2.2 基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第03讲 基本不等式 一、必备知识整合 1.重要不等式： ,（当且仅当时取号）. 常见变形公式： ； 。 2.基本不等式： 。 (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 3.由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 4.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 二、考点分类精讲 ►考点01 对基本不等式的理解及简单应用 【例1】若且，则下列不等式中恒成立的是（       ）． A． B． C． D． 【变式1】已知正数，满足，则下列结论错误的是（       ）． A． B． C． D． 【变式2】给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（       ） A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式3】(多选)下列命题正确的是(　　) A.若x<0，则x＋≤－2 B.若x>0，则x－≤－2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2＋≥1 ►考点02 直接法求最值 【例2】若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 【变式1】当0<x<1时，3x(3－3x)的最大值为　　　　　　.  【变式2】若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知正数、满足，则的最小值是___________. ►考点03 配凑法求最值 【例3】函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【变式1】已知，则的最小值是(       ) A．5 B．4 C．8 D．6 【变式2】函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.  【变式3】已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  ►考点04 分离常数法求最值 【例4】若，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【变式1】求函数的最小值。 【变式2】求函数的最小值。 【变式3】已知，，且，则的最小值是 . ►考点05 换元法求最值 【例5】已知x>1，则y＝的最大值为________． 【变式1】求函数的最小值。 【变式2】函数y＝(x>－1)的最小值为________． 【变式3】若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． ►考点06 消元法求最值 【例6】已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 【变式1】已知，，且，的最小值为 ． 【变式2】已知x>2，且x－y－2＝0，则的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 【变式3】设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 ►考点07 乘1法求最值 【例7】若，，且，则的最小值是（   ） A．16 B．14 C．10 D．8 【变式1】已知是正数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（多选）已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A.ab的最大值为 B.的最小值为9 C.a2＋b2的最小值为 D.的最小值为6 【变式3】已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为(　　) A.8 B.4 C.8 D.4 ►考点08 利用基本不等式求解恒成立问题 【例8】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______． 【变式1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【变式2】若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【变式3】已知，，且，若恒成立，求实数m的取值范围． ►考点9 基本不等式实际应用 【例9】某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费. (1)写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； (2)当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ 【变式1】若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 【变式2】某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 【变式3】某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 三、课后作业 1.已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A.9 B.18 C.9 D.27 3．已知，是正数，且，则最小值为（    ） A． B． C．3+ D． 4．若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 6.若x>0，则函数y＝的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 7．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．任意非零实数，都有 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 8.（多选）若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则下列结论正确的是(　　) A.mn≤ B.≥ C.≥9 D.m2＋4n2≤ 9.已知x>，则x＋的最小值为　　　　　　.  10.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)． 11．求下列式子的最值． (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值． 12.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 基本不等式 一、必备知识整合 1.重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 2.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 3.由公式和引申出的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 4.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 二、考点分类精讲 ►考点01 对基本不等式的理解及简单应用 【例1】若且，则下列不等式中恒成立的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，A错；时，满足，但，B错；时，满足，，C错．，则，，当且仅当时等号成立．D正确．故选：D． 【变式1】已知正数，满足，则下列结论错误的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，即，故A正确；B：，当且仅当时，等号成立，因为，所以，故B正确；C：，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；D：若，则，故D错误；故选：D. 【变式2】给出下面三个推导过程： ①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4； ③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. 其中正确的推导为（       ） A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确.②，当时，，所以②错误.③，根据基本不等式的知识可知③正确.所以正确的为①③.故选：B 【变式3】(多选)下列命题正确的是(　　) A.若x<0，则x＋≤－2 B.若x>0，则x－≤－2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.x2＋≥1 【答案】ACD 解析　当x<0时有－x>0，则x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，A选项正确； 当x>0时，y＝x－单调递增，其值域为R，B选项错误； 若x∈R且x≠0，则＝|x|＋≥2＝2， 当且仅当|x|＝，即x＝－1或x＝1时等号成立，C选项正确； x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1， 当且仅当x2＋1＝，即x＝0时等号成立，D选项正确. ►考点02 直接法求最值 【例2】若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 【答案】D 解析　方法一　由xy＝1得x2＋2y2≥2＝2， 当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. 方法二　x2＋2y2＝≥2，当且仅当x2＝2y2，即x2＝，y2＝时，等号成立，x2＋2y2的最小值为2. 【变式1】当0<x<1时，3x(3－3x)的最大值为　　　　　　.  【答案】 解析　由题意及基本不等式可知3x(3－3x)≤， 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号. 【变式2】若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由可知，所以，当且仅当时，等号成立；即的最小值为.故选：B 【变式3】已知正数、满足，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. ►考点03 配凑法求最值 【例3】函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 解析　因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0， 则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝12－4＝8， 当且仅当即x＝时，等号成立， 故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8. 【变式1】已知，则的最小值是(       ) A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【详解】∵，∴，∴， 当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A． 【变式2】函数f(x)＝x2＋的最小值是　　　.  【答案】 解析　由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2， 令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2， 由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝， 即当x＝0时，f(x)min＝. 【变式3】已知a>0，b>0，且＝1，则a＋b的最小值为　　　　.  【答案】2＋1 解析　由a>0，b>0，＝1， 得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2 ＝[(a＋1)＋(b＋1)]－2 ＝＋1≥2＋1 ＝2＋1， 当且仅当，即a＝，b＝＋1时取等号，所以a＋b的最小值为2＋1. ►考点04 分离常数法求最值 【例4】若，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故选：B. 【变式1】求函数的最小值。 【答案】3 【详解】∵（当且仅当，即x=1时取“=”）即的最小值为3； 【变式2】求函数的最小值。 【答案】10 【详解】令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=”即y的最小值为10. 【变式3】已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即.故的最小值是. ►考点05 换元法求最值 【例5】已知x>1，则y＝的最大值为________． 【答案】 解析　令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0， ∴y＝＝＝≤＝， 当且仅当t＝，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，ymax＝. 【变式1】求函数的最小值。 【答案】 【详解】令，则在是单增，∴当t=2时，y取最小值；即y的最小值为。 【变式2】函数y＝(x>－1)的最小值为________． 【答案】0 解析　因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)， 所以y≥2－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立． 所以y＝(x>－1)的最小值为0. 【变式3】若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，所以， 令，，则，，所以，当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. ►考点06 消元法求最值 【例6】已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B. C.2 D.3 【答案】B 解析　因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0， 所以x＝， 则2x＋y＝＋y＝≥2， 当且仅当，即y＝时，等号成立， 所以2x＋y的最小值是. 【变式1】已知，，且，的最小值为 ． 【答案】5 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 【变式2】已知x>2，且x－y－2＝0，则的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 【答案】D 解析　由题意得x＝y＋2>2，所以y>0， 所以＋1≥2＋1＝3(当且仅当y＝2时取等号)， 所以的最小值为3. 又因为， 所以的最小值是9. 【变式3】设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 【答案】D 解析　因为正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则z＝x2＋y2－xy， 所以≤＝1， 当且仅当(x>0，y>0)，即x＝y时，等号成立，故的最大值为1. ►考点07 乘1法求最值 【例7】若，，且，则的最小值是（   ） A．16 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【详解】因为，，且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是8故选：D. 【变式1】已知是正数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由是正数，且，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 【变式2】（多选）已知a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A.ab的最大值为 B.的最小值为9 C.a2＋b2的最小值为 D.的最小值为6 【答案】BCD 解析　对于A，1＝a＋b≥2⇒ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故A错误； 对于B，(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当即a＝，b＝时取等号，故B正确； 对于C，a2＋b2≥， 当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确； 对于D，＝2＋≥2＋2＝6，当且仅当即b＝，a＝时取等号，故D正确. 【变式3】已知x>0，y>0，2x＋y＝xy，则2x＋y的最小值为(　　) A.8 B.4 C.8 D.4 【答案】A 解析　方法一　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，可得y＝>0，则x>1， 则2x＋y＝2x＋＝＝2(x－1)＋＋4 ≥2＋4＝8， 当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时，等号成立， 所以2x＋y的最小值为8. 方法二　由x>0，y>0，2x＋y＝xy，得＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＋4≥2＋4＝8， 当且仅当，2x＋y＝xy， 即x＝2，y＝4时，等号成立， 所以2x＋y的最小值为8. ►考点08 利用基本不等式求解恒成立问题 【例8】若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______． 【答案】或 【详解】不等式有解，，，，且， ，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或. 【变式1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，若不等式恒成立，恒成立，当且仅当时取等号． ，即的最大值为．故选：B． 【变式2】若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 【变式3】已知，，且，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】因为，，且，    所以，当且仅当时，等号成立，因为恒成立，所以，即，解得．所以实数m的取值范围为． ►考点9 基本不等式实际应用 【例9】某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费. (1)写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； (2)当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ 【详解】（1）当时，年利润； 当时，；所以. （2）由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；当时，，当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而，所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. 【变式1】若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 【答案】25 解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m， 其中0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， ∴ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2. 【变式2】某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 【答案】. 【详解】如图，在矩形中，设，，， 则，圆的半径m，因为，，即，当且仅当时，等号成立，可得，即，解得，所以矩形花园占地面积的最小值为. 【变式3】某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】设无盖贮水池的底面长为，宽为，又其深度为，容积为，所以，化简得，令池底面积为，则，解得，又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元，池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元，综上所述，水池的总造价为元，令，又，所以，根据基本不等式，可得，当且仅当，即时，取得最小值.故选：C 三、课后作业 1.已知p：a>b>0，q：>，则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 解析　∵a>b>0，则a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2， ∴>，∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a＝－1，b＝－3时，＝5>＝4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件. 2.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A.9 B.18 C.9 D.27 【答案】B 解析　因为m>0，n>0， 由基本不等式m＋n≥2得， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立， 所以m＋n的最小值是18. 3．已知，是正数，且，则最小值为（    ） A． B． C．3+ D． 【答案】D 4．若，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取，，满足，，且， 所以不正确；，所以不正确；，所以不正确； 因为，当且仅当时等号成立，所以正确.故选：. 5.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A.1＋ B.1＋ C.3 D.4 【答案】C 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 6.若x>0，则函数y＝的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 【答案】D 解析　∵x>0， ∴y＝＝x＋＋1≥2＋1＝11， 当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立， ∴函数y＝的最小值为11. 7．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．任意非零实数，都有 B．当时，的最小值是3 C．当时，的最大值是5 D．若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【详解】对于A，取，而，A错误；对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，正数满足，则，当且仅当时取等号，D正确. 8.（多选）若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则下列结论正确的是(　　) A.mn≤ B.≥ C.≥9 D.m2＋4n2≤ 【答案】AC 解析　对于A，若m>0，n>0，且m＋2n＝1，则有mn＝·m·2n≤， 当且仅当m＝，n＝时等号成立，故A正确； 对于B，＝1＋2， 由A可得mn≤，故1＋2≤2， 所以≤，故B不正确； 对于C，(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝时等号成立，故C正确； 对于D，≥，即m2＋4n2≥，当且仅当m＝，n＝时等号成立，故D不正确. 9.已知x>，则x＋的最小值为　　　　　　.  【答案】 解析　由于x>，所以2x－1>0， 所以x＋≥2， 当且仅当，即x＝时等号成立，所以x＋的最小值为. 10.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)． 【答案】12 解析　设直角梯形的高为x cm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 11．求下列式子的最值． (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值． 【答案】(1)(2)9 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时取得等号，所以函数的最小值为. （2）,当且仅当，即，即时取得等号，所以的最小值为9. 12.已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值. 解　(1)因为x>0，y>0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0，0<x<30，2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 学科网（北京）股份有限公司 $