19．如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长． 命题透视 ►核心考点：等腰三角形与尺规作图 ►命题分析： （1）情境创设：，，，作AB的中垂线交BC于D。 （2）问题设计：（1）情境创设：以等腰三角形和尺规作图为背景，考查几何推理；（2）问题设计：第(1)问作图，第(2)问求BD长度，综合利用等腰三角形、中垂线和含直角三角形；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生掌握尺规作图和等腰三角形的性质应用。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作图可知为的中垂线，则，又已知，所以，则在中利用三角形内角和公式即可求解； （2）因为，，则，即，可知，则题目可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 根据作图可知为的中垂线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；等腰三角形两底角相等；含的直角三角形中，所对直角边等于斜边的一半。②解题方法：由、得；由中垂线性质，可进一步求得。③拓展关联：尺规作图与几何性质结合是中考几何解答题的常见形式。 20．2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射．这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行．某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（：；：；：；：）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表： 七、八年级成绩统计表 年级 平均数 方差 七年级 84.38 134.48 八年级 86.40 114.54 根据以上信息，解答下列问题： (1)请将七年级成绩条形统计图补充完整； (2)八年级成绩扇形统计图中，等级对应圆心角的度数为____________； (3)若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为等级的有____________人； (4)请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况． 命题透视 ►核心考点：统计图表分析与用样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以航天知识测试成绩统计为背景，给出七、八年级各40人成绩统计表和条形图、扇形图。 （2）问题设计：（1）情境创设：以航天科技测试为情境，呼应科技强国主题；（2）问题设计：分四小问，分别考查补全条形图、求扇形圆心角、用样本估计总体、根据平均数和方差分析年级差异；（3）考查目标：考查数据观念。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能读懂统计图表、进行合理估计并解释数据含义。 答案与解析 【答案】(1) (2) (3)320 (4)从平均数看，八年级平均成绩为86.40分，高于七年级的84.38分，说明八年级学生航天知识测试的整体水平更高； 从方差看，八年级方差为114.54，小于七年级的134.48，说明八年级学生航天知识测试的成绩更稳定． 【分析】（1）先求出C等级学生人数，然后补全统计图即可； （2）先求出B等级学生占比，然后用乘以这个比值即可； （3）用总人数乘以成绩样本中成绩为等级人数的占比即可； （4）根据平均数和方差的意义解答，合理即可． 【详解】（1）解：C等级学生人数：（人）， 补全条形统计图略； （2）解：B等级学生占比：， 等级对应圆心角的度数为：； （3）解：（人）， 即估计成绩为等级的有320人； （4）略． 知识总结 ①核心概念：扇形圆心角该组频率；用样本估计总体时，总体数量样本中某类频率总体容量；方差反映数据波动程度，方差越小越稳定。②解题方法：八年级C等级人数为8；B等级圆心角为；估计七、八年级A等级学生共约320人；八年级平均分高且方差小，整体成绩更好。③拓展关联：统计推断是数据分析的核心，样本代表性和估计合理性是解释结论时必须说明的要点。 21．如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 命题透视 ►核心考点：全等三角形的判定与性质 ►命题分析： （1）情境创设：，，，再求的面积。 （2）问题设计：（1）情境创设：以全等三角形证明为背景，综合考查平行线性质与三角形面积；（2）问题设计：第(1)问证明全等，第(2)问求面积；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能灵活运用AAS判定全等并计算面积。 答案与解析 【答案】(1)证明：， ． 在和中， ， ． (2)的面积是5 【分析】（1）利用平行条件可得出一组对应角相等，然后利用判定三角形全等； （2）由（1）可得，过点向作高线，由于，利用勾股定理可求出高线的长度，即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点向对边作垂线，垂足为， 则， 由（1）可得， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得：， ， ． 知识总结 ①核心概念：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；全等三角形对应边相等、对应角相等。②解题方法：由得，结合、，可证(AAS)；进而求面积。③拓展关联：全等三角形是证明线段相等、角相等的重要工具，常与相似、勾股定理综合考查。 22．某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． (1)求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ (2)该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 命题透视 ►核心考点：一元一次方程的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以书法兴趣小组购买毛笔为背景，A型、B型毛笔分段优惠，求零售价及总费用。 （2）问题设计：（1）情境创设：以传统文化书法毛笔购买为情境，贴近学生生活；（2）问题设计：第(1)问列方程组求零售价，第(2)问按分段计费规则计算30人总费用；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念和应用意识，要求学生能从表格中提取信息并建立方程模型。 答案与解析 【答案】(1)A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元 (2)共需花费460元 【分析】（1）根据A、B型毛笔零售价的数量关系和购买指定数量的总费用，列一元一次方程求解； （2）先计算需购买的A、B型毛笔总数量，再结合分段优惠规则分别计算费用，求和得到总花费． 【详解】（1）解：设A型毛笔的零售价为每支元，则B型毛笔的零售价为每支元， 由题意得， 解得， ， 答：A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元； （2）解：需购买A型毛笔数量：（支），需购买B型毛笔数量：（支）， ， 购买A型毛笔的费用为（元）； ， 购买B型毛笔的费用为（元） ； 总费用：（元） ． 答：本次购买两种型号的毛笔共需花费460元． 知识总结 ①核心概念：分段计费需按不同区间分别计算；列方程解应用题关键是找出等量关系。②解题方法：设A型零售价为x元，B型为y元，由和解得，；30人需A型30支、B型60支，费用为元。③拓展关联：分段计费是函数与方程实际应用的重要类型，也是生活中常见的计费方式。 23．如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与点，重合），和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)求证：平分； (2)已知直径，设，，求关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 命题透视 ►核心考点：切线性质与相似三角形 ►命题分析： （1）情境创设：半圆直径，CD切半圆于C，于D，，。 （2）问题设计：（1）情境创设：以半圆切线为背景，综合考查圆与相似三角形；（2）问题设计：第(1)问证明BC平分，第(2)问求y与x的函数关系；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能综合运用切线性质、平行线和相似三角形求解。 答案与解析 【答案】(1)证明：如图，连接， 是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的定义得到，进而得到，根据平行线的性质得到，再利用等腰三角形的性质求出，从而得到结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，再结合（1）中结论证明，根据相似三角形的对应边成比例列等式，整理后得到y关于x的函数解析式． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 是半圆的直径， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 即， ， 关于的函数解析式为． 知识总结 ①核心概念：切线垂直于过切点的半径；平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似。②解题方法：连接OC，由切线性质，又，故，得；由得，所以BC平分。由得，即。③拓展关联：圆的切线问题是中考几何综合题的热点，常结合相似、勾股定理、三角函数考查。 24．边长为的菱形中，记（），该菱形的周长为，面积为． (1)判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①与成正比例关系；（     ） ②当时，；（     ） ③若该菱形的两条对角线的长满足，则．（     ） (2)当时，解答下列问题： ①如图1，点在边上运动（不与点，重合），连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点．请问的大小是否发生变化？如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由； ②如图2，点在边的延长线上运动，连接交边于点，连接并延长交于点．设，当时，求的值． 命题透视 ►核心考点：菱形性质与动点问题 ►命题分析： （1）情境创设：菱形边长为a，，，判断命题并解决动点问题。 （2）问题设计：（1）情境创设：以菱形动态几何为背景，综合性强；（2）问题设计：第(1)问判断三个命题的正确性，第(2)问在时探究是否变化并求k值；（3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，要求学生能综合运用菱形性质、等边三角形、相似三角形和一元二次方程解决动态几何问题。 答案与解析 【答案】(1)①√；②√；③√； (2)①不变，；② 【分析】（1）可画图，根据菱形的性质，结合锐角三角函数和成正比例关系的定义求解①②③即可； （2）①连接，先根据菱形的性质得到，，，可证明为等边三角形得到，，设，则，分别证明和，得到，然后利用三角形的外角性质求解即可； ②连接，先证明得到，，再分别证明和，得到，进而解关于k的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，菱形中，对角线、相交于O，于E，， 则，，，，， ①周长，与成正比例关系，正确； ②当时，， ∴， ∴，正确； ③∵，即， ∴， ∴，则， ∴，正确； （2）解：①如图1，连接， 在菱形中，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②如图2，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 整理得， 解得． 知识总结 ①核心概念：菱形四边相等、对角线互相垂直平分、对角相等；等边三角形三内角均为；相似三角形对应边成比例；动点问题中常寻找不变量。②解题方法：第(1)问三个命题均正确；第(2)问①可证不变；②由相似关系建立方程，解得。③拓展关联：动态几何问题通常需要抓住‘变中不变’的量，利用相似、全等建立数量关系，是中考几何压轴题的高频考点。 25．我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 命题透视 ►核心考点：函数与方程综合（新定义） ►命题分析： （1）情境创设：定义：若点满足，则称P为‘靓点’。 （2）问题设计：（1）情境创设：以新定义‘靓点’为背景，考查函数与方程综合；（2）问题设计：第(1)问判断对称点是否为靓点，第(2)问求直线与二次函数交点条件，第(3)问求参数a；（3）考查目标：考查推理能力、运算能力和创新意识。 （3）考查目标：考查推理能力、运算能力和创新意识，要求学生能理解新定义、建立方程并运用判别式和韦达定理求解。 答案与解析 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； (2)证明：∵点为“靓点”， ∴， 当时代入上式，可得，方程无解， ∴满足“靓点”的点，横坐标不能为1， 将代入，得，整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)的值为 【分析】（1）由“靓点”的定义可得，再表示出点的横、纵坐标之和与横、纵坐标之积，由此即可证明； （2）将代入得到，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得证； （3）将代入得，结合题意，令，则方程有两个不相等的实数根，，利用一元二次方程根的判别式求出或，求出，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，整理得，求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入，得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 知识总结 ①核心概念：新定义问题需紧扣定义进行翻译；一元二次方程有不等实根时；韦达定理，。②解题方法：第(1)问由关于点成中心对称，若P为靓点，则Q也是靓点；第(2)问将直线代入，整理后利用判别式分析；第(3)问结合韦达定理和条件解得。③拓展关联：新定义问题是中考压轴题的重要形式，考查学生的阅读理解、抽象概括和知识迁移能力。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $