精品解析：2026年湖南省中考数学试题

**基本信息** 本卷以非遗文化、生态治沙、校园科技等真实情境为载体，通过基础题与综合探究题的梯度设计，考查抽象能力、空间观念、数据意识等核心素养，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数运算、几何视图、概率等|如非遗知识概率题渗透文化传承，考查随机观念| |填空题|6/18|因式分解、正多边形角度、圆面积等|正六边形顶点角度计算，体现几何直观| |解答题|8/72|方程应用、统计分析、函数建模、几何探究|治沙面积方程应用考查运算能力，科技节统计分析培养数据意识，抛物线栅栏问题突出模型观念，几何探究题发展推理能力，贴合中考命题趋势|

数  学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（ ） A. 元 B. （）元 C. 元 D. 元 2. 如图，该电池的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若 是分式方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 9. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：________ 12. 因式分解：________ 13. 已知，则代数式的值是________． 14. 如图，是两个正六边形的公共边，和是离最远的顶点，则________°． 15. 如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 16. 如图，，，是反比例函数图象上三个不同的点，轴于点D． （1）若在的外接圆上，且点的坐标是，则________； （2）设是线段的中点，且轴．若，则________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 20. 如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． （1）求证：与⊙相切； （2）已知，，求⊙的半径． 21. 科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷 你选择参与的科技活动项目是（ ）（单选题） A．小发明 B．小制作 C．小实验 D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 22. 某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． （1）如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）； （2）求阅读室的长与宽； 【问题解决】 （3）调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由． 23. 如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为 轴与 轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出点的坐标； （2）分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 24. 【问题背景】 如图 ，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图 ，作，使得，且当点运动时，保持，． 【动手操作】 将拼接于平行四边形的上方： 操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点； 操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接． 【问题解决】 （1）如图 ，当时，________°； （2）如图，从结论①，②中选一个给出证明； ①，②； （3）如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； （4）如图，设，，当点运动时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数  学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（ ） A. 元 B. （）元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【详解】解：总费用为元． 2. 如图，该电池的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该电池的主视图是． 3. 水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点表示的数为a，由数轴可知，，根据，，，即可得出答案， 【详解】解：设点表示的数为a， 由数轴可知，， ∵，，，， ∴点表示的数可能是． 5. 已知，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值． 【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得， 又∵，且，， ∴，对应指数相等，可得． 6. 若是分式方程的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】是分式方程的解， 将代入原方程，可得， 整理得， 解得． 7. 在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 共有张完全相同的卡片， ∴所有等可能的抽取结果总数为， ∵抽中“湘剧”卡片的结果数为， ∴ 恰好抽中“湘剧”卡片的概率为 ． 8. 如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】因为，，，可得，，，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ∵，∴不平分，故D选项错误； ∵，∴与不平行，故C选项错误； ∵，故A选项错误． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 10. 门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 化简：________ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式：进行因式分解． 【详解】． 13. 已知，则代数式的值是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 14. 如图，是两个正六边形的公共边，和是离最远的顶点，则________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：∵图是两个正六边形， ∴每个内角为， 由正六边形的轴对称性可知，， 同理可得， ∴． 15. 如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 16. 如图，，，是反比例函数图象上三个不同的点，轴于点D． （1）若在的外接圆上，且点的坐标是，则________； （2）设是线段的中点，且轴．若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得，在中求即可； （2）连接并延长，交轴于点，先根据平行关系得出，根据三点坐标关系得出，再根据相似三角形的相似比得出，即可求出． 【详解】解：（1）轴， ，， 在的外接圆上，所对圆弧均为， ． （2）如图，连接并延长，交轴于点， 设，由是线段的中点得， 轴，轴， ， 两点横坐标相同， ，即 都在反比例函数上， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：解 移项得 解得 解 两边同时除以2得 移项得 解得 根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得 因此原不等式组的解集为． 19. 我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【解析】 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 20. 如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． （1）求证：与⊙相切； （2）已知，，求⊙的半径． 【答案】（1）证明：由尺规作图的作法可知，射线是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的半径，且点在上， ∴与相切； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分；又，为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得．因是的半径，且点在直线上，即可证与相切； （2）由、，根据三线合一可知是底边的中线，则可得．在中，运用勾股定理即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，且， ∴是底边的中线， ∴， 在中，， ∴的半径为． 21. 科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷 你选择参与的科技活动项目是（ ）（单选题） A．小发明 B．小制作 C．小实验 D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： （1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； （2）在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； （3）请补全条形统计图； （4）若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； （5）该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 【答案】（1）100 （2） （3） （4）该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有180人 （5）小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额 【解析】 【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可； （2）由项目C占总人数的百分比即可求出其圆心角； （3）先求出项目A的人数，再进行补全即可； （4）根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数； （5）根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，选择B项目的学生有50人；由扇形统计图可知，B项目人数占总人数的， ∴总人数为（人）； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，选择C项目的学生有25人， ∴其圆心角度数为； 【小问3详解】 解：由题意得，A项目的人数为（人）； 【小问4详解】 解：由题意得，选择小论文的人数约为：（人）； 【小问5详解】 解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配80个奖励名额， ∴A项目的奖励名额为：（个）； B项目的奖励名额为：（个）； C项目的奖励名额为：（个）； D项目的奖励名额为：（个）， 答：小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额． 22. 某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． （1）如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）； （2）求阅读室的长与宽； 【问题解决】 （3）调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由． 【答案】（1）， （2）长为米，宽为米 （3）解：可以摆下 理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数x为10， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数y为6， ∵， ∴可以摆下． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求即可； （2）根据长为8个的长加上7个过道；宽为5个的长加上4个过道求解即可； （3）设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，根据x个的长加上个过道不超过总长度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数x的最大值，根据y个的长加上个过道不超过总宽度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出的最大值，然后与60比较，即可得出结论． 【小问1详解】 解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴（米），， ∴， ∴（米）； 【小问2详解】 解∶阅读室的长为（米），宽为（米） 【小问3详解】 略 23. 如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出点的坐标； （2）分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【答案】（1） （2）直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： （3） 【解析】 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【小问1详解】 解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． 【小问3详解】 解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 24. 【问题背景】 如图 ，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图 ，作，使得，且当点运动时，保持，． 【动手操作】 将拼接于平行四边形的上方： 操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点； 操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接． 【问题解决】 （1）如图 ，当时，________°； （2）如图，从结论①，②中选一个给出证明； ①，②； （3）如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； （4）如图，设，，当点运动时，求的最大值． 【答案】（1）100 （2）解：选择①， 证明：∵， ∴， 又， ∴； 选择②， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴； （3）解：， 理由：∵，， ∴①，， ∵， ∴②， 由①得， 由②得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）根据平角定义求解即可； （2）选择①：根据平行线的性质得出，结合即可得证；选择②：根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得证； （3）根据（2）中∵，，可得出，，则，变形为，则，得出，然后根据等式的性质即可得出结论； （4）根据题意，得图3中和图4中全等，得出，由图3中，得出，结合，得出，则可证明，设，则，根据相似三角形的性质求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：根据题意，得图3中和图4中全等， ∴， ∵图3中， ∴， 由（3）知：， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴ ， ∴当时，取最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $