2.3 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，先明确一元二次不等式定义，通过二次函数图像与x轴交点（方程的根）建立三者解的对应关系，搭建从概念到解法的学习支架，后续分四类题型系统展开。 资料亮点在于题型分类清晰且方法提炼具体，如解含参数不等式通过讨论系数、判别式等培养数学思维，综合题型将不等式转化为函数图像问题发展数学眼光，课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过例题回顾与练习查漏补缺。

§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型1：解一元二次不等式 2 题型2：解含参数的一元二次不等式 5 题型3：一元二次不等式的恒成立问题 9 题型4：二次函数、方程与不等式的综合 14 1. 一元二次不等式 形如（）的不等式称为一元二次不等式。 解一元二次不等式，关键是利用二次函数的图像与轴的交点（即方程的根）。 2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 (即“大于取两边”) R 的解集 (即“小于取中间”) 当时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图像直接进行判定，此时图像开口向下；②两边同乘，把（负数）转变成（正数）再进行求解. 3. 分式不等式 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 题型1：解一元二次不等式 方法提炼 我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程. 【例1.1.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式可得，再由并集的定义计算可得. 【详解】由不等式，得，解得，即. 又因为，因此. 【例1.2.】 已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据集合描述法的概念，以及集合补集的计算方法，即可求解. 【详解】因为， 由，解得， 又因为，所以，因为，所以. 【例1.3.】 设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】先分别求解一元二次不等式得集合，求解分式不等式结合整数条件得集合，再计算两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，因为，所以或或， 所以，所以. 【例1.4.】 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分类讨论解绝对值不等式 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 【例1.5.】 已知集合，集合. (1)求，； (2)设，求. 【答案】(1)或，. (2)或. 【难度】0.91 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】（1）解不等式，即，得，即， 不等式，则，解得或，或， 所以或，. （2）由（1）及，得或. 题型2：解含参数的一元二次不等式 方法提炼 含参数时需分类讨论:(1)讨论二次项系数的正负（开口方向）；(2)讨论判别式的正负（有无实根）；(3)若有根，讨论两根的大小关系；(4)综合以上讨论给出解集。注意各情形的并集。 【例2.1.】 解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 【例2.2.】 (多选)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 【例2.3.】 已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【难度】0.72 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 【例2.4.】 已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【答案】当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． ． 【难度】0.7 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 题型3：一元二次不等式的恒成立问题 方法提炼 (1)不等式对任意实数恒成立⇔或 (2)不等式对任意实数恒成立⇔或 (3)在区间上恒成立 分离自变量和参变量，利用等价转化思想将一元二次不等式恒成立问题转化为的恒成立问题： ①若在自变量的取值范围内存在最大值，则恒成立⇔ . ②若在自变量的取值范围内存在最小值，则恒成立⇔ . 【例3.1.】 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【例3.2.】 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 【例3.3.】 存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 【例3.4.】 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【难度】0.77 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 【例3.5.】 （多选）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.66 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． 【例3.6.】 已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【难度】0.68 【知识点】求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 【例3.7.】 已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【难度】0.62 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 题型4：二次函数、方程与不等式的综合 方法提炼 二次函数的图像与轴的关系决定了一元二次方程的根和一元二次不等式的解集。解题时将不等式问题转化为函数图像与  轴的位置关系问题。 【例4.1.】 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 【例4.2.】 （多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得，，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，和3是关于的方程的两根，A选项正确； 由根与系数的关系得，则， ∴，B选项错误； ∴不等式可化为，即，解得，C选项正确； 不等式可化为，即，解得或， D选项正确． 【例4.3.】 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型1：解一元二次不等式 2 题型2：解含参数的一元二次不等式 3 题型3：一元二次不等式的恒成立问题 4 题型4：二次函数、方程与不等式的综合 5 1. 一元二次不等式 形如（）的不等式称为一元二次不等式。 解一元二次不等式，关键是利用二次函数的图像与轴的交点（即方程的根）。 2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 (即“大于取两边”) R 的解集 (即“小于取中间”) 当时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图像直接进行判定，此时图像开口向下；②两边同乘，把（负数）转变成（正数）再进行求解. 3. 分式不等式 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 题型1：解一元二次不等式 方法提炼 我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程. 【例1.1.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【例1.5.】 已知集合，集合. (1)求，； (2)设，求. 题型2：解含参数的一元二次不等式 方法提炼 含参数时需分类讨论:(1)讨论二次项系数的正负（开口方向）；(2)讨论判别式的正负（有无实根）；(3)若有根，讨论两根的大小关系；(4)综合以上讨论给出解集。注意各情形的并集。 【例2.1.】 解关于的不等式：． 【例2.2.】 (多选)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【例2.4.】 已知实数满足不等式，解关于的不等式． 题型3：一元二次不等式的恒成立问题 方法提炼 (1)不等式对任意实数恒成立⇔或 (2)不等式对任意实数恒成立⇔或 (3)在区间上恒成立 分离自变量和参变量，利用等价转化思想将一元二次不等式恒成立问题转化为的恒成立问题： ①若在自变量的取值范围内存在最大值，则恒成立⇔ . ②若在自变量的取值范围内存在最小值，则恒成立⇔ . 【例3.1.】 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【例3.4.】 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【例3.5.】 （多选）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【例3.7.】 已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 题型4：二次函数、方程与不等式的综合 方法提炼 二次函数的图像与轴的关系决定了一元二次方程的根和一元二次不等式的解集。解题时将不等式问题转化为函数图像与  轴的位置关系问题。 【例4.1.】 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 【例4.2.】 （多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集为 【例4.3.】 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $