专题08 幂函数（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学幂函数核心知识，以定义为起点，系统梳理五大基础幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及图象特征，衔接通用定点规律与第一象限图象规律，构建从概念辨析到性质应用的学习支架，助力学生夯实基础并突破定义域分析、单调性区间划分等难点。 该资料亮点在于精准捕捉易错点（如单调区间表述、定义域陷阱），分层设计从基础求值到高考综合题的题型，通过性质对比培养数学思维，借助中间值法等策略训练数学语言表达。课中辅助教师高效突破教学难点，课后帮助学生查漏补缺，提升综合解题能力。

专题08 幂函数 重点目标： 1. 掌握幂函数的定义.能准确识别幂函数的标准形式.区分幂函数与指数函数的本质差异. 2. 熟记教材五大基础幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与图象特征. 3. 掌握幂函数在第一象限的通用图象规律.能根据幂指数正负判断函数增减趋势. 4. 熟练利用幂函数单调性、中间值法进行幂值的大小比较. 5. 掌握幂函数恒过定点的特征.能利用定点性质快速求解基础参数问题. 难点目标： 1. 能根据幂指数的不同取值.精准分析任意幂函数的定义域与奇偶性.规避定义域遗漏陷阱. 2. 掌握幂函数在全定义域上的单调区间划分.区分第一象限与整体定义域的单调性差异. 3. 掌握含参幂函数的定义辨析与性质分析.能根据幂函数定义求解参数取值. 4. 掌握复杂幂值大小比较的综合方法.能灵活运用单调性、奇偶性、中间值、数形结合解题. 5. 结合幂函数性质解决不等式、恒成立、值域最值综合题型. 1、 重点知识 （一）幂函数定义 · 一般地.函数叫做幂函数.其中是自变量.是常数. · 核心识别要点： 1. 系数必须为1.前面无任何常数系数. 2. 自变量在底数位置.常数在指数位置（与指数函数严格区分）. 3. 多余常数项、一次项、分式变形.形如均不是幂函数. （二）五大基础幂函数核心性质 1. ：定义域.值域.奇函数.在上单调递增.恒过定点. 2. ：定义域.值域.偶函数.在递减.在递增.恒过定点. 3. ：定义域.值域.奇函数.在上单调递增.恒过定点. 4. ：定义域.值域.非奇非偶函数.在单调递增.恒过定点. 5. ：定义域.值域.奇函数.在、分别递减.恒过定点. （三）幂函数通用定点规律 · 所有幂函数在定义域有意义的前提下.恒过定点. · 当时.幂函数均过原点；当时.幂函数不过原点. （四）第一象限统一图象规律 1. ：幂函数在第一象限单调递增. 2. ：幂函数在第一象限单调递减. 3. ：第一象限为正比例直线. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 概念混淆陷阱：幂函数自变量在底数.指数为常数；指数函数自变量在指数.底数为常数.极易混淆. 2. 单调区间误区：负指数幂函数的递减区间必须分开书写.不能写成.用逗号隔开. 3. 定义域误区：分数指数、负指数幂函数定义域有限制.不能默认定义域为全体实数. 4. 奇偶性误判：定义域不对称的幂函数一定非奇非偶.不可仅凭解析式形式判断奇偶. （二）幂指数分类拔高规律 1. ：第一象限增速快.图象上凸.如. 2. ：第一象限增速平缓.图象下凸.如. 3. ：第一象限递减.图象无限趋近坐标轴但不相交.如. （三）幂值大小比较难点题型 1. 同指数不同底数：利用幂函数单调性直接比较. 2. 同底数不同指数：利用指数函数单调性比较. 3. 不同底数不同指数：引入中间值0或1搭桥比较.是考试高频难点. 4. 正负混搭比较：优先区分正负.正数永远大于负数.再比较同号数值大小. （四）含参幂函数综合难点 1. 定义求参：严格依据“系数为1、自变量x为底数、指数为常数”三个条件列等式求参数. 2. 性质求参：已知奇偶性、单调性、过定点条件.反求参数取值或参数范围. 3. 含参幂函数不等式：利用幂函数单调性脱去幂形式.转化为自变量不等式.必须附带定义域约束. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 幂函数图象高低规律：在区间内.指数越大图象越低；在区间内.指数越大图象越高.是高考多选秒杀结论. 2. 抽象幂型不等式综合：结合奇偶性、对称性、单调性求解复合型不等式.考察数形结合思想. 3. 幂函数值域最值拔高：结合定义域区间.利用幂函数单调特性求解闭区间最值与值域. 4. 幂函数与分段函数结合：分段函数中嵌套幂函数性质.综合判断单调性、奇偶性、零点. 5. 恒成立拓展：利用幂函数的有界性、单调性解决含参恒成立与存在性问题. （六）全节高频失分点汇总 1. 误将带系数、带常数项的函数判定为幂函数. 2. 负指数幂函数单调区间误用并集连接.表述不规范直接扣分. 3. 分数指数幂函数忽略定义域限制.导致性质判断错误. 4. 不同底数不同指数幂值比较无思路.不会使用中间值法. 5. 解幂函数不等式忽略定义域约束.解集范围偏大. 6. 混淆幂函数与指数函数定义.基础概念失分. 题型01 求幂函数的值与解析式 角度1：求幂函数的值 【典例】若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则______. 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 【变式】已知函数是幂函数，若，则____________. 【答案】 【分析】先设幂函数，再根据解出，确定，再代入求解即可. 【详解】设，故，解得， 故，则. 故答案为：. 角度2：求幂函数解析式 【典例】幂函数的图象过点，则的解析式是__________. 【答案】 【详解】试题分析：因为是幂函数，所以可设，又因为过，所以，故答案为. 【变式】若幂函数的图象经过点，则的解析式为____. 【答案】 【分析】设幂函数，待定系数法求出解析式. 【详解】设幂函数（），因为幂函数的图象经过点， 代入得，即，则，解得，所以. 故答案为： 题型02 幂函数有关的定义域与值域问题 角度1：幂函数有关的定义域 【典例1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 【典例2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 【变式1】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【变式2】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 角度2：幂函数有关的值域 【典例】函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 【变式】若命题“”为假命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据特称命题为假命题，可知“”为真命题，由此分离参数，即可求得答案． 【详解】由题意知命题“”为假命题， 则命题“”为真命题，即，， 由于时取等号，故， 所以，即的取值范围为． 故答案为： 题型03 幂函数的图象的理解与应用 角度1：幂函数图象的判断与应用 【典例1】如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图象，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 【典例2】（多选）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据条件求得点的坐标，代入函数中，再根据运算公式计算判断各个选项. 【详解】，点，， ，，将两点坐标分别代入，，得，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 【变式1】如图是幂函数的部分图象，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 【变式2】已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式，解出的值. 【详解】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 角度2：幂函数图象过定点问题 【典例】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 【变式】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 【答案】 【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点. 【详解】因为幂函数过点，可解得， 所以， 故， 当时，， 故恒过定点. 故答案为 题型04 幂函数有关的参数问题 角度1：幂函数定义求参 【典例】幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______，此时f（3）=_______ 【答案】 【分析】根据幂函数的定义以及性质可得，解方程可得，从而求出解析式，由解析式即可求出 【详解】由题意可得，解得， 所以，即. 故答案为：； 角度2：根据幂函数的定义域求参 【典例】若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 角度3：根据幂函数的值域求参 【典例】若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可． 【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 角度4：根据幂函数的图象求参 【典例】若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 角度5：根据幂函数单调性求参 【典例】幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 角度6：根据幂函数奇偶性求参 【典例】已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 【答案】或 【分析】根据幂函数图象的对称性和定义域的特征进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以该幂函数是偶函数，设， 则有， 所以有为偶数， 幂函数的图象与轴和轴无交点， 所以， 因为， 所以当时，为偶数， 当时，不是偶数， 当时，为偶数， 综上所述：的值是或. 故答案为：或 题型05 幂函数的性质及应用 角度1：比较幂的大小 设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【详解】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A 角度2：解不等式 【典例】设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 【变式】已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，然后按照函数奇偶性的定义判断即可；     （2）先利用奇偶性化简得，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得，       则，其定义域为.       因为，所以为奇函数. （2）由，可得. 而在上单调递减且恒负，在上单调递减且恒正， 所以或或，解得或. 故的取值范围是. 题型06 幂函数的综合问题 【典例1】已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据幂函数定义求的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的，得到函数解析式. （2）验证函数定义域关于原点对称，再证明，判定函数为奇函数. （3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数的取值范围. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数； （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 【典例2】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得，结合幂函数的性质即可求得的值； （2）根据（1）的结论，可得，解不等式可得答案. 【详解】（1）解：∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）解：由（1）得，， ∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 【巩固训练】 1. （多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 2. 函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 3. 已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 4. （多选）当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数性质确定选项. 【详解】因为经过一，三象限，经过第一象限， 经过一，三象限， 故幂函数的图象不可能经过二，四象限. 故选：BD 5. 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 6. 函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 7. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 8. 对，记，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示与的较大者，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，取图象较高者即可得的图象. 【详解】和都是偶函数， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时， 在同一平面直角坐标系中作出和的图象，如图： 表示与的较大者，所以图象是两个图象较高的， 故选：A. 9. “幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据幂函数的定义求出幂函数解析式，再分析幂函数图象分布在第一、二象限与或2的推导关系即可得出答案. 【详解】由题意得，因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，如图所示， 图象经过第一、二象限； 当时，，如图所示， 图象分布在 第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件. 故选：C. 10. 已知幂函数满足，为实数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数是幂函数列式计算得出或，再结合计算求参； （2）结合二次函数值域计算求解； （3）应用幂函数单调性及函数定义域列不等式计算求解. 【详解】（1）由函数为幂函数，得，解得或， 当时，，，，满足； 当时，，，，不满足． 所以． （2）， 因为，所以，得， 故函数的值域为． （3）由得， 所以解得． 所以实数的取值范围为． 38． 【强化训练】 1. （多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 2. 若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 3. 若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为真命题可得“”，再分离参数即可得到答案. 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 4. “”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【详解】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 5. 已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 【答案】1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 6. 已知幂函数则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到函数为偶函数且函数在单调递增，在单调递增，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为， 平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7. 已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）由幂函数定义结合函数单调性计算即可得； （2）结合二次函数性质，分、、、及讨论即可得. 【详解】（1）由幂函数定义可得， 即，则或， 当时，在上单调递减，不符，故舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 故； （2）由（1）知，， 则， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，有，则，则原不等式解集为； 若，当，即时，有，解集为； 当，即时，原不等式解集为； 当，即时，原不等式解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 8. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上具有严格的单调性，求t的取值范围； (3)若实数a，满足，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)2 【分析】（1）根据幂函数的定义求得m，由单调性和偶函数求得k得解析式； （2）由二次函数的性质求解即可； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即或2，又因为为偶函数，所以， 即； （2）因为，所以， 其开口向上，对称轴为， 又因为函数在上具有严格的单调性，所以或， 解得或， 所以实数t的取值范围为； （3）由题可知a，，且， 所以，可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是 9. 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)设函数，求的定义域和单调递增区间. 【答案】(1)； (2) (3)定义域为，单调递增区间为. 【分析】(1)由幂函数的定义及性质可得； (2)由(1)得到是一个二次函数，在上不是单调函数，所以对称轴在之间，且不等于边界值； 【详解】（1）由题意得，所以或， 当时，此时，显然为奇函数，故舍去； 当时，此时，显然为偶函数，满足题意. 则. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即，所以， 实数a的取值范围为. （3），则，解得或， 则其定义域为， 设，则内函数在上单调递增， 又因为外函数在上单调递增， 故的单调递增区间为. 10. 已知幂函数，其中， (1)若函数不经过原点，求函数的解析式； (2)若函数在上严格增函数， ①求不等式的解集，其中； ②若函数，当，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) ①（Ⅰ）当时，不等式的解集为或； （Ⅱ）当时，不等式的解集为； （Ⅲ）当时，不等式的解集为； （Ⅳ）当时， 不等式的解集为； （Ⅴ）当时，不等式的解集为； ②存在； 【分析】（1）直接由幂函数的定义、性质列出方程求解即可； （2）先确定函数的解析式，①根据二次不等式求解，分、、、、讨论写解集即可；②令，得，在讨论对称轴确定最小值得到的值即可． 【详解】（1）为幂函数， 则，解得或， 当时，，不过原点，符合题意； 当时，，过原点，不符合题意； 所以； （2）由（1）知，当时，在单调递减，不符合题意， 当时，在单调递增，符合题意； 所以， ①不等式为， 即， （Ⅰ）当时，不等式的解集为或； （Ⅱ）当时，不等式的解集为； （Ⅲ）当时，不等式的解集为； （Ⅳ）当时， 不等式的解集为； （Ⅴ）当时，不等式的解集为； ②，令， 则， 当，即，在单调递增， ，解得； 当，即，在单调递减， ，解得（舍去）； 当，即， ，解得（舍去）； 综上，存在，． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 幂函数 重点目标： 1. 掌握幂函数的定义.能准确识别幂函数的标准形式.区分幂函数与指数函数的本质差异. 2. 熟记教材五大基础幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与图象特征. 3. 掌握幂函数在第一象限的通用图象规律.能根据幂指数正负判断函数增减趋势. 4. 熟练利用幂函数单调性、中间值法进行幂值的大小比较. 5. 掌握幂函数恒过定点的特征.能利用定点性质快速求解基础参数问题. 难点目标： 1. 能根据幂指数的不同取值.精准分析任意幂函数的定义域与奇偶性.规避定义域遗漏陷阱. 2. 掌握幂函数在全定义域上的单调区间划分.区分第一象限与整体定义域的单调性差异. 3. 掌握含参幂函数的定义辨析与性质分析.能根据幂函数定义求解参数取值. 4. 掌握复杂幂值大小比较的综合方法.能灵活运用单调性、奇偶性、中间值、数形结合解题. 5. 结合幂函数性质解决不等式、恒成立、值域最值综合题型. 1、 重点知识 （一）幂函数定义 · 一般地.函数叫做幂函数.其中是自变量.是常数. · 核心识别要点： 1. 系数必须为1.前面无任何常数系数. 2. 自变量在底数位置.常数在指数位置（与指数函数严格区分）. 3. 多余常数项、一次项、分式变形.形如均不是幂函数. （二）五大基础幂函数核心性质 1. ：定义域.值域.奇函数.在上单调递增.恒过定点. 2. ：定义域.值域.偶函数.在递减.在递增.恒过定点. 3. ：定义域.值域.奇函数.在上单调递增.恒过定点. 4. ：定义域.值域.非奇非偶函数.在单调递增.恒过定点. 5. ：定义域.值域.奇函数.在、分别递减.恒过定点. （三）幂函数通用定点规律 · 所有幂函数在定义域有意义的前提下.恒过定点. · 当时.幂函数均过原点；当时.幂函数不过原点. （四）第一象限统一图象规律 1. ：幂函数在第一象限单调递增. 2. ：幂函数在第一象限单调递减. 3. ：第一象限为正比例直线. 2、 难点知识 （一）核心易错难点（选择填空高频陷阱） 1. 概念混淆陷阱：幂函数自变量在底数.指数为常数；指数函数自变量在指数.底数为常数.极易混淆. 2. 单调区间误区：负指数幂函数的递减区间必须分开书写.不能写成.用逗号隔开. 3. 定义域误区：分数指数、负指数幂函数定义域有限制.不能默认定义域为全体实数. 4. 奇偶性误判：定义域不对称的幂函数一定非奇非偶.不可仅凭解析式形式判断奇偶. （二）幂指数分类拔高规律 1. ：第一象限增速快.图象上凸.如. 2. ：第一象限增速平缓.图象下凸.如. 3. ：第一象限递减.图象无限趋近坐标轴但不相交.如. （三）幂值大小比较难点题型 1. 同指数不同底数：利用幂函数单调性直接比较. 2. 同底数不同指数：利用指数函数单调性比较. 3. 不同底数不同指数：引入中间值0或1搭桥比较.是考试高频难点. 4. 正负混搭比较：优先区分正负.正数永远大于负数.再比较同号数值大小. （四）含参幂函数综合难点 1. 定义求参：严格依据“系数为1、自变量x为底数、指数为常数”三个条件列等式求参数. 2. 性质求参：已知奇偶性、单调性、过定点条件.反求参数取值或参数范围. 3. 含参幂函数不等式：利用幂函数单调性脱去幂形式.转化为自变量不等式.必须附带定义域约束. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 幂函数图象高低规律：在区间内.指数越大图象越低；在区间内.指数越大图象越高.是高考多选秒杀结论. 2. 抽象幂型不等式综合：结合奇偶性、对称性、单调性求解复合型不等式.考察数形结合思想. 3. 幂函数值域最值拔高：结合定义域区间.利用幂函数单调特性求解闭区间最值与值域. 4. 幂函数与分段函数结合：分段函数中嵌套幂函数性质.综合判断单调性、奇偶性、零点. 5. 恒成立拓展：利用幂函数的有界性、单调性解决含参恒成立与存在性问题. （六）全节高频失分点汇总 1. 误将带系数、带常数项的函数判定为幂函数. 2. 负指数幂函数单调区间误用并集连接.表述不规范直接扣分. 3. 分数指数幂函数忽略定义域限制.导致性质判断错误. 4. 不同底数不同指数幂值比较无思路.不会使用中间值法. 5. 解幂函数不等式忽略定义域约束.解集范围偏大. 6. 混淆幂函数与指数函数定义.基础概念失分. 题型01 求幂函数的值与解析式 角度1：求幂函数的值 【典例】若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则______. 【变式】已知函数是幂函数，若，则____________. 角度2：求幂函数解析式 【典例】幂函数的图象过点，则的解析式是__________. 【变式】若幂函数的图象经过点，则的解析式为____. 题型02 幂函数有关的定义域与值域问题 角度1：幂函数有关的定义域 【典例1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【典例2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【变式1】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 角度2：幂函数有关的值域 【典例】函数的值域为______. 【变式】若命题“”为假命题，则的取值范围为______． 题型03 幂函数的图象的理解与应用 角度1：幂函数图象的判断与应用 【典例1】如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图象，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是幂函数的部分图象，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 角度2：幂函数图象过定点问题 【典例】已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【变式】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________． 题型04 幂函数有关的参数问题 角度1：幂函数定义求参 【典例】幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______，此时f（3）=_______ 角度2：根据幂函数的定义域求参 【典例】若幂函数的定义域为，求实数的值. 角度3：根据幂函数的值域求参 【典例】若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 角度4：根据幂函数的图象求参 【典例】若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 角度5：根据幂函数单调性求参 【典例】幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 角度6：根据幂函数奇偶性求参 【典例】已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是___________ 题型05 幂函数的性质及应用 角度1：比较幂的大小 设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 角度2：解不等式 【典例】设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【变式】已知幂函数. (1)求的解析式并判断的奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. 题型06 幂函数的综合问题 【典例1】已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【典例2】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)若,求满足不等式的的取值范围． 【巩固训练】 1. （多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2. 函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3. 已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 4. （多选）当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5. 设，，，则（    ） A． B． C． D． 6. 函数的图象过定点______. 7. 已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 8. 对，记，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9. “幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10. 已知幂函数满足，为实数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【强化训练】 1. （多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2. 若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 3. 若“，”是假命题，则a的最大值是________． 4. “”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 6. 已知幂函数则不等式的解集为______． 7. 已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 8. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上具有严格的单调性，求t的取值范围； (3)若实数a，满足，求的最小值. 9. 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)设函数，求的定义域和单调递增区间. 10. 已知幂函数，其中， (1)若函数不经过原点，求函数的解析式； (2)若函数在上严格增函数， ①求不等式的解集，其中； ②若函数，当，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $