2.2 基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，系统梳理其公式（a≥0,b≥0时，几何平均数≤算术平均数）及变形（ab≤(a+b/2)²、a+b≥2√ab），通过“比较大小—求最值—‘1’的代换构造—解决实际问题”四题型搭建递进学习支架。 该资料以典例与变式题结合，如《几何原本》无字证明题培养数学眼光，“1”的代换题型强化推理思维，实际问题（华为销量、矩形造价）提升数学语言表达。课中助教师分层教学，课后学生可通过过关验收查漏补缺，巩固知识应用。

2.2 基本不等式 内 容 导 航 题型1 运用基本不等式比较大小 题型2 运用基本不等式求最值 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 题型4 运用基本不等式解决实际问题 考 点 演 练 题型1 运用基本不等式比较大小 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是（　　） A．2ab B． C．a2+b2 D．a+b 【变式1】已知a＞0，b＞0，则（　　） A．a+b≥2 B． C．a2+b2＞2ab D． 【变式2】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 【变式3】若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D．a2+b2≥2 题型2 运用基本不等式求最值 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】设a＞0，b＞0，且，则a+b的最小值为（　　） A．12 B．9 C．8 D．4 【变式1】若a＞0，b＞0，且ab＝4a+b+5，则ab的最小值为（　　） A． B．25 C．5 D．1 【变式2】已知a＞0，b＞0，且，则a+4b的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D． 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】若存在x⩾0，y⩾0，且3x+y＝1，使不等式能成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） 【变式1】对满足x+y＝1的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m＜﹣4或m＞1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|﹣4＜m＜1} 【变式2】已知正实数x，y满足，则4xy﹣3x的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3】若m＞0，n＞0，且3m+2n﹣1＝0，则的最小值为（　　） A．20 B．12 C．16 D．25 题型4 运用基本不等式解决实际问题 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（　　） A． B． C． D． 【变式1】某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米110元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元，设AD长为x米，总造价为S元，则当x为　 　 时，总造价S最小为　 　 元． 【变式2】某工厂要建造一个长方形无盖水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，水池的长为　　 m时，能使总造价最低．最低为　 　 元． 【变式3】用一长度为2米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 　 　 ． 过 关 验 收 1．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过圆形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 2．已知长为a，宽为b的长方形，如果该长方形的面积与边长为k1的正方形面积相等；该长方形周长与边长为k2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为k3的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为k4的正方形面积和周长的比相等，那么k1、k2、k3、k4大小关系为（　　） A．k1≤k4≤k2≤k3 B．k3≤k1≤k2≤k4 C．k4≤k1≤k3≤k2 D．k4≤k1≤k2≤k3 3．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（　　） A．ab≥1 B．a2+b2≥2 C． D． 4．已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（　　） A． B．若ac2≥bc2，则a＞b C．若a＞b＞0，则 D．若a2+b2＝4（a＞0，b＞0），则a+b有最小值 5．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（　　） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由AE≥AF可得 C．由AD≥AE可得 D．由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 6．已知正数x，y满足2x+y＝1，则（　　） A．8xy≤1 B． C． D． 7．不等式中等号成立的条件是　 ． 8．六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“＜”“＞”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远．若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为a和b（0＜a＜b），记两速度的算术平均值为v1，全程的平均速度为v2，则按从小到大排序为是 　 ． 9．设x，y均为正实数，且，则x+y+4的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 10．已知正实数a，b满足a+b＝4，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 11．已知a＞0，则的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 12．已知a＞0，b＞0，且ab＝a+b+15，则ab的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 13．已知正数a，b满足a+3b＝2，则的最小值为（　　） A． B．9 C． D． 14．若正实数x，y满足2x+y＝1，则下列说法正确的是（　　） A．xy有最大值为 B．有最小值为 C．4x2+y2有最小值为 D．x（y+1）有最大值为 15．已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是　 ． 16．若非零实数a，b满足，则a2+b2的最小值为　 　 ． 17．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　） A．有最小值4 B．ab有最大值 C．有最小值 D． 18．已知实数x，y满足x＞2y＞0，且x+y＝1，则的值可以为（　　） A． B．8 C． D．10 19．已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为　 　 ． 20．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}． （1）求a，b的值； （2）当x＞0，y＞0且满足时，有2x+y≥k2+k+3恒成立，求实数k的取值范围． 21．如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50m2的矩形EFGH（EF＞EH）花园，在矩形EFGH的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m，东西两侧的草坪宽1m，则矩形ABCD面积的最小值为　　 m2． 22．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站 　　 千米处，才能使两项费用之和最小为 　 　 ． 23．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元．设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x（6≤x≤12）米，原有墙体足够长． （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（a＞0）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围． 24．“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y（单位：万元）． （1）要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值． 25．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形花园面积的最大值为多少？ 26．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形ABCD． （1）若每块田地的面积为24m2，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长AB和宽AD各为多少？ （2）现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长AB和宽AD各为多少？ 27．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym． （1）若菜园面积S为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长C最小？ （2）若使用的篱笆总长C为30m，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 内 容 导 航 题型1 运用基本不等式比较大小 题型2 运用基本不等式求最值 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 题型4 运用基本不等式解决实际问题 考 点 演 练 题型1 运用基本不等式比较大小 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是（　　） A．2ab B． C．a2+b2 D．a+b 【答案】A 【解答】解：因为0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b， 所以，0＜ab＜1， 所以，所以，所以， 2ab＜a2+b2， 所以a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是2ab． 故选：A． 【变式1】已知a＞0，b＞0，则（　　） A．a+b≥2 B． C．a2+b2＞2ab D． 【答案】A 【解答】解：a＞0，b＞0，则a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号，A正确； 当a＝b时，B显然错误； 当a＝b时，C显然错误； 因为a+b，当且仅当a＝b时取等号， 所以，D错误． 故选：A． 【变式2】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 【答案】D 【解答】解：AC＝a，BC＝b， 则，， ，而CD≥OD（C，O重合时取等号）， 故（a＞0，b＞0）． 故选：D． 【变式3】若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D．a2+b2≥2 【答案】D 【解答】解：A：由，得，A错误； B：（）2＝aa+b+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号， 所以2，B错误； C：， 当且仅当ab且a+b＝2，即b＝2，a＝4时取等号，C错误； D：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2恒成立， 故选：D． 题型2 运用基本不等式求最值 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】设a＞0，b＞0，且，则a+b的最小值为（　　） A．12 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【解答】解：因为a＞0，b＞0，且， 所以4b+a＝ab，即（a﹣4）（b﹣1）＝4， 则a+b＝a﹣4+b﹣1+5≥25＝9， 当且仅当a﹣4＝b﹣1，即a＝6，b＝3时取等号． 故选：B． 【变式1】若a＞0，b＞0，且ab＝4a+b+5，则ab的最小值为（　　） A． B．25 C．5 D．1 【答案】B 【解答】解：因为a＞0，b＞0，且ab＝4a+b+5， 则，当且仅当4a＝b＝10时等号成立， 可得， 所以ab≥25，当且仅当，b＝10时等号成立，所以ab的最小值为25． 故选：B． 【变式2】已知a＞0，b＞0，且，则a+4b的最小值为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【解答】解：a＞0，b＞0，且， 所以， 当且仅当a＝2b，即，b，等号成立， 所以a+4b的最小值为． 故选：C． 题型3 运用“1”的代换构造基本不等式 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】若存在x⩾0，y⩾0，且3x+y＝1，使不等式能成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） C．（﹣2，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） 【答案】D 【解答】解：因为能成立，所以． 又因为x⩾0，y⩾0，3x+y＝1，所以3（x+1）+（y+1）＝5． 所以， 当且仅当，即x＝0，y＝1时等号成立， 所以5＜m2﹣2m﹣3，即m2﹣2m﹣8＞0，所以m＜﹣2或m＞4． 故选：D． 【变式1】对满足x+y＝1的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．{m|m＜﹣4或m＞1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|﹣4＜m＜1} 【答案】C 【解答】解：因为x＞0，y＞0，x+y＝1， 则， 当且仅当，即时取等号， 此时不等式恒成立，故m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4． 故选：C． 【变式2】已知正实数x，y满足，则4xy﹣3x的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：由x＞0，y＞0，且，可得xy＝x+y．所以4xy﹣3x＝4x+4y﹣3x＝x+4y．又因为x+4y，当且仅当，即时取等号， 所以4xy﹣3x的最小值为9． 故选：B． 【变式3】若m＞0，n＞0，且3m+2n﹣1＝0，则的最小值为（　　） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【解答】解：因为3m+2n﹣1＝0，所以3m+2n＝1， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25． 故选：D． 题型4 运用基本不等式解决实际问题 解｜题｜知｜识 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2． 【典例1】2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：依题意，80（1+a）（1+b）＝80（1+x）2，而a＞0，b＞0，x＞0， 因此，当且仅当a＝b时取等号， 所以． 故选：B． 【变式1】某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米110元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元，设AD长为x米，总造价为S元，则当x为　 　 时，总造价S最小为　 　 元． 【答案】；98000． 【解答】解：设AD＝x，DQ＝y， 因为两个相同的矩形ABCD和EFGH的面积共为200m2， 所以x2+4xy＝200，即y， 所以总造价S＝4100x2+110×4xy+80×4y2＝18000+4000x2 ≥18000+218000+80000＝98000（元）， 当且仅当4000x2，即x时等号成立， 所以S的最小值为98000元，此时x的值为． 故答案为：；98000． 【变式2】某工厂要建造一个长方形无盖水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，水池的长为　　 m时，能使总造价最低．最低为　 　 元． 【答案】40；297600． 【解答】解：设水池的长和宽分别为xm、ym， 根据题意可知，3xy＝4800，则xy＝1600， 又因为总造价z＝150xy+2×120×3x+2×120×3y＝240000+720（x+y）≥240000+720×2240000+720297600， 则当且仅当x＝y＝40时等号成立， 所以当水池的长为40m时，总造价最低，最低为297600元． 故答案为：40；297600． 【变式3】用一长度为2米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设围成的长方形一边的长为x米，则该长方形中与该边相邻的一边长为（1﹣x）米， 因此该长方形面积，当时，， 所以所围成的最大面积为． 故答案为：． 过 关 验 收 1．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过圆形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 【答案】C 【解答】解：由图形可知，OFAB（a+b），OC（a+b）﹣b（a﹣b）， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得， CF， ∵CF≥OF， ∴（a+b， 故选：C． 2．已知长为a，宽为b的长方形，如果该长方形的面积与边长为k1的正方形面积相等；该长方形周长与边长为k2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为k3的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为k4的正方形面积和周长的比相等，那么k1、k2、k3、k4大小关系为（　　） A．k1≤k4≤k2≤k3 B．k3≤k1≤k2≤k4 C．k4≤k1≤k3≤k2 D．k4≤k1≤k2≤k3 【答案】D 【解答】解：由题意可得， ①，a+b＝2k2 ②， ③， ④，且a，b＞0， 由基本不等式的关系可知：a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，； 由①②得，2k2≥2k1，所以 k2≥k1⑤； 由，当且仅当a＝b时等号成立， 由②③得，2，所以 k3≥k2⑥． 由，当且仅当a＝b时等号成立． 由①④得，，所以k4≤k1⑦． 综合⑤⑥⑦可得，k4≤k1≤k2≤k3． 故选：D． 3．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（　　） A．ab≥1 B．a2+b2≥2 C． D． 【答案】BD 【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2， 又，则ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，故A错误； 因为，当且仅当a＝b＝1时取等号，故B正确； 令a＝b＝1，则不成立，故C错误； 因为，当且仅当a＝b＝1时取等号，故D正确． 故选：BD． 4．已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（　　） A． B．若ac2≥bc2，则a＞b C．若a＞b＞0，则 D．若a2+b2＝4（a＞0，b＞0），则a+b有最小值 【答案】AC 【解答】解：对于A，|a|≥0，|b|≥0，则，故A正确； 对于B，当c2＝0时，无论a，b取何值，都有ac2≥bc2，此时不一定有a＞b，故B错误； 对于C，由a＞b＞0，得a+b＞2，，则，故C正确； 对于D，若a2+b2＝4（a＞0，b＞0），则（a+b）2≤2（a2+b2）＝8，得a+b， 即a+b有最大值，故D错误． 故选：AC． 5．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（　　） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由AE≥AF可得 C．由AD≥AE可得 D．由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 【答案】BCD 【解答】解：由图1和图2面积相等ab＝（a+b）d，可得d，故A错误； 由题意知图3面积为ab•AF，AF， ADBC， 图3设正方形边长为x，由三角形相似，，解之得x，则AE， 由AE≥AF可得，化简可得，故B正确； 由AD≥AE可得，化简可得，故C正确； 由AD≥AF可得，化简可得a2+b2≥2ab，故D正确． 故选：BCD． 6．已知正数x，y满足2x+y＝1，则（　　） A．8xy≤1 B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：因为，则，当且仅当2x＝y，即，时取等号， 故8xy≤1， 故A正确； ，当且仅当，即x，时取等号，故B错误； 因为，则，当且仅当2x＝y，即，时取等号，故C正确； 因为当且仅当2x＝y+1，即，y＝0时取等号，这与x，y均为正数矛盾， 故，故D错误． 故选：AC． 7．不等式中等号成立的条件是　 ． 8．六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“＜”“＞”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远．若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为a和b（0＜a＜b），记两速度的算术平均值为v1，全程的平均速度为v2，则按从小到大排序为是 　 ． 【答案】． 【解答】解：设一楼到五楼距离为s， 某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为a和b（0＜a＜b），记两速度的算术平均值为v1，全程的平均速度为v2， 则， 根据不等式性质可知， 所以，则， ，所以． 综上，． 故答案为：． 9．设x，y均为正实数，且，则x+y+4的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解答】解：x，y均为正实数，且， 可得， 当且仅当，即x＝y＝6时取等， 可得x+y+4的最小值为12+4＝16． 故选：C． 10．已知正实数a，b满足a+b＝4，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【解答】解：正实数a，b满足a+b＝4，则1， 当且仅当a＝b时取等号，即的最小值为1． 故选：A． 11．已知a＞0，则的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：因为a＞0，所以， 当且仅当a，即a＝1时取等号，此时a3取得最小值5． 故选：B． 12．已知a＞0，b＞0，且ab＝a+b+15，则ab的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【解答】解：因为a＞0，b＞0，且ab＝a+b+15， 所以， 所以， 则ab的最小值是25，当且仅当a＝b＝5时取等号． 故选：B． 13．已知正数a，b满足a+3b＝2，则的最小值为（　　） A． B．9 C． D． 【答案】A 【解答】解：因为正数a，b满足a+3b＝2， 将拆分为， 又a+3b＝2，故， 则， 由基本不等式，， 当且仅当且a+3b＝2时取等号， 解得，， 故的最小值为． 故选：A． 14．若正实数x，y满足2x+y＝1，则下列说法正确的是（　　） A．xy有最大值为 B．有最小值为 C．4x2+y2有最小值为 D．x（y+1）有最大值为 【答案】ABC 【解答】解：对于A：因为，则， 当且仅当2x＝y，即时取等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：因为，则， 当且仅当2x＝y，即时取等号，故C正确； 对于D：因为， 当且仅当2x＝y+1，即，y＝0时取等号，这与x，y均为正实数矛盾，故D错误． 故选：ABC． 15．已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是　 ． 【答案】（﹣∞，1]． 【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝1， 所以 ， 当且仅当时，即当，时等号成立， 因为恒成立，所以，解得m≤1， 所以实数m的取值范围是（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 16．若非零实数a，b满足，则a2+b2的最小值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为非零实数a，b满足， 所以a2+b2＝ab（a2﹣b2﹣2ab）＞0， 所以， 所以， 令，则，t＞0， 因此，当且仅当时取等号， 所以a2+b2的最小值为． 故答案为：． 17．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　） A．有最小值4 B．ab有最大值 C．有最小值 D． 【答案】ABD 【解答】解：正实数a，b满足a+b＝1， 对于A，， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，解得， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 18．已知实数x，y满足x＞2y＞0，且x+y＝1，则的值可以为（　　） A． B．8 C． D．10 【答案】BCD 【解答】解：令m＝2x+5y，n＝x﹣2y，由x＞2y＞0，且x+y＝1，得m＞0，n＞0，且m+n＝3x+3y＝3， 则 ， 当且仅当m＝3n，即n，m时等号成立， 由，解得x，y，此时， 由，故A错误；故BCD正确． 故选：BCD． 19．已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为，且x+2y＝2， 所以（x+2y）（） （5）（5+2）， 当且仅当，即时，不等式的等号成立． 综上所述，当时，取得最小值． 故答案为：． 20．已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}． （1）求a，b的值； （2）当x＞0，y＞0且满足时，有2x+y≥k2+k+3恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，可知1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实根，且a＞0． 由韦达定理，，， 由得，代入，得，解得b＝2，则a＝1． （2）由（1）知a＝1，b＝2，故（x＞0，y＞0）， ，当且仅当x＝y＝3时取等号， 因2x+y≥k2+k+3恒成立，故k2+k+3≤9，即k2+k﹣6≤0，解得﹣3≤k≤2． 所以k的取值范围是[﹣3，2]． 21．如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形ABCD的中心位置建造一个面积为50m2的矩形EFGH（EF＞EH）花园，在矩形EFGH的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m，东西两侧的草坪宽1m，则矩形ABCD面积的最小值为　　 m2． 【答案】72． 【解答】解：设EF＝xm，则EHm，其中x＞0， 因为EF＞EH，则x，可得x＞5， 由题意得AB＝（x+2）m，AD＝（1）m， 所以，矩形ABCD的面积为S＝AB•AD＝（x+2）（1）＝x52≥2x52＝72（m2）， 当且仅当x时，即当x＝10时等号成立， 所以矩形ABCD面积的最小值为72m2． 故答案为：72． 22．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站 　　 千米处，才能使两项费用之和最小为 　 　 ． 【答案】5；8万元． 【解答】解：依题意，设，y2＝k2x，其中k1，k2是比例系数， 由题意可知，，8＝10k2， 解得k1＝20，， 所以，，其中x＞0， 所以两项费用之和y＝y1+y28， 当且仅当，即x＝5时，等号成立， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小，最小为8万元． 故答案为：5；8万元． 23．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元．设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x（6≤x≤12）米，原有墙体足够长． （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（a＞0）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围． 【答案】（1）10米； （2）（0，36）． 【解答】解：（1）设甲工程队的总报价为y元， 依题意，左、右两面墙的长度均为x（6≤x≤12）米， 因为底面积为100平方米，所以长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 所以， 当且仅当，即x＝10时，等号成立． 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元． （2）由题意可知，， 即对任意的x∈[6，12]恒成立， 所以， 分离参数可得对任意的x∈[6，12]恒成立， 所以． 因为， 当且仅当，即x＝8时等号成立， 所以取最小值36． 所以0＜a＜36，即a的取值范围是（0，36）． 24．“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为y（单位：万元）． （1）要使y不超过11.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少平方米时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1）[20，31]； （2）设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，最小值为11万元． 【解答】解：（1）由题意得y＝0.2x+C＝0.2x（x＞0）， 令y≤11.2，即0.2x11.2，（x＞0）， 整理得x2﹣51x+620≤0，即（x﹣20）（x﹣31）≤0， 解得20≤x≤31， 所以设备占地面积x的取值范围为[20，31]； （2）y＝0.2x1≥21＝11， 当且仅当，即x＝25，时等号成立， 所以设备占地面积x为25平方米时，y的值最小，且最小值为11万元． 25．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则矩形花园面积的最大值为多少？ 【答案】400． 【解答】解：由题意设矩形花园的长为x＞0，宽为y＞0，矩形花园的面积为xy， 过A作AG垂直于BC交BC于点G，交DE于点F， 因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以， 又因为AG＝BC＝40， 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x+y＝40， 由基本不等式，则xy≤400， 当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400． 26．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形ABCD． （1）若每块田地的面积为24m2，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长AB和宽AD各为多少？ （2）现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长AB和宽AD各为多少？ 【答案】（1）AB＝6m，AD＝4m； （2）AB＝5m，AD． 【解答】解：（1）设AB长为x米，AD宽为y米，由每块田地面积xy＝24，篱笆总长为4x+6y， 由4x•6y＝24xy＝576，根据基本不等式， 当且仅当4x＝6y且xy＝24时取等号，解得x＝6，y＝4． （2）设AB长为a米，AD宽为b米，由篱笆总长4a+6b＝40，即2a+3b＝20， 将代入每块田地面积ab，得， 当时，ab最大，此时a＝5． 27．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym． （1）若菜园面积S为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长C最小？ （2）若使用的篱笆总长C为30m，求的最小值． 【答案】（1）x＝12，y＝6； （2）． 【解答】解：（1）由已知可得，S＝xy＝72， 所以，x＞0． 又C＝x+2y， 所以， 当且仅当，即x＝12时等号成立，此时， 所以菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长C最小； （2）由已知可得，C＝x+2y＝30， 所以，x+2（y+1）＝32， 所以， 所以， 当且仅当，且x+2y＝30，即，时等号成立， 所以z的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $