2026年中考数学真题完全解读（广东省广州卷）

该初中数学中考复习讲义聚焦2026年广州中考数学核心考点，覆盖数与式、函数、图形性质等五大模块，按“考点细目-模块占比-核心策略”系统架构知识，通过“概念辨析-模型构建-真题分层训练”流程，帮助学生突破基础题细节、中档题跨模块融合、压轴题新定义探究等难点。 亮点在于“真实情境建模”与“思维过程可视化”教学，如以广州龙舟赛成绩考查中位数培养数据观念，通过旋转对称图形“理解-分析-设计”活动发展推理能力与创新意识。设“避坑清单”和三级分层练习，配合5分钟限时真题微测，保障高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生综合应考能力。

2026年广东省广州市中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年广东省广州市中考数学试卷全卷共25题，满分120分，考试时间120分钟，题型结构与广州卷近年保持一致：选择题10题（每题3分，共30分），填空题6题（每题3分，共18分），解答题9题（分值为4、4、6、6、8、10、10、12、12分，共72分）。试卷整体难度定位为基础为主、梯度递进，突出基础性、综合性、应用性与创新性的融合考查。第1-8题、第11-13题、第17-18题属基础题，直接考查绝对值、科学记数法、幂的运算、不等式组、中位数、中位线等核心概念与通性通法；第9、10、14、16题在基础设问中融入点圆最值、函数图象性质综合、中心对称坐标等思维含量，体现基础题不简单的命题取向；第19、21、22题以分式化简求值、反比例函数应用、圆与相似综合承载中档区分功能；第23-25题以新定义研究活动、二次函数定点与面积范围、对称变换下的四边形综合构成压轴梯度。从模块分布看，函数模块与图形的性质模块各占约24%，图形的变化与综合实践模块、数与式（含方程与不等式）模块各占约21%，统计与概率模块占约10%，主干突出、分布均衡。试题注重真实情境与数学文化融入：第3题以我国新能源汽车出口数据考查科学记数法，第6题以广州国际龙舟邀请赛训练成绩考查中位数，第20题以航天科技创意大赛构建统计与概率情境，第21题以电子屏幕像素密度建立反比例函数模型，第15题引入秦九韶《数书九章》三斜求积数学文化，第23题以旋转对称图形新定义设计三级探究活动。整体来看，试卷对抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、数据观念、模型观念与应用意识等核心素养形成全面覆盖，对概念理解、分类讨论与规范表达提出了较高要求。 试题亮点 1. 羊城龙舟竞速与湾区科技成就并重，凸显广州卷的本土育人底色：第6题以广州国际龙舟邀请赛“22人龙舟600米直道竞速”项目的六次训练成绩为素材考查中位数，是全卷最具广州辨识度的一道选择题；第21题以电子屏幕尺寸与像素密度的真实散点数据为载体，建立反比例函数模型并解决50英寸屏幕的像素密度问题；第3题以2026年1-5月我国新能源汽车出口约1830000辆为背景考查科学记数法。本土赛事、民生科技与国家成就三类情境共同织入试卷，引导学生在真实问题中用数学眼光观察生活。 2. 数学文化经典与开放性设问交织，通性通法中暗藏“反套路”设计：第15题以南宋数学家秦九韶《数书九章》三斜求积问题为背景，要求学生在理解等价公式的基础上代入求解，舍去负根并检验所得边长满足最长边、最短边的约束；第19题第(2)问要求学生自主选取一个满足 有意义且分母不为零的整数 再求 值，设问开放、答案不唯一；第4题将幂的运算与乘法公式四个选项逐项辨析，第7题由两个相等实数根反求参数，均在常规题型中嵌入概念本质的检验。 3. 新定义研究活动与动点最值压轴分层递进，思维过程成为区分核心：第23题以旋转对称图形新定义为载体，设置概念理解、案例分析、应用设计三个层次的研究活动，从判断正方形的旋转中心与旋转角，到五个全等四边形拼接图形中求∠AOC与∠B，再到等边三角形网格中自主设计旋转对称图形，完整呈现理解定义—案例分析—创造应用的探究链条；第16题以菱形为背景设置双空，第二空需将∠EPF最大转化为OP最小，先确定动点P的射线轨迹再借切线性质构造解直角三角形；第9题在矩形背景中求AP最小值与弧CP的长，第24、25题分别以二次函数定点面积范围、对称变换下四边形周长收尾，压轴链条强调过程推理与临界分析。 命题趋势 一、题型结构延续稳定，基础题“简单外表”下概念理解要求更细：广州卷延续10道选择、6道填空、9道解答共25题120分的经典结构，解答题分值梯度（4、4、6、6、8、10、10、12、12）与近年保持一致。第1-3题、第11-13题、第17-18题送分直接，但第4题幂运算四选项辨析、第7题判别式中 的符号处理、第19题根式与分式有意义条件的完整讨论，都要求学生真正理解概念而非套用题型。预计未来广州卷基础题仍将保持低起点、细概念的反套路设计，机械刷题的边际收益将继续下降。 二、本土赛事与真实数据情境常态化，模型观念与应用意识考查持续加码：第6题广州国际龙舟邀请赛、第21题电子屏幕像素密度、第20题航天科技创意大赛均以真实或贴近学生生活的数据入题，其中第21题要求从散点图判断函数类型再建模求解，形成判断—建模—应用的完整链条。广州作为粤港澳大湾区核心城市，龙舟文化、商贸科技、重大赛事等本土素材储备丰富，未来试题将继续从城市生活与国家科技成就中选材，考查学生从真实数据中提取数量关系并建立函数或方程模型的能力。 三、中高档题跨模块融合加深，几何与函数综合成为区分主战场：第9题将矩形、过三点的定圆、点圆最值与弧长计算融合在一道选择题中；第14题借平行四边形对角线互相平分求坐标后再用待定系数法求一次函数与x轴的交点；第22题集尺规作图、圆周角定理与相似证明于一体；第24题第②问需由 确定 的范围，再建立面积关于 的函数求取值范围。单题承载的知识模块数量持续增加，数形结合、参数讨论与多步推理是未来中高档题的备考重点。 四、新定义研究活动与动点探究延续，创新意识与作图设计能力仍是压轴方向：第23题旋转对称图形研究活动的第(3)问要求在等边三角形网格中用全等菱形自主设计旋转对称图形并标出旋转中心，是全卷开放度最高的一问；第16题、第25题的动点最值均需通过临界位置分析确定取值范围。预计未来广州卷压轴题将继续淡化繁杂计算，向定义理解、图形设计、分类讨论与过程表达倾斜，引导学生完整呈现思维路径。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→绝对值的意义 运算能力 2 单选 3 图形的变化→投影与视图→几何体的左视图 空间观念 3 单选 3 数与式→实数→科学记数法 抽象能力 4 单选 3 数与式→整式→幂的运算与乘法公式 运算能力 5 单选 3 方程与不等式→一元一次不等式组→不等式组的解集 运算能力 6 单选 3 统计与概率→数据的集中趋势→中位数 数据观念 7 单选 3 方程与不等式→一元二次方程→根的判别式 运算能力 8 单选 3 图形的性质→三角形→全等三角形、直角三角形斜边中线与勾股定理 推理能力、几何直观 9 单选 3 图形的性质→圆→定圆中的点线最值与弧长计算 几何直观、推理能力 10 单选 3 函数→一次函数与反比例函数→两函数交点与图象性质综合 几何直观、推理能力 11 填空 3 图形的性质→三角形→三角形中位线定理 推理能力 12 填空 3 统计与概率→统计图表→扇形统计图的圆心角计算 数据观念 13 填空 3 函数→二次函数→配方法求最值 运算能力 14 填空 3 函数→一次函数→中心对称求坐标与待定系数法求与x轴交点 运算能力、几何直观 15 填空 3 图形的性质→三角形→三斜求积公式（三角形面积）的应用 运算能力、应用意识 16 填空 3 图形的性质→四边形→菱形性质、动点轨迹与圆的切线最值 几何直观、推理能力 17 解答 4 方程与不等式→二元一次方程组→加减消元法解方程组 运算能力 18 解答 4 图形的性质→三角形→全等三角形的判定（ASA）与性质 推理能力 19 解答 6 数与式→分式→分式化简求值与代值条件的开放选取 运算能力 20 解答 6 统计与概率→概率→统计表频率计算与树状图求概率 数据观念、运算能力 21 解答 8 函数→反比例函数→反比例函数的实际应用（判断、建模、求值） 模型观念、应用意识 22 解答 10 图形的性质→圆→角平分线尺规作图、圆周角定理与相似三角形 推理能力、几何直观 23 解答 10 图形的变化→旋转→旋转对称图形（新定义）的理解、计算与设计 创新意识、推理能力 24 解答 12 函数→二次函数→含参抛物线定点问题与三角形面积取值范围 推理能力、运算能力 25 解答 12 图形的变化→轴对称与解直角三角形→对称变换下的四边形综合 推理能力、几何直观 考点模块占比分析 数与式模块（约21%，25分）：绝对值、科学记数法、幂的运算与乘法公式等数与式的基础运算，以及不等式（组）的解集、一元二次方程根的判别式、二元一次方程组、分式化简求值等方程与不等式内容。对应第1、3、4、5、7、17、19题。 函数模块（约24%，29分）：一次函数与反比例函数交点综合、二次函数最值、中心对称求坐标与待定系数法、反比例函数实际应用、含参抛物线定点与面积取值范围。对应第10、13、14、21、24题。 图形的性质模块（约24%，29分）：全等三角形、三角形中位线、三斜求积公式、菱形与矩形中的动点最值、定圆点线最值与弧长、圆周角定理与相似证明等几何推理与计算。对应第8、9、11、15、16、18、22题。 图形的变化与综合实践模块（约21%，25分）：几何体三视图、旋转对称图形新定义的三层研究活动、轴对称变换与解直角三角形综合的四边形压轴题。对应第2、23、25题。 统计与概率模块（约10%，12分）：中位数、扇形统计图圆心角、统计表频率与树状图求概率等数据分析与概率计算。对应第6、12、20题。 核心复习策略 1. 夯实数与式、方程与函数基础，重通性通法 （1）聚焦高频基础考点过关：绝对值与科学记数法（第1、3题）、幂的运算与乘法公式（第4题）、不等式组与判别式（第5、7题）、解方程组与分式化简（第17、19题）、二次函数最值（第13题），做到概念清、运算准、表达规范。 （2）从“会算”走向“会辨”：第6题中位数需先排序再取中间两数的平均数，第7题判别式中 的符号易错，第19题代值前必须完整列出 且分母不为零的限制条件，复习时对每类基础题整理易错清单并逐一过关。 2. 强化几何综合与函数建模的专项训练 （1）分专题突破几何高频模型：全等与相似（第18、22题）、圆中作图与圆周角定理（第22题）、矩形与菱形中的动点轨迹与最值（第9、16题），掌握定轨迹、找临界、算最值的分析流程，规范书写推理依据。 （2）提升真实情境的函数建模能力：围绕第21题判断函数类型、待定系数求解析式、代值预测的完整流程，以及第20题统计表与树状图、第24题二次函数定点与面积范围，训练从图表数据到数学模型的完整求解链条。 3. 突破新定义与压轴探究，规范分类讨论 （1）专题训练新定义题型：参照第23题旋转对称图形研究活动的三层设问，练习理解定义、翻译条件、案例分析、自主设计的解题路径，重点提升网格作图与方案设计能力。 （2）压轴题分步得分意识：第24题第②问先由 确定 的范围再建立面积函数，第25题第②问需两次对称后借助相似求线段长，即使无法全程解出，也应写清对称性质、关键辅助线与方程，确保步骤分。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×忽视基础题细节：第4题积的乘方符号、第7题判别式中 的符号、第12题圆心角需先从扇形图读取百分比，这类简单题失分最不划算。 ×分式代值不检验条件：第19题需同时满足根式有意义且分母不为零，只算化简不列条件或选值不当会直接丢分。 ×概率列举不重不漏：第20题画树状图需完整列出12种等可能结果，跳过列举直接写答案会被扣过程分。 ×压轴题轻言放弃或跳步：第16题第二空、第24题第②问、第25题第②问均需多步推理，先画临界图形、标注定值条件，分步作答仍可争取大部分分数。 一、单选题 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：绝对值的意义 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学概念题，直接给出负数 ，要求判断其绝对值。 （2）问题设计：选择题直接设问，选项混入 、、、，考查绝对值与相反数、倒数的辨析。 （3）考查目标：考查对绝对值代数意义的准确理解与快速判断，属于基础理解层次。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：绝对值表示数轴上一个数对应的点到原点的距离，负数的绝对值是它的相反数。②解题方法：，先判断符号再去绝对值。③拓展关联：绝对值、相反数、倒数三个概念常在同一题中辨析，是实数运算与数轴结合的基础。 2．如图是由5个小正方体组成的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：几何体的三视图（左视图） ►命题分析： （1）情境创设：以由5个小正方体搭成的几何体为情境。 （2）问题设计：给出组合几何体判断左视图，干扰项分别设置为主视图、俯视图或列数层数错误的图形。 （3）考查目标：考查空间观念，检验从不同方向观察立体图形并转化为平面图形的能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】本题考查左视图：从几何体左面往右边看到的图形． 【详解】 A、    从左面看：有两列．左边第一列：上下两层；右边一列：1层； B、    是主视图（从正面看），不符合题意； C、    是两个正方形竖排，不符合题意； D、    是俯视图（从上往下看），不符合题意． 知识总结 ①核心概念：左视图是从物体左面向右观察得到的平面图形。②解题方法：分列确定层数，从左面看有两列，左边一列上下两层、右边一列1层。③拓展关联：三视图与立体图形的还原、展开图、投影概念密切相关，是空间观念的基础题型。 3．2026年月，我国新能源汽车出口约1830000辆，将1830000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：科学记数法 ►命题分析： （1）情境创设：以2026年1-5月我国新能源汽车出口约1830000辆的国家科技与产业成就为背景。 （2）问题设计：选择题判断科学记数法的正确表示，干扰项通过小数点位置（1.83、18.3、0.183）与10的幂次设置。 （3）考查目标：考查用科学记数法表示大数的能力，体会较大数据在真实情境中的表达方式。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：将1830000用科学记数法表示为． 知识总结 ①核心概念：科学记数法写成 （）的形式。②解题方法：， 等于小数点向左移动的位数。③拓展关联：科学记数法常与近似数、单位换算结合，是表示宏观数据的基本工具。 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：幂的运算法则与乘法公式 ►命题分析： （1）情境创设：纯运算辨析题，无复杂情境。 （2）问题设计：给出四个整式运算式逐项判断正误，干扰项覆盖完全平方公式漏中间项、同底数幂相乘指数处理错误、单项式乘多项式符号错误等典型易错点。 （3）考查目标：考查运算能力，检验对运算法则与乘法公式的准确记忆和正确套用。 答案与解析 【答案】D 【分析】由完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则、单项式乘以多项式运算法则、积的乘方运算法则及幂的乘方运算法则逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A.，原式计算错误； B.，原式计算错误； C.，原式计算错误； D.，原式计算正确． 知识总结 ①核心概念：完全平方公式 、同底数幂相乘底数不变指数相加、积的乘方等于各因式乘方的积。②解题方法：逐项套用法则验证，，D正确。③拓展关联：整式运算是后续分式化简、因式分解与函数解析式化简的基础。 5．不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一元一次不等式组的解集 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学运算题，给出不等式组 与 。 （2）问题设计：选择题判断解集，干扰项设置端点取舍错误（漏等号）与区间取错等。 （3）考查目标：考查解一元一次不等式组的运算能力与对解集是公共部分的理解。 答案与解析 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，先分别计算两个不等式的解集，再取它们的公共解集即可． 【详解】解：解不等式，移项得． 解不等式，移项得， 系数化为得， 不等式组的解集为． 知识总结 ①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题方法：由 得 ，由 得 ，公共部分为 。③拓展关联：大大取大、小小取小、大小小大中间找是确定解集的通用口诀，与方程组解法形成对比。 6．广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：中位数的计算 ►命题分析： （1）情境创设：以广州国际龙舟邀请赛22人龙舟600米直道竞速项目六次训练成绩（单位：秒）为真实情境。 （2）问题设计：给出6个训练成绩求中位数，干扰项包含未排序直接取数、只取单个中间数据等错误做法。 （3）考查目标：考查数据观念，检验对中位数统计意义与计算规则的理解。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，，， ∵共有个数据，且为偶数个， ∴ 中位数是第个和第个数据的平均数， 即 ． 知识总结 ①核心概念：偶数个数据的中位数是排序后中间两个数据的平均数。②解题方法：将118、119、121、123、125、129排序后取第3、4个数据，。③拓展关联：中位数不受极端值影响，与平均数、众数的适用场景比较是常考方向。 7．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一元二次方程根的判别式 ►命题分析： （1）情境创设：纯数学题，关于 的方程 有两个相等的实数根。 （2）问题设计：由根的情况反求参数 ，干扰项设置符号处理错误（如 、）。 （3）考查目标：考查运算能力与推理能力，检验判别式与根的情况之间的对应关系。 答案与解析 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 知识总结 ①核心概念：， 时方程有两个相等的实数根。②解题方法：，解得 ，注意 中 的符号处理。③拓展关联：、、 与根的个数的三种对应关系是方程与函数综合的基础。 8．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 命题透视 ►核心考点：全等三角形、直角三角形斜边中线定理与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：Rt△ABC中角平分线BD、垂线DE与中点F构成的几何图形。 （2）问题设计：压轴选择题，需通过AAS证明 ，将△DEF的周长转化为 长，再经勾股定理与线段差求 ，推理链条较长。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，检验辅助线构造与线段转化能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 知识总结 ①核心概念：角平分线上的点到角两边距离相等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。②解题方法：证 得 ，由 得周长 ，勾股求 ，则 。③拓展关联：角平分线加垂线构造全等、斜边中线转化线段是中档几何题的常用模型。 9．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 命题透视 ►核心考点：圆的性质、点圆最值与弧长计算 ►命题分析： （1）情境创设：矩形ABCD中点P在过B、O、C三点的圆弧上运动的动态几何情境。 （2）问题设计：压轴选择题双设问：求AP的最小值并求此时弧CP的长，需先定圆心半径，再利用A、P、M共线求最值，最后用勾股定理逆定理确定 求弧长。 （3）考查目标：考查几何直观与推理能力，检验隐圆模型识别与最值原理的灵活应用。 答案与解析 【答案】D 【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长． 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴ 在中， 在 中，，即 解得， 过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴ 在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴ 在中，，， 弧的长即为 ． 知识总结 ①核心概念：定点与定圆上动点的距离最小值为 （A、P、M共线时取得）。②解题方法：由垂径定理与勾股定理解得圆M半径 ，，AP最小值为 ；由 得 ，弧长 。③拓展关联：隐圆、点圆最值与将军饮马同属最值模型体系，弧长公式是圆的计算基础。 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 命题透视 ►核心考点：一次函数与反比例函数的图象与性质综合 ►命题分析： （1）情境创设：直线 与双曲线 交于 、 两点的函数情境。 （2）问题设计：压轴选择题，四个选项分别涉及 的符号、 的取值、 的符号与不等式对应的 范围，需逐项推导判断。 （3）考查目标：考查几何直观与推理能力，检验代数运算与图象位置关系的双向转化。 答案与解析 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 知识总结 ①核心概念：反比例函数图象上点的横纵坐标之积等于 ；A与B关于原点对称。②解题方法：由A、B在直线上两式相加得 、相减得 ；由 、 得 ，故 ，C正确；D项需结合图象上下位置关系得 或 。③拓展关联：函数交点问题常与对称性、图象法解不等式结合，是函数压轴的常见形态。 二、填空题 11．如图，在中，，点，分别是边，的中点，则长为___________． 命题透视 ►核心考点：三角形中位线定理 ►命题分析： （1）情境创设：△ABC中 ，D、E分别为AB、AC中点的几何情境。 （2）问题设计：填空题直接应用中位线定理求DE长。 （3）考查目标：考查推理能力，检验对中位线位置关系与数量关系的理解。 答案与解析 【答案】 3 【分析】由中点定义可知为的中位线，根据三角形中位线定理可得与的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 知识总结 ①核心概念：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。②解题方法：。③拓展关联：中位线定理常与中点四边形、直角三角形斜边中线结合，是几何计算的基础工具。 12．某同学根据世界七大洲的面积，计算出各大洲面积占全球陆地面积的百分比（精确到），并绘制成扇形统计图（如图），则“亚洲”对应扇形的圆心角度数为___________． 命题透视 ►核心考点：扇形统计图的圆心角计算 ►命题分析： （1）情境创设：以世界七大洲面积占全球陆地面积百分比的扇形统计图为情境。 （2）问题设计：需先从统计图中读取亚洲占30%的百分比，再计算对应圆心角。 （3）考查目标：考查数据观念与应用意识，检验统计图信息获取与简单计算能力。 答案与解析 【答案】 【分析】从扇形统计图中获取“亚洲”面积所占的百分比，用 乘以该部分所占百分比，即可得出答案． 【详解】解：由扇形统计图可知，“亚洲”面积占全球陆地面积的， ∴“亚洲”对应扇形的圆心角度数为． 知识总结 ①核心概念：扇形圆心角度数等于 乘以该部分所占百分比。②解题方法：。③拓展关联：扇形图、条形图、折线图的信息互补与相互转化是统计图表板块的核心。 13．二次函数的最小值为___________． 命题透视 ►核心考点：二次函数的最值（配方法） ►命题分析： （1）情境创设：纯数学题，求二次函数 的最小值。 （2）问题设计：填空题要求将一般式化为顶点式后读取最小值。 （3）考查目标：考查运算能力，检验配方法与顶点坐标公式的运用。 答案与解析 【答案】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 知识总结 ①核心概念：二次项系数为正时抛物线开口向上，最小值为顶点纵坐标。②解题方法：，当 时取得最小值 。③拓展关联：配方法与顶点公式法互为验证，最值问题是二次函数应用与压轴题的基础。 14．如图，在平面直角坐标系中，，，若以为边的的对角线交点为，则直线与轴的交点坐标为___________． 命题透视 ►核心考点：平行四边形的中心对称性质与一次函数待定系数法 ►命题分析： （1）情境创设：平面直角坐标系中▱ABCD对角线交点 的坐标几何情境。 （2）问题设计：需利用对角线互相平分（中心对称）由A、B坐标求出C、D坐标，再用待定系数法求直线CD解析式并求与x轴交点，两步缺一不可。 （3）考查目标：考查运算能力与几何直观，检验几何性质的坐标化表达能力。 答案与解析 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分及中心对称性质，由点、及对称中心的坐标求出点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求得与轴交点坐标； 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交点为， ∴点与点关于点对称，点与点关于点对称， ∵，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 知识总结 ①核心概念：平行四边形对角线互相平分，对称中心是对角线交点；关于点G对称的两点坐标满足中点坐标公式。②解题方法：、，待定系数法得直线CD：，令 得交点 。③拓展关联：几何图形性质的坐标化是函数与几何综合题的基本功。 15．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 命题透视 ►核心考点：三角形面积公式（三斜求积）的应用与解方程 ►命题分析： （1）情境创设：以南宋数学家秦九韶《数书九章》三斜求积问题为数学文化背景。 （2）问题设计：给出等价公式，需按 确定 、，代入公式解关于 的方程，舍去负根并检验所得边长满足大小关系。 （3）考查目标：考查运算能力与应用意识，检验数学文化阅读理解与方程思想的融合。 答案与解析 【答案】 【分析】根据，确定最长边，最短边，所求第三边为，将已知条件代入给定公式求解，舍去负根即可． 【详解】解：三角形三边长满足，最长边为，最短边为， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∵边长为正数， ∴， ∵，符合条件， ∴它的第三边长为． 知识总结 ①核心概念：三斜求积公式与海伦公式等价，已知三边可求三角形面积。②解题方法：由 解得 ，边长为正取 ，且 符合条件，故第三边长为 。③拓展关联：数学文化题重在读懂公式、规范代入，此类题近年多地中考均有出现。 16．如图，在菱形中，，，点M，N分别为边，上的动点（不与端点重合），且．以点M为直角顶点，在的右侧作等腰直角三角形，则的度数为___________；是以为直径的圆，过点P引的两条切线，切点分别为E，F．当最大时，点P到的距离为___________． 命题透视 ►核心考点：菱形性质、等腰直角三角形与动点轨迹、圆的切线最值 ►命题分析： （1）情境创设：菱形ABCD中 、，M、N为AB、AD上动点且 ，以M为直角顶点作等腰直角三角形NMP的动态几何情境。 （2）问题设计：填空压轴双空：第一空由△AMN为等边三角形求 ；第二空将 最大转化为 最小，先确定点P在与AB成 角的射线上运动，再构造直角三角形求点P到AD的距离。 （3）考查目标：考查几何直观与推理能力，检验动点轨迹分析、最值转化与解直角三角形的综合能力。 答案与解析 【答案】 30 【分析】第一问：根据菱形性质和已知条件判定 为等边三角形，结合平角定义和等腰直角三角形性质求解； 第二问：根据切线性质可知 最大即 最小，此时 ；通过计算确定点P的轨迹为射线l，延长，交于点H，过点O作，利用三角函数求出，的长，从而求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质及三线合一的性质求出点到的距离． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴， 如图，连接并延长， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵点M，N分别为边，上的动点， ∴点P在内部且与成夹角的射线l上运动， ∵，是的切线， ∴，， ∵，是以为直径的圆， ∴， 当最小时，则最大，此时也最大， 当时，有最小值， 过点O作交射线l于点，延长，交于点H，过点O作， ∵， ∴， 在中，，， ∵，， ∴，， ∴， 过点作交于点G， ∵是等腰直角三角形， ∴， 即点P到的距离为． 知识总结 ①核心概念：菱形四边相等、对边平行；PE、PF为⊙O的切线时 ， 为定值， 最大即 最小。②解题方法：由 得 ，确定点P的轨迹为射线 ； 时 最小，解直角三角形得 、，，由等腰直角三角形三线合一点P到AD的距离为 。③拓展关联：动点轨迹（线段、射线、圆弧）与最值结合是填空压轴的高频模型。 三、解答题 17．解方程组：． 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组的解法（加减消元法） ►命题分析： （1）情境创设：纯数学运算题，解方程组 与 。 （2）问题设计：解答题第一题，要求规范写出消元过程与方程组的解。 （3）考查目标：考查运算能力，检验加减消元法的选择与实施。 答案与解析 【答案】 【详解】解： 得： 解得 把代入①得： 解得 所以原方程组的解为． 知识总结 ①核心概念：加减消元法通过两式相加或相减消去一个未知数。②解题方法：两式相加得 ，，回代得 ，方程组的解为 、。③拓展关联：加减法与代入法的选择取决于系数特点，是后续解高次方程组的基础。 18．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 命题透视 ►核心考点：全等三角形的判定（ASA）与性质 ►命题分析： （1）情境创设：点E、C在线段BF上，、、 的几何情境。 （2）问题设计：证明题，需由平行线导出 ，再结合已知两条件用ASA完成证明。 （3）考查目标：考查推理能力，检验平行线性质与全等判定的综合运用及证明书写规范。 答案与解析 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 知识总结 ①核心概念：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（ASA）。②解题方法：由 得 ，加上 、，得 （ASA）。③拓展关联：平行线导角是全等与相似证明中最常用的预处理步骤。 19．已知． (1)化简T； (2)若有意义，请选择一个合适的整数作为m的值，求T的值． 命题透视 ►核心考点：分式的化简求值与代值条件的讨论 ►命题分析： （1）情境创设：分式 ，且附加 有意义的条件情境。 （2）问题设计：第(1)问化简 ；第(2)问在 且分母不为零的约束下自主选取整数 求值，答案不唯一，属开放性设问。 （3）考查目标：考查运算能力，检验分式混合运算、因式分解约分与代值条件的完整讨论。 答案与解析 【答案】(1) (2)选取，的值为（答案不唯一） 【详解】（1）解： ； （2）解：∵有意义， ∴， 解得， ∵且， ∴且，， 综上所述，，且， 选取，． 知识总结 ①核心概念：分式加减需通分、乘除先因式分解再约分；根式有意义要求被开方数非负，分母不能为零。②解题方法：化简得 ；由 且 选 ，得 。③拓展关联：开放性代值题必须先列全限制条件再选值，是化简求值题型的升级形态。 20．为提升学生的科学素养，某校举办了航天科技创意大赛，共有50名学生参赛．根据获奖结果，整理得到如下不完整的统计表． 获奖结果 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 未获奖 合计 人数 4 6 m 20 8 50 频率 n 1 请根据表中的信息解答下列问题： (1)统计表中的__________，__________； (2)已知获得特等奖的是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名学生进行采访，求所抽取的2名学生都是女生的概率． 命题透视 ►核心考点：统计表（频率）与树状图求概率 ►命题分析： （1）情境创设：某校举办航天科技创意大赛、50名学生参赛的获奖结果统计情境。 （2）问题设计：第(1)问由人数总和与频率总和为1求 、；第(2)问从4名特等奖学生（2男2女）中随机抽取2名，画树状图求两名都是女生的概率。 （3）考查目标：考查数据观念与运算能力，检验统计量计算与列举法求概率的规范表达。 答案与解析 【答案】(1)12， (2) 【分析】（1）根据总人数减去二等奖之外的其它各项的人数，即可求出m的值，根据1减去三等奖之外的其它各项的频率，即可求出n的值； （2）记男1为A，男2为B，女1为C，女2为D，画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中求所抽取的2名学生都是女生的结果有2种，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：记男1为A，男2为B，女1为C，女2为D，画树状图，如图 共有12种等可能性结果，其中所抽取的2名学生都是女生的结果有2种， ∴所抽取的2名学生都是女生的概率为． 知识总结 ①核心概念：频率之和为1；树状图可不重不漏地列举等可能结果。②解题方法：，；树状图共12种等可能结果，两名都是女生的有2种，所求概率为 。③拓展关联：树状图与列表法的选择取决于试验步骤与对象数量。 21．生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 命题透视 ►核心考点：反比例函数的实际应用（判断、建模、求值） ►命题分析： （1）情境创设：电子屏幕尺寸 （英寸）与像素密度 （PPI）的真实数据散点图情境。 （2）问题设计：三问递进：第(1)问由散点分布判断函数类型；第(2)问用待定系数法求解析式；第(3)问代入 求像素密度。 （3）考查目标：考查模型观念与应用意识，检验读图判断、待定系数、代值应用的完整建模流程。 答案与解析 【答案】(1)反比例 (2)这个函数的解析式为； (3)它在该分辨率下的像素密度为． 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； （3）解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 知识总结 ①核心概念：反比例函数 （）的图象是双曲线。②解题方法：由图象形状判断为反比例函数，将 代入得 ，解析式为 ； 时 ，即像素密度为44PPI。③拓展关联：反比例函数在压强、电流、杠杆等物理情境中有同型应用，是跨学科建模的典型载体。 22．如图，是的外接圆． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接． ①求证：； ②若，，求长． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理、尺规作图与相似三角形 ►命题分析： （1）情境创设：⊙O为△ABC外接圆的圆背景几何情境。 （2）问题设计：第(1)问尺规作 的平分线BD；第(2)问①由角平分线定义与同弧圆周角相等导角证 ；②由相似比例求 后计算 ，作图、证明、计算三层递进。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，检验尺规作图操作、圆中导角与相似性质的综合运用。 答案与解析 【答案】(1)解：如图，即为的平分线； (2)①证明：由（1）可知：为的平分线， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）根据基本尺规作图：作已知角的平分线的作图方法作图即可； （2）①根据角平分线的定义及同弧所对的圆周角相等，得对应角相等，即可证明两个三角形相似；②由相似得成比例的线段先求得的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：， ， ，， ， ， ． 知识总结 ①核心概念：同弧所对的圆周角相等；角平分线的尺规作法。②解题方法：，且 为公共角，故 ；由 得 ，。③拓展关联：圆中证相似常借圆周角导角，公共角加等角的母子型相似是圆综合题的常见结构。 23．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 命题透视 ►核心考点：旋转对称图形（新定义）的理解、计算与设计 ►命题分析： （1）情境创设：数学兴趣小组以旋转对称图形为主题开展研究活动的探究情境。 （2）问题设计：三层设问：概念理解——判断正方形是否为旋转对称图形并确定旋转中心与旋转角；案例分析——在五个全等四边形拼成的图形中求 与 ；应用设计——在等边三角形网格中用全等菱形设计旋转对称图形，开放度高。 （3）考查目标：考查创新意识与推理能力，检验定义理解、全等导角、旋转角计算与图形设计能力。 答案与解析 【答案】(1)正方形是旋转对称图形； 如图，点即为正方形的旋转中心； 旋转角的度数可以是或或（答案不唯一）； (2)， (3) （答案不唯一） 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义及所给例子判断，求解即可； （2）连接，，，证明，得，根据图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，得其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为，可求得，进而根据三角形内角和定理及四边形内角和可求得； （3）根据旋转对称图形的定义将所给菱形绕点按顺时针或逆时针每次旋转，旋转5次，可得一个旋转对称图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形绕它的中心旋转或或能与自身重合，它是旋转对称图形， 作图略， 旋转角的度数略； （2）解：连接，，， ，，， ， ， 图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， 其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为， ； ， 由全等可得， ， 同理：， 点，，，在同一直线上， ， ； （3）略 知识总结 ①核心概念：图形绕某点旋转角 （）后与原图形完全重合，即为旋转对称图形。②解题方法：正方形旋转中心为对角线交点，旋转角可为 、、；案例分析由 （SSS）及五个旋转角之和为 得 ，再由等腰三角形与四边形内角和求 ；应用设计将菱形绕格点每次旋转 、旋转5次即可。③拓展关联：新定义题的通用路径是读定义、翻译条件、逐问应用，网格设计题需兼顾旋转中心与顶点都在格点上。 24．已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 命题透视 ►核心考点：含参二次函数的定点问题与三角形面积取值范围 ►命题分析： （1）情境创设：抛物线 ： 含双参数的函数综合情境。 （2）问题设计：第(1)问代入 、 求对称轴；第(2)问①按 整理解析式得定点 并解出 ；②由线段AB与x轴有交点得 确定 的范围，再以铅垂高法建立 关于 的函数求取值范围，分类与运算量大。 （3）考查目标：考查推理能力与运算能力，检验定点问题的处理与面积最值的函数化建模。 答案与解析 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为． 知识总结 ①核心概念：含参抛物线过定点，需将解析式按参数整理；线段与x轴有交点等价于两端点纵坐标之积 。②解题方法：①将解析式按 整理， 时 ，得 、；②代入得 、，由 得 ；直线AB：，P到AB的铅垂高 ，，其在 上随 增大而减小，故 。③拓展关联：定点、定值与面积最值是二次函数压轴的三大母题，铅垂高法（宽高公式）是面积计算的通法。 25．如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． ①当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； ②关于对称的图形为，连接，．当时，求的周长． 命题透视 ►核心考点：轴对称变换、解直角三角形与相似三角形的综合 ►命题分析： （1）情境创设：四边形ABCD中 、、，动点P与两次对称变换的几何情境。 （2）问题设计：第(1)问作 构造矩形ADCE求 ；第(2)问①通过对称落点的两个临界位置（Q落在BC上、Q落在CD上）求BP的取值范围；②再次对称后由 ，解直角三角形求 ，并用 求 ，最终求△DMQ的周长，链条最长。 （3）考查目标：考查推理能力与几何直观，检验对称性质、临界分析、解直角三角形与相似的串联能力。 答案与解析 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作于点，可得四边形是矩形，再由矩形的性质以及正弦的定义求解即可； （2）①先求出，然后找出两个临界位置，即点落在边和上，再求出此时的长即可； ②连接，延长交于点，过点作于点，连接，先解直角三角形求解，然后利用勾股定理求解，即可求解，再证明即可求解，即可求解的周长． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴在中，； （2）解：由对称可得，，，， 由（1）知 ∴， ∴， 当点落在边上时，则 ∴， ∴此时点P与点E重合， ∴, 当点落在边上时， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴此时 ∴当点落在四边形内部（含边界）时，长的取值范围为； ②连接，延长交于点，过点作于点，连接， 由对称可得，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 知识总结 ①核心概念：轴对称前后对应边、对应角相等；锐角三角函数定义；相似三角形对应边成比例。②解题方法：(1)中 得 、、；(2)①Q落在BC上时P与E重合，，Q落在CD上时设 ，由 解得 ，故 ；(2)②由对称得 、，，、，，由 得 ，△DMQ的周长为 。③拓展关联：对称变换下的临界位置分析（点落在边上）是动点范围问题的通法，解直角三角形、勾股定理与相似的串联是四边形压轴的主流结构。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $